感覺很多書上都沒講清楚透視投影變換的推導過程,自己推導了下,以前一直含糊的關于方形/非方形的視平面和屏幕的寬高比的問題也有了答案.本文組織如下：
1.相機空間到視平面的變換
2.視平面到屏幕的變換
3.綜合
4.一般情形
1.相機空間到視平面的變換
?????????????????????? * p (xc,0, zc)
???????????????????? ?/ |
??????????????????? ?/? |
?????????????????? ?/?? |
?????????? X??? |/???? |
?????????? ^???? *p' |(xp,0,zp)
?????????? |?? / |????? |
?????????? |? /? |???? ?|
?????????? | /?? |???? ?|
C(cam)?|/??? |???? ?|
--------*----|----*------------->Z
?????????? 0??? dx?? zc
???? (X-Z平面的投影示圖)
a.透視投影一般的視景體為棱臺，相機空間的物體會投影到視平面z=d，這里考慮左手坐標系，矩陣使用行優先方式。如圖所示，由相似三角形知識可知相機空間中的物體投影到視平面上的坐標為：
xp = xc*(dx/zc)
yp = yc*(dy/zc)
其中,xc,yc,zc為相機空間坐標,xp,yp,zp為視平面坐標，dx，dy為x,y軸向的視距view distance，視平面到camera的距離,
故相機空間投影到視平面上的矩陣Tcp為：
|dx 0? 0 0? |
|0? dy 0 0? |
|0? 0?? 1 1? |
|0? 0?? 0 0? |
(驗證:Tcp右乘點p(xc,yc,zc,1)得點p'(xc*dx, yc*dy, zc, zc),轉換為3D坐標為(xc*dx/zc, yc*dy/zc, 1),正確。)
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注：因為轉換過程中點使用的是4D齊次坐標,所以最后需轉換為3D坐標。4D齊次坐標(x,y,z,w)轉換為3D坐標的方法為除以w分量，即對應3D坐標為(x/w,y/w,z/w)。
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考慮dx/zc和dy/zc項，如果dx != dy,則投影后x,y的比例會發生變化（原因：投影前坐標比例為xc/yc,投影后為xp/yp = xc*(dx/zc)/yc*(dy/zc) = xc*dx/yc*dy），從而投影后的圖像的x,y比例會發生變形。
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結論1：所以，一般都會令d=dx=dy,即x,y向的視距相同。否則，圖像失真。
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考慮視角（view angle,或視野filed of view）的問題，視角的大小不會影響到物體投影后的坐標，只會影響可視的范圍。
在視距一樣的情況下，x,y軸的視角可以不一樣。如果一樣，那么視平面就是一個正方形的。于是有：
tan(theta_x/2) = width_p/d
tan(theta_y/2) = height_p/d?
其中，theta_x，theta_y為x,y軸向的視角，width_p，height_p為視平面z=d的寬度（x軸）和高度(y軸)。
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結論2：視平面的寬高比rp=width_p/height_p = tan(theta_x/2)/tan(theta_y/2)。
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2.視平面到屏幕的變換
下面就是視平面到屏幕的變換了，這是一個2D到2D的變換（視平面的坐標需伸縮以填滿整個屏幕空間,即在視平面中出現的所有的點要變換到屏幕上去，同時x,y軸向的比例還要維持和變換前一樣，以免比例失真，同時視平面的坐標原點和屏幕中心點（x0=(width_s)/2, y0=(height_s)/2）對應），其實，就是一個坐標縮放加平移的過程:
xs = xp*kx + x0
ys = -yp*ky + y0
?
矩陣Tps為：
|kx???? 0??????0 0? |
|0????? -ky????0 0? |
|0????? 0?????? 1 0? |
|x0?? y0??????0 1? |
(驗證:Tps右乘點p(xp,yp,zp,1)得點p'(xp*kx + x0, -yp*ky + y0, zp, 1),轉換為3D坐標為(xp*kx + x0, -yp*ky + y0, zp)，正確。)
其中，kx,ky(kx>0,ky>0)為x,y軸向的縮放因子（kx=(width_s)/(width_p)， ky = (height_s)/(height_p），和視距相同，kx,ky的值必須一樣，否則圖像的x,y比例又會發生變形。這里-yp*ky是因為一般屏幕的y軸是向下的，跟相機空間和視平面坐標系中的y軸方向相反。
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結論3: 一般令k=kx=ky，即x,y向的縮放因子相同。否則，圖像失真。
于是有，width_s/width_p = height_s/height_p，變化等式得，rp = width_p/height_p = width_s/height_s = rs
所以，在x,y軸視距一樣的情況下，要想最后變換到屏幕上的圖像x,y比例不失真，必須rp=rs,即視平面的寬高比和屏幕的寬高比一樣。
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注：若屏幕寬高為W,H，當W != H，即屏幕不為方形的時候，要確保投影到屏幕上的圖像x,y比例不失真，則x,y軸視角(或視野FOV)肯定不能相等。
原因： 由結論2,3知，rp=width_p/height_p = tan(theta_x/2)/tan(theta_y/2)=width_s/height_s=rs=W/H。 故由W/H != 1 => theta_x != theta_Y.
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3.綜合：
相機空間點p轉換到屏幕空間點p'，變換公式為：
xs = xc*(dx/zc)*kx + x0 = xc*(d/zc)*k + x0
ys = -yc*(dy/zc)*ky + y0 = -yc*(d/zc)*k + y0
綜合變換矩陣(相機空間到屏幕空間)Tcs為：
?
Tcs = Tcp*Tps =
|d*k??? 0?????? 0 0? |
|0????? -d*k??? 0 0? |
|x0???? y0????? 1 1? |
|0????? 0???????? 0? 0|
?其中，d為視距，k為屏幕寬高比或視平面寬高比，x0,y0為屏幕中心，注：最后需轉換為3D坐標。
(驗證:Tcs右乘點p(xc,yc,zc,1)得點p'(xc*d*k + x0*zc, -yc*d*k + y0*zc, zc, zc),轉換為3D坐標為(xc*(d/zc)*k + x0, -yc*(d/zc)*k + y0, 1)，正確。)
4.一般情形：
?************************************
視距為1，x軸視角為90度，屏幕寬高為W,H.
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?
代入d=1，theta_x = PI/2,x0= W/2,y0=H/2,則視平面寬高為width_p = 2。
要確保屏幕上的圖像x,y比例不失真，即rs=rp,有
height_p = 2/rp=2/rs=2H/W,
k=kx=ky=width_s/width_p = W/2.
于是,矩陣為:
Tcs1 =?
|W/2??? 0?????? 0 0? |
|0????? -W/2??? 0 0? |
|W/2??? H/2?? 1 1? |
|0????? 0???????? 0 0? |
或
?? |W/2??? 0????????????????? 0 0? |
|0????? -H/2*(W/H)??? 0 0? |
|W/2??? H/2????????????? 1 1? |
|0????? 0?????????????????? ?0 0? |
(可以看到，y軸的縮放因子中乘上了寬高比(aspect ratio))
?這個矩陣較常用。
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有什么問題,歡迎探討.
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