邏輯是探索、闡述和確立有效推理原則的學(xué)科，最早由古希臘學(xué)者亞里士多德創(chuàng)建的。用數(shù)學(xué)的方法研究關(guān)于推理、證明等問題的學(xué)科就叫做數(shù)理邏輯。也叫做符號(hào)邏輯。
數(shù)理邏輯的產(chǎn)生
利用計(jì)算的方法來代替人們思維中的邏輯推理過程，這種想法早在十七世紀(jì)就有人提出過。萊布尼茨 就曾經(jīng)設(shè)想過能不能創(chuàng)造一種“通用的科學(xué)語言”，可以把推理過程象數(shù)學(xué)一樣利用公式來進(jìn)行計(jì)算，從而得出正確的結(jié)論。由于當(dāng)時(shí)的社會(huì)條件，他的想法并沒有 實(shí)現(xiàn)。但是它的思想?yún)s是現(xiàn)代數(shù)理邏輯部分內(nèi)容的萌芽，從這個(gè)意義上講，萊布尼茨的思想可以說是數(shù)理邏輯的先驅(qū)。
1847年，英國數(shù)學(xué)家布爾發(fā)表了《邏輯的數(shù)學(xué)分析》，建立了“布爾代數(shù)”，并創(chuàng)造一套符號(hào)系統(tǒng)，利用符號(hào)來表示邏輯中的各種概念。布爾建立了一系列的運(yùn)算法則，利用代數(shù)的方法研究邏輯問題，初步奠定了數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)。
十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，數(shù)理邏輯有了比較大的發(fā)展，1884年，德國數(shù)學(xué)家弗雷格出版了《數(shù)論 的基礎(chǔ)》一書，在書中引入量詞的符號(hào)，使得數(shù)理邏輯的符號(hào)系統(tǒng)更加完備。對(duì)建立這門學(xué)科做出貢獻(xiàn)的，還有美國人皮爾斯，他也在著作中引入了邏輯符號(hào)。從而 使現(xiàn)代數(shù)理邏輯最基本的理論基礎(chǔ)逐步形成，成為一門獨(dú)立的學(xué)科。
數(shù)理邏輯的內(nèi)容
數(shù)理邏輯包括哪些內(nèi)容呢？這里我們先介紹它的兩個(gè)最基本的也是最重要的組成部分，就是“命題演算”和“謂詞演算”。
命題演算是研究關(guān)于命題如何通過一些邏輯連接詞構(gòu)成更復(fù)雜的命題以及邏輯推理的方法。命題是指具有具體意義的又能判斷它是真還是假的句子。
如果我們把命題看作運(yùn)算的對(duì)象，如同代數(shù)中的數(shù)字、字母或代數(shù)式，而把邏輯連接詞看作運(yùn)算符號(hào)，就象代數(shù)中的“加、減、乘、除”那樣，那么由簡單命題組成復(fù)和命題的過程，就可以當(dāng)作邏輯運(yùn)算的過程，也就是命題的演算。
這樣的邏輯運(yùn)算也同代數(shù)運(yùn)算一樣具有一定的性質(zhì)，滿足一定的運(yùn)算規(guī)律。例如滿足交換律、結(jié)合 律、分配律，同時(shí)也滿足邏輯上的同一律、吸收律、雙否定律、狄摩根定律、三段論定律等等。利用這些定律，我們可以進(jìn)行邏輯推理，可以簡化復(fù)和命題，可以推 證兩個(gè)復(fù)合命題是不是等價(jià)，也就是它們的真值表是不是完全相同等等。
命題演算的一個(gè)具體模型就是邏輯代數(shù)。邏輯代數(shù)也叫做開關(guān)代數(shù)，它的基本運(yùn)算是邏輯加、邏輯乘和邏輯費(fèi)，也就是命題演算中的“或”、“與”、“非”，運(yùn)算對(duì)象只有兩個(gè)數(shù) 0和 1，相當(dāng)于命題演算中的“真”和“假”。
邏輯代數(shù)的運(yùn)算特點(diǎn)如同電路分析中的開和關(guān)、高電位和低電位、導(dǎo)電和截至等現(xiàn)象完全一樣，都只有兩種不同的狀態(tài)，因此，它在電路分析中得到廣泛的應(yīng)用。
利用電子元件可以組成相當(dāng)于邏輯加、邏輯成和邏輯非的門電路，就是邏輯元件。還能把簡單的邏輯元件組成各種邏輯網(wǎng)絡(luò)，這樣任何復(fù)雜的邏輯關(guān)系都可以有邏輯元件經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合來實(shí)現(xiàn)，從而使電子元件具有邏輯判斷的功能。因此，在自動(dòng)控制方面有重要的應(yīng)用。
謂詞演算也叫做命題涵項(xiàng)演算。在謂詞演算里，把命題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析成具有主詞和謂詞的邏輯形式，由命題涵項(xiàng)、邏輯連接詞和量詞構(gòu)成命題，然后研究這樣的命題之間的邏輯推理關(guān)系。
