B樹

       即二叉搜索樹：

       1.所有非葉子結(jié)點至多擁有兩個兒子（Left和Right）；

       2.所有結(jié)點存儲一個關(guān)鍵字；

       3.非葉子結(jié)點的左指針指向小于其關(guān)鍵字的子樹，右指針指向大于其關(guān)鍵字的子樹；

       如：

       B樹的搜索，從根結(jié)點開始，如果查詢的關(guān)鍵字與結(jié)點的關(guān)鍵字相等，那么就命中；否則，如果查詢關(guān)鍵字比結(jié)點關(guān)鍵字小，就進(jìn)入左兒子；如果比結(jié)點關(guān)鍵字大，就進(jìn)入右兒子；如果左兒子或右兒子的指針為空，則報告找不到相應(yīng)的關(guān)鍵字；

       如果B樹的所有非葉子結(jié)點的左右子樹的結(jié)點數(shù)目均保持差不多（平衡），那么B樹的搜索性能逼近二分查找；但它比連續(xù)內(nèi)存空間的二分查找的優(yōu)點是，改變B樹結(jié)構(gòu)（插入與刪除結(jié)點）不需要移動大段的內(nèi)存數(shù)據(jù)，甚至通常是常數(shù)開銷；

       如：

   但B樹在經(jīng)過多次插入與刪除后，有可能導(dǎo)致不同的結(jié)構(gòu)：

   右邊也是一個B樹，但它的搜索性能已經(jīng)是線性的了；同樣的關(guān)鍵字集合有可能導(dǎo)致不同的樹結(jié)構(gòu)索引；所以，使用B樹還要考慮盡可能讓B樹保持左圖的結(jié)構(gòu)，和避免右圖的結(jié)構(gòu)，也就是所謂的“平衡”問題；     

       實際使用的B樹都是在原B樹的基礎(chǔ)上加上平衡算法，即“平衡二叉樹”；如何保持B樹結(jié)點分布均勻的平衡算法是平衡二叉樹的關(guān)鍵；平衡算法是一種在B樹中插入和刪除結(jié)點的策略；

B-樹

       是一種多路搜索樹（并不是二叉的）：

       1.定義任意非葉子結(jié)點最多只有M個兒子；且M>2；

       2.根結(jié)點的兒子數(shù)為[2, M]；

       3.除根結(jié)點以外的非葉子結(jié)點的兒子數(shù)為[M/2, M]；

       4.每個結(jié)點存放至少M(fèi)/2-1（取上整）和至多M-1個關(guān)鍵字；（至少2個關(guān)鍵字）

       5.非葉子結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)=指向兒子的指針個數(shù)-1；

       6.非葉子結(jié)點的關(guān)鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

       7.非葉子結(jié)點的指針：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關(guān)鍵字小于K[1]的子樹，P[M]指向關(guān)鍵字大于K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關(guān)鍵字屬于(K[i-1], K[i])的子樹；

       8.所有葉子結(jié)點位于同一層；

       如：（M=3）

       B-樹的搜索，從根結(jié)點開始，對結(jié)點內(nèi)的關(guān)鍵字（有序）序列進(jìn)行二分查找，如果命中則結(jié)束，否則進(jìn)入查詢關(guān)鍵字所屬范圍的兒子結(jié)點；重復(fù)，直到所對應(yīng)的兒子指針為空，或已經(jīng)是葉子結(jié)點；

B-樹的特性：

       1.關(guān)鍵字集合分布在整顆樹中；

       2.任何一個關(guān)鍵字出現(xiàn)且只出現(xiàn)在一個結(jié)點中；

       3.搜索有可能在非葉子結(jié)點結(jié)束；

       4.其搜索性能等價于在關(guān)鍵字全集內(nèi)做一次二分查找；

       5.自動層次控制；

       由于限制了除根結(jié)點以外的非葉子結(jié)點，至少含有M/2個兒子，確保了結(jié)點的至少利用率，其最底搜索性能為：

       其中，M為設(shè)定的非葉子結(jié)點最多子樹個數(shù)，N為關(guān)鍵字總數(shù)；

       所以B-樹的性能總是等價于二分查找（與M值無關(guān)），也就沒有B樹平衡的問題；

       由于M/2的限制，在插入結(jié)點時，如果結(jié)點已滿，需要將結(jié)點分裂為兩個各占M/2的結(jié)點；刪除結(jié)點時，需將兩個不足M/2的兄弟結(jié)點合并；

