貝蒂定理
英文翻譯為 Betti theorem
設(shè)a、b是正無理數(shù)且 1/a +1/b =1。記P={ [na] | n為任意的正整數(shù)}，Q={ [nb] | n 為任意的正整數(shù)}，([x]'指的是取x的整數(shù)部分)則P與Q是Z+的一個(gè)劃分，即P∩Q為空集且P∪Q為正整數(shù)集合Z+。
證明：因?yàn)閍、b為正且1/a +1/b=1，則a、b>1，所以對于不同的整數(shù)n，[na]各不相同，類似對b有相同的結(jié)果。因此任一個(gè)整數(shù)至多在集合P或Q中出現(xiàn)一次。
* 現(xiàn)證明P∩Q為空集；(反證法)假設(shè)k為P∩Q的一個(gè)整數(shù)，則存在正整數(shù)m、n使得[ma]=[nb]=k。即k < ma、nb<k+1，等價(jià)地改寫不等式為
* m/(k+1)< 1/a < m/k及n/(k+1)< 1/b < n/k。相加起來得 (m+n)/(k+1) < 1 < (m+n)/k，即 k < m+n < k+1。這與m、n為整數(shù)有矛盾，所以P∩Q為空集。 現(xiàn)證明Z+=P∪Q；已知P∪Q是Z+的子集，剩下來只要證明Z+是P∪Q的子集。(反證法)假設(shè)Z+\(P∪Q)有一個(gè)元素k，則存在正整數(shù)m、n使得[ma]< k <[(m+1)a]、[nb]< k <[(n+1)b]。 由此得ma < k ≦[ (m+1)a]-1<(m+1)a -1，類似地有nb < k ≦[ (n+1)b]-1<(n+1)b -1。等價(jià)地改寫為 m/k < 1/a < (m+1)/(k+1)及n/k < 1/b < (n+1)/(k+1)。兩式加起來，得
(m+n)/k < 1 < (m+n+2)/(k+1)，即m+n < k < k+1 < m+n+2。這與m, n, k皆為正整數(shù)矛盾。所以Z+=P∪Q。