命題涵項(xiàng)就是指除了含有常項(xiàng)以外還含有變項(xiàng)的邏輯公式。常項(xiàng)是指一些確定的對(duì)象或者確定的屬性 和關(guān)系；變項(xiàng)是指一定范圍內(nèi)的任何一個(gè)，這個(gè)范圍叫做變項(xiàng)的變域。命題涵項(xiàng)和命題演算不同，它無所謂真和假。如果以一定的對(duì)象概念代替變項(xiàng)，那么命題涵項(xiàng) 就成為真的或假的命題了。
命題涵項(xiàng)加上全程量詞或者存在量詞，那么它就成為全稱命題或者特稱命題了。
數(shù)理邏輯的發(fā)展
數(shù)理邏輯這門學(xué)科建立以后，發(fā)展比較迅速，促進(jìn)它發(fā)展的因素也是多方面的。比如，非歐幾何的建立，促進(jìn)人們?nèi)パ芯糠菤W幾何和歐氏幾何的無矛盾性，就促進(jìn)了數(shù)理邏輯的發(fā)展。
集合論的產(chǎn)生是近代數(shù)學(xué)發(fā)展的重大事件，但是在集合論的研究過程中，出現(xiàn)了一次稱作數(shù)學(xué)史上的第三次大危機(jī)。這次危機(jī)是由于發(fā)現(xiàn)了集合論的悖論引起。什么是悖論呢？悖論就是邏輯矛盾。集合論本來是論證很嚴(yán)格的一個(gè)分支，被公認(rèn)為是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。
1903年，英國唯心主義哲學(xué)家、邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素卻對(duì)集合論提出了以他名字命名的“羅素悖論”，這個(gè)悖論的提出幾乎動(dòng)搖了整個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
羅素悖論中有許多例子，其中一個(gè)很通俗也很有名的例子就是“理發(fā)師悖論”：某鄉(xiāng)村有一位理發(fā) 師，有一天他宣布：只給不自己刮胡子的人刮胡子。那么就產(chǎn)生了一個(gè)問題：理發(fā)師究竟給不給自己刮胡子？如果他給自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他 的原則，他又不該給自己刮胡子；如果他不給自己刮胡子，那么他就是不自己刮胡子的人，按照他的原則，他又應(yīng)該給自己刮胡子。這就產(chǎn)生了矛盾。
悖論的提出，促使許多數(shù)學(xué)家去研究集合論的無矛盾性問題，從而產(chǎn)生了數(shù)理邏輯的一個(gè)重要分支—公理集合論。
非歐幾何的產(chǎn)生和集合論的悖論的發(fā)現(xiàn)，說明數(shù)學(xué)本身還存在許多問題，為了研究數(shù)學(xué)系統(tǒng)的無矛盾性問題，需要以數(shù)學(xué)理論體系的概念、命題、證明等作為研究對(duì)象，研究數(shù)學(xué)系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)和證明的規(guī)律，這樣又產(chǎn)生了數(shù)理邏輯的另一個(gè)分支—證明論。
數(shù)理邏輯新近還發(fā)展了許多新的分支，如遞歸論、模型論等。第歸論主要研究可計(jì)算性的理論，他和計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用有密切的關(guān)系。模型論主要是研究形式系統(tǒng)和數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系。
數(shù)理邏輯近年來發(fā)展特別迅速，主要原因是這門學(xué)科對(duì)于數(shù)學(xué)其它分支如集合論、數(shù)論、代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)等的發(fā)展有重大的影響，特別是對(duì)新近形成的計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展起了推動(dòng)作用。反過來，其他學(xué)科的發(fā)展也推動(dòng)了數(shù)理邏輯的發(fā)展。
正因?yàn)樗且蚤T新近興起而又發(fā)展很快的學(xué)科，所以它本身也存在許多問題有待于深入研究。現(xiàn)在許多數(shù)學(xué)家正針對(duì)數(shù)理邏輯本身的問題，進(jìn)行研究解決。
總之，這門學(xué)科的重要性已經(jīng)十分明顯，他已經(jīng)引起了更多人的關(guān)心和重視。