近日來，抽空再讀了一遍點(diǎn)集拓?fù)?Point Set Topology)，這是我第三次重新學(xué)習(xí)這個理論了。我看電視劇和小說，極少能有興致看第二遍，但是，對于數(shù)學(xué)，每看一次都有新的啟發(fā)和收獲。

代 數(shù)，分析，和拓?fù)洌环Q為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的三大柱石。最初讀拓?fù)洌窃趦扇昵埃捎趯W(xué)習(xí)流形理論的需要。可是，隨著知識的積累，發(fā)現(xiàn)它是很多理論的根基。可 以說，沒有拓?fù)洌蜎]有現(xiàn)代意義的分析與幾何。我們在各種數(shù)學(xué)分支中接觸到的最基本的概念，比如，極限，連續(xù)，距離（度量），邊界，路徑，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中， 都源于拓?fù)洹?

拓?fù)鋵W(xué)是一門非常奇妙的學(xué)科，它把最直觀的現(xiàn)象和最抽象的概念聯(lián)系在一起了。拓?fù)涿枋龅氖瞧毡槭褂玫母拍睿ū热玳_集，閉 集，連續(xù)），我們對這些概念習(xí)以為常，理所當(dāng)然地使用著，可是，真要定義它，則需要對它們本質(zhì)的最深刻的洞察。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過長時間的努力，得到了這些概念 的現(xiàn)代定義。這里面很多第一眼看上去，會感覺驚奇——怎么會定義成這個樣子。

首先是開集。在學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)時，我們都學(xué)習(xí)開區(qū)間 (a, b)。可是，這只是在一條線上的，怎么推廣到二維空間，或者更高維空間，或者別的形體上呢？最直觀的想法，就是“一個不包含邊界的集合”。可是，問題來 了，給一個集合，何謂“邊界”？在拓?fù)鋵W(xué)里面，開集(Open Set)是最根本的概念，它是定義在集合運(yùn)算的基礎(chǔ)上的。它要求開集符合這樣的條件：開集的任意并集和有限交集仍為開集。

我最初的時 候，對于這樣的定義方式，確實(shí)百思不解。不過，讀下去，看了和做了很多證明后，發(fā)現(xiàn)，這樣的定義一個很重要的意義在于：它保證了開集中每個點(diǎn)都有一個鄰域 包含在這個集合內(nèi)——所有點(diǎn)都和外界（補(bǔ)集）保持距離。這樣的理解應(yīng)該比使用集合運(yùn)算的定義有更明晰的幾何意義。但是，直觀的東西不容易直接形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩? 義，使用集合運(yùn)算則更為嚴(yán)格。而集合運(yùn)算定義中，任意并集的封閉性是對這個幾何特點(diǎn)的內(nèi)在保證。

另外一個例子就是“連續(xù)函數(shù) ”(Continuous Function)。在學(xué)微積分時，一個耳熟能詳?shù)亩x是“對任意的epsilon > 0，存在delta > 0，使得 。。。。”，背后最直觀的意思就是“足夠近的點(diǎn)保證映射到任意小的范圍內(nèi)”。可是，epsilon, delta都依賴于實(shí)空間，不在實(shí)空間的映射又怎么辦呢？拓?fù)涞亩x是“如果一個映射的值域中任何開集的原像都是開集，那么它連續(xù)。”這里就沒有 epsilon什么事了。

這里的關(guān)鍵在于，在拓?fù)鋵W(xué)中，開集的最重要意義就是要傳遞“鄰域”的意思——開集本身就是所含點(diǎn)的鄰域。這樣連續(xù)定義成這樣就順理成章了。稍微把說法調(diào)節(jié)一下，上面的定義就變成了“對于f(x)的任意領(lǐng)域U，都有x的一個鄰域V，使得V里面的點(diǎn)都映射到U中。”

這里面，我們可以感受到為什么開集在拓?fù)鋵W(xué)中有根本性的意義。既然開集傳達(dá)“鄰域”的意思，那么，它最重要的作用就是要表達(dá)哪些點(diǎn)靠得比較近。給出一個拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，就是要指出哪些是開集，從而指出哪些點(diǎn)靠得比較近，這樣就形成了一個聚集結(jié)構(gòu)——這就是拓?fù)洹?

可是這也可以通過距離來描述，為什么要用開集呢，反而不直觀了。某種意義上說，拓?fù)涫?#8220;定性”的，距離度量是“定量”的。隨著連續(xù)變形，距離會不斷變化，但是靠近的點(diǎn)還是靠近，因此本身固有的拓?fù)涮匦圆粫淖儭Ｍ負(fù)鋵W(xué)研究的就是這種本質(zhì)特性——連續(xù)變化中的不變性。

在 拓?fù)涞幕靖拍钪校盍钊速M(fèi)解的，莫過于“緊性”(Compactness)。它描述一個空間或者一個集合“緊不緊”。正式的定義是“如果一個集合的任意 開覆蓋都有有限子覆蓋，那么它是緊的”。乍一看，實(shí)在有點(diǎn)莫名其妙。它究竟想描述一個什么東西呢？和“緊”這個形容詞又怎么扯上關(guān)系呢？

一 個直觀一點(diǎn)的理解，幾個集合是“緊”的，就是說，無限個點(diǎn)撒進(jìn)去，不可能充分散開。無論鄰域多么小，必然有一些鄰域里面有無限個點(diǎn)。上面關(guān)于 compactness的這個定義的玄機(jī)就在有限和無限的轉(zhuǎn)換中。一個緊的集合，被無限多的小鄰域覆蓋著，但是，總能找到其中的有限個就能蓋全。那么，后 果是什么呢？無限個點(diǎn)撒進(jìn)去，總有一個鄰域包著無數(shù)個點(diǎn)。鄰域們再怎么小都是這樣——這就保證了無限序列中存在極限點(diǎn)。

Compact這個概念雖然有點(diǎn)不那么直觀，可是在分析中有著無比重要的作用。因?yàn)樗P(guān)系到極限的存在性——這是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)。了解泛函分析的朋友都知道，序列是否收斂，很多時候就看它了。微積分中，一個重要的定理——有界數(shù)列必然包含收斂子列，就是根源于此。

在 學(xué)習(xí)拓?fù)洌蛘咂渌F(xiàn)代數(shù)學(xué)理論之前，我們的數(shù)學(xué)一直都在有限維歐氏空間之中，那是一個完美的世界，具有一切良好的屬性，Hausdorff, Locally compact, Simply connected，Completed，還有一套線性代數(shù)結(jié)構(gòu)，還有良好定義的度量，范數(shù)，與內(nèi)積。可是，隨著研究的加深，終究還是要走出這個圈子。這 個時候，本來理所當(dāng)然的東西，變得不那么必然了。

       兩個點(diǎn)必然能分開？你要證明空間是Hausdorff的。

       有界數(shù)列必然存在極限點(diǎn)？這只在locally compact的空間如此。

       一個連續(xù)體內(nèi)任意兩點(diǎn)必然有路徑連接？這可未必。

一 切看上去有悖常理，而又確實(shí)存在。從線性代數(shù)到一般的群，從有限維到無限維，從度量空間到拓?fù)淇臻g，整個認(rèn)識都需要重新清理。而且，這些絕非僅是數(shù)學(xué)家的 概念游戲，因?yàn)槲覀兊氖澜绮皇怯邢蘧S向量能充分表達(dá)的。當(dāng)我們研究一些不是向量能表達(dá)的東西的時候，度量，代數(shù)，以及分析的概念，都要重新建立，而起點(diǎn)就 在拓?fù)洹?/p>