B+樹

       B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜索樹：

       1.其定義基本與B-樹同，除了：

       2.非葉子結(jié)點的子樹指針與關(guān)鍵字個數(shù)相同；

       3.非葉子結(jié)點的子樹指針P[i]，指向關(guān)鍵字值屬于[K[i], K[i+1])的子樹（B-樹是開區(qū)間）；

       5.為所有葉子結(jié)點增加一個鏈指針；

       6.所有關(guān)鍵字都在葉子結(jié)點出現(xiàn)；

       如：（M=3）

   B+的搜索與B-樹也基本相同，區(qū)別是B+樹只有達(dá)到葉子結(jié)點才命中（B-樹可以在非葉子結(jié)點命中），其性能也等價于在關(guān)鍵字全集做一次二分查找；

       B+的特性：

       1.所有關(guān)鍵字都出現(xiàn)在葉子結(jié)點的鏈表中（稠密索引），且鏈表中的關(guān)鍵字恰好是有序的；

       2.不可能在非葉子結(jié)點命中；

       3.非葉子結(jié)點相當(dāng)于是葉子結(jié)點的索引（稀疏索引），葉子結(jié)點相當(dāng)于是存儲（關(guān)鍵字）數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)層；

       4.更適合文件索引系統(tǒng)；

B*樹

       是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結(jié)點再增加指向兄弟的指針；

   B*樹定義了非葉子結(jié)點關(guān)鍵字個數(shù)至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3（代替B+樹的1/2）；

       B+樹的分裂：當(dāng)一個結(jié)點滿時，分配一個新的結(jié)點，并將原結(jié)點中1/2的數(shù)據(jù)復(fù)制到新結(jié)點，最后在父結(jié)點中增加新結(jié)點的指針；B+樹的分裂只影響原結(jié)點和父結(jié)點，而不會影響兄弟結(jié)點，所以它不需要指向兄弟的指針；

       B*樹的分裂：當(dāng)一個結(jié)點滿時，如果它的下一個兄弟結(jié)點未滿，那么將一部分?jǐn)?shù)據(jù)移到兄弟結(jié)點中，再在原結(jié)點插入關(guān)鍵字，最后修改父結(jié)點中兄弟結(jié)點的關(guān)鍵字（因為兄弟結(jié)點的關(guān)鍵字范圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結(jié)點與兄弟結(jié)點之間增加新結(jié)點，并各復(fù)制1/3的數(shù)據(jù)到新結(jié)點，最后在父結(jié)點增加新結(jié)點的指針；

       所以，B*樹分配新結(jié)點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；

小結(jié)

       B樹：二叉樹，每個結(jié)點只存儲一個關(guān)鍵字，等于則命中，小于走左結(jié)點，大于走右結(jié)點；

       B-樹：多路搜索樹，每個結(jié)點存儲M/2到M個關(guān)鍵字，非葉子結(jié)點存儲指向關(guān)鍵字范圍的子結(jié)點；

       所有關(guān)鍵字在整顆樹中出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次，非葉子結(jié)點可以命中；

       B+樹：在B-樹基礎(chǔ)上，為葉子結(jié)點增加鏈表指針，所有關(guān)鍵字都在葉子結(jié)點中出現(xiàn)，非葉子結(jié)點作為葉子結(jié)點的索引；B+樹總是到葉子結(jié)點才命中；

       B*樹：在B+樹基礎(chǔ)上，為非葉子結(jié)點也增加鏈表指針，將結(jié)點的最低利用率從1/2提高到2/3；