3D空間中的旋轉可用旋轉矩陣、歐拉角或四元數等形式來表示，他們不過都是數學工具，其中在繞任意向量的旋轉方面，旋轉矩陣和四元數兩種工具用的較多，歐拉角由于存在萬向節死鎖等問題，使用存在限制。

（本文假設坐標系為左手坐標系中，旋轉方向為順時針。）

所求問題：

給定任意單位軸q(向量),求向量p(x,y,z)(或點p)饒q旋轉theta角度的變換后的新向量p'(或點p')：

1.用四元數工具：
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結論：構造四元數變換p'= q*p*q-1，（p,q是由向量p,q擴展成的四元數）。那么，p'轉換至對應的向量(或點)就是變換后的新向量p'(或點p')。

其中，p',q,p,q-1均為四元數。q由向量q擴展,為q=(cos(theta/2),sin(theta/2)*q)，p由向量p擴展,為p=(0,x,y,z),q-1為q的逆，因為q為單位四元數，所以q-1=q*=(cos(theta/2),-sin(theta/2)*q)。
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（這個結論的證明過程可以在網上找到。這里略去。）
下面看其時間復雜度：

首先有個三角函數的計算時間，這個可以預先計算好，花費時間不計。考慮n個四元數相乘需進行4*4*(n-1)=16*(n-1)次乘法，15*(n-1)次加法，因為加法化費時間較少，這里僅考慮乘法。這里涉及到三個四元數的乘法，設一次乘法的時間為T,故花費16*2=32T

2.旋轉矩陣工具：
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結論：構造旋轉矩陣變換Trot,則變換后的新向量p'(或點p')為p'= p*Trot

其中，p'（x',y',z',1）,p(x,y,z,1)為向量p'，p的4D齊次坐標表示，Trot =

|t*x*x + c,???????t*x*y + s*z,??????t*x*z - s*y,???? 0|
|t*x*y - s*z,????t*y*y + c,??????????t*y*z + s*x,????0|
|t*x*z + s*y,?? t*y*z - s*x,???????t*z*z + c,????????0|
|0,????????????????????0,???????????????????????0,????????????????????1|???

c=cos(theta), s=sin(theta),t=1-c.
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（這個結論的證明過程可以在網上找到。這里略去。）

下面看其時間復雜度：

三角函數的計算時間不計。矩陣本身的元素乘法主要是計算t*x和s*x之類，需進行12+3=15次乘法。兩個矩陣相乘的需進行n*n*n次乘法,這里n=4，所以花費4*4*4=64次乘法時間,但這里有個注意的地方就是旋轉矩陣的第4維無須考慮，即可簡化為3X3的矩陣。故花費3*3*3=27次乘法時間，總共的時間為15+27=42次乘法時間。cost=42T.

比較來看，還是使用四元數的效率要高出一些，這在要變換的點的數目越大時，體現的越明顯。實際上，有很多3D引擎為了利用四元數運算的高效率性，一般先將矩陣轉換成四元數后進行運算再轉回為矩陣后，再傳給DirectX或OpenGL庫函數。

關于四元數和矩陣在向量（方向）之間的進行插值的效率比較，見下篇：
探討：物體繞任意向量的旋轉-四元數法VS.旋轉矩陣法的性能比較