昨日偶然玩了會手機游戲--拼圖正是九宮問題。大二小學期的vb程序設計就是這個題目，當時沒有仔細研究。現在從新來看看這個問題。
<一下文字 摘自http://www.qqgb.com/Program/VC/VCarithmetic/Program_55328.html>
一、題目說明：
（九宮問題）在一個３×３的九宮中有１－８這８個數及一個空格隨機的擺放在其中的格子里，如圖１－１所示。現在要求實現這個問題：將該九宮格調整為如圖１－１右圖所示的形式。調整的規則是：每次只能將與空格（上、下、或左、右）相鄰的一個數字平移到空格中。試編程實現這一問題的求解。
（圖１－１）
二、題目分析：
九宮問題是人工智能中的經典難題之一，問題是在３×３方格棋盤中，放８格數，剩下的沒有放到的為空，每次移動只能是和相鄰的空格交換數。程序自動產生問題的初始狀態，通過一系列交換動作將其轉換成目標排列（如下圖１－２到圖１－３的轉換）。
（圖１－２） （圖１－３）
九宮問題中，程序產生的隨機排列轉換成目標共有兩種可能，而且這兩種不可能同時成立，也就是奇數排列和偶數排列。我們可以把一個隨機排列的數組從左到右從上到下用一個一維數組表示，如上圖１－２我們就可以表示成｛８，７，１，５，２，６，３，４，０｝其中０代表空格。
在這個數組中我們首先計算它能夠重排列出來的結果，公式就是：
∑（Ｆ（Ｘ））＝Ｙ，其中Ｆ（Ｘ）
就是一個數他前面比這個數小的數的個數，Ｙ為奇數和偶數個有一種解法。那么上面的數組我們就可以解出它的結果。
Ｆ（８）＝０；
Ｆ（７）＝０；
Ｆ（１）＝０；
Ｆ（５）＝１；
Ｆ（２）＝１；
Ｆ（６）＝３；
Ｆ（３）＝２；
Ｆ（４）＝３；
Ｙ＝０＋０＋０＋１＋１＋３＋２＋３＝１０
Ｙ＝１０是偶數，所以他的重排列就是如圖１－３的結果，如果加起來的結果是奇數重排的結果就是如圖１－１最右邊的排法。
注：將一個八數碼的狀態對應到一個序列，例如：
1 2 3
4 5 6
8 7
可對應于序列：1 2 3 4 5 6 8 7
對于空格的左移/右移操作，對應序列不變（逆序數也就不變）
對于空格的上移/下移操作，相當于序列的某個數字前移/后移兩位，該序列的逆序數奇偶性不變。
綜上所述，兩個互相可達的狀態對應序列逆序數的奇偶性應該相同
1 2 3 4 5 6 8 7奇偶性為1
1 2 3 4 5 6 7 8奇偶性為0
所以兩狀態相互不可達
三、算法分析
九宮問題的求解方法就是交換空格（０）位置，直至到達目標位置為止。圖形表示就是：
（圖３－１）
要想得到最優的就需要使用廣度優先搜索，九宮的所以排列有９！種，也就是３６２８８０種排法，數據量是非常大的，我使用的廣度搜索，需要記住每一個結點的排列形式，要是用數組記錄的話會占用很多的內存，我們把數據進行適當的壓縮。使用ＤＷＯＲＤ形式保存，壓縮形式是每個數字用３位表示，這樣就是３×９＝２７個字節，由于８的二進制表示形式１０００，不能用３位表示，我使用了一個小技巧就是將８表示位０００，然后用多出來的５個字表示８所在的位置，就可以用ＤＷＯＲＤ表示了。用移位和或操作將數據逐個移入，比乘法速度要快點。定義了幾個結果來存儲遍歷到了結果和搜索完成后保存最優路徑。
錯誤糾正：DWORD是32bit（當然是在WIN32下），上述段落把bit（位）說成了字。每個數字0—8都是用二進制表示的，占3位，共9個。故存儲一個狀態已占3*9=27位，還剩5位，用來表示8所在位置。
關于把（8）10=（1000）2表示成000是如何與（0）10區分的，我還沒有看懂。也許下面的代碼會更解釋的更加清楚。今天先休息了，下午還要去超市。晚上有時間把代碼看完，然后加上注釋。
類結構如下：
class CNineGird
{
public:
struct PlaceList
{
DWORD Place;
PlaceList* Left;
PlaceList* Right;
};
struct Scanbuf
{
DWORD Place;
int ScanID;
};
struct PathList
{
unsigned char Path[9];
};
private:
PlaceList *m_pPlaceList;
Scanbuf *m_pScanbuf;
RECT m_rResetButton;
RECT m_rAutoButton;
public:
int m_iPathsize;
clock_t m_iTime;
UINT m_iStepCount;
unsigned char m_iTargetChess[9];
unsigned char m_iChess[9];
HWND m_hClientWin;
PathList *m_pPathList;
bool m_bAutoRun;
private:
inline bool AddTree(DWORD place , PlaceList*& parent);
void FreeTree(PlaceList*& parent);
inline void ArrayToDword(unsigned char *array , DWORD & data);
