素數有很多神奇的性質。我寫5個在下面供大家欣賞。

1. 素數的個數無限多（不存在最大的素數）
  證明：反證法，假設存在最大的素數P，那么我們可以構造一個新的數2 * 3 * 5 * 7 * … * P + 1（所有的素數乘起來加1）。顯然這個數不能被任一素數整除（所有素數除它都余1），這說明我們找到了一個更大的素數。

2. 存在任意長的一段連續數，其中的所有數都是合數（相鄰素數之間的間隔任意大）
  證明：當0<a<=n時，n!+a能被a整除。長度為n-1的數列n!+2, n!+3, n!+4, …, n!+n中，所有的數都是合數。這個結論對所有大于1的整數n都成立，而n可以取到任意大。

3. 所有大于2的素數都可以唯一地表示成兩個平方數之差。
   證明：大于2的素數都是奇數。假設這個數是2n+1。由于(n+1)^2=n^2+2n+1，(n+1)^2和n^2就是我們要找的兩個平方數。下面證明這個方案是唯一的。如果素數p能表示成a^2-b^2，則p=a^2-b^2=(a+b)(a-b)。由于p是素數，那么只可能a+b=p且a-b=1，這給出了a和b的唯一解。

4. 當n為大于2的整數時，2^n+1和2^n-1兩個數中，如果其中一個數是素數，那么另一個數一定是合數。
  證明：2^n不能被3整除。如果它被3除余1，那么2^n-1就能被3整除；如果被3除余2，那么2^n+1就能被3整除?？傊?，2^n+1和2^n-1中至少有一個是合數。

5. 如果p是素數，a是小于p的正整數，那么a^(p-1) mod p = 1。
  這個證明就有點麻煩了。
     首先我們證明這樣一個結論：如果p是一個素數的話，那么對任意一個小于p的正整數a，a, 2a, 3a, …, (p-1)a除以p的余數正好是一個1到p-1的排列。例如，5是素數，3, 6, 9, 12除以5的余數分別為3, 1, 4, 2，正好就是1到4這四個數。
    反證法，假如結論不成立的話，那么就是說有兩個小于p的正整數m和n使得na和ma除以p的余數相同。不妨假設n>m，則p可以整除a(n-m)。但p是素數，那么a和n-m中至少有一個含有因子p。這顯然是不可能的，因為a和n-m都比p小。
    用同余式表述，我們證明了：
(p-1)! ≡ a * 2a * 3a * … * (p-1)a (mod p)
    也即：
(p-1)! ≡ (p-1)! * a^(p-1) (mod p)
    兩邊同時除以(p-1)!，就得到了我們的最終結論：
1 ≡ a^(p-1) (mod p)

     可惜最后這個定理最初不是我證明的。這是大數學家Fermat證明的，叫做Fermat小定理(Fermat's Little Theorem)。Euler對這個定理進行了推廣，叫做Euler定理。Euler一生的定理太多了，為了和其它的“Euler定理”區別開來，有些地方叫做Fermat小定理的Euler推廣。Euler定理中需要用一個函數f(m)，它表示小于m的正整數中有多少個數和m互素（兩個數只有公約數1稱為互素）。為了方便，我們通常用記號φ(m)來表示這個函數（稱作Euler函數）。Euler指出，如果a和m互素，那么a^φ(m) ≡ 1 (mod m)。可以看到，當m為素數時，φ(m)就等于m-1（所有小于m的正整數都與m互素），因此它是Fermat小定理的推廣。定理的證明和Fermat小定理幾乎相同，只是要考慮的式子變成了所有與m互素的數的乘積：m_1 * m_2 … m_φ(m) ≡ (a * m_1)(a * m_2) … (a * m_φ(m)) (mod m)。我為什么要順便說一下Euler定理呢？因為下面一句話可以增加我網站的PV：這個定理出現在了The Hundred Greatest Theorems里。