inline void DwordToArray(DWORD data , unsigned char *array);
inline bool MoveChess(unsigned char *array , int way);
bool EstimateUncoil(unsigned char *array);
void GetPath(UINT depth);
public:
void MoveChess(int way);
bool ComputeFeel();
void ActiveShaw(HWND hView);
void DrawGird(HDC hDC , RECT clientrect);
void DrawChess(HDC hDC , RECT clientrect);
void Reset();
void OnButton(POINT pnt , HWND hView);
public:
CNineGird();
~CNineGird();
};
計算隨機隨機數組使用了vector模板用random_shuffle（，）函數來打亂數組數據，并計算目標結果是什么。代碼：
void CNineGird::Reset()
{
if(m_bAutoRun) return;
vector vs;
int i;
for (i = 1 ; i < 9 ; i ++)
vs.push_back(i);
vs.push_back(0);
random_shuffle(vs.begin(), vs.end());
random_shuffle(vs.begin(), vs.end());
for ( i = 0 ; i < 9 ; i ++)
{
m_iChess[i] = vs[i];
}
if (!EstimateUncoil(m_iChess))
{
unsigned char array[9] = {1,2,3,8,0,4,7,6,5};
memcpy(m_iTargetChess , array , 9);
}
else
{
unsigned char array[9] = {1,2,3,4,5,6,7,8,0}
memcpy(m_iTargetChess , array , 9);
}
m_iStepCount = 0;
}
數據壓縮函數實現：
inline void CNineGird::ArrayToDword(unsigned char *array , DWORD& data)
{
unsigned char night = 0;
for ( int i = 0 ; i < 9 ; i ++)
{
if (array[i] == 8)
{
night = (unsigned char)i;
break;
}
}
array[night] = 0;
data = 0;
data = (DWORD)((DWORD)array[0] << 29 | (DWORD)array[1] << 26 |
(DWORD)array[2] << 23 | (DWORD)array[3] << 20 |
(DWORD)array[4] << 17 | (DWORD)array[5] << 14 |
(DWORD)array[6] << 11 | (DWORD)array[7] << 8 |
(DWORD)array[8] << 5 | night);
array[night] = 8;
}
解壓縮時跟壓縮真好相反，解壓代碼：
inline void CNineGird::DwordToArray(DWORD data , unsigned char *array)
{
unsigned char chtem;
for ( int i = 0 ; i < 9 ; i ++)
{
chtem = (unsigned char)(data >> (32 - (i + 1) * 3) & 0x00000007);
array[i] = chtem;
}
chtem = (unsigned char)(data & 0x0000001F);
array[chtem] = 8;
}
由于可擴展的數據量非常的大，加上我在保存的時候使用的是ＤＷＯＲＤ類型，將每一步數據都記錄在一個排序二叉樹中，按從小到大從左到有的排列，搜索的時候跟每次搜索將近萬次的形式比較快幾乎是Ｎ次方倍，把幾個在循環中用到的函數聲明為內聯函數，并在插入的時候同時搜索插入的數據會不會在樹中有重復來加快總體速度。二叉樹插入代碼：
inline bool CNineGird::AddTree(DWORD place , PlaceList*& parent)
{
if (parent == NULL)
{
parent = new PlaceList();
parent->Left = parent->Right = NULL;
parent->Place = place;
return true;
}
if (parent->Place == place)
return false;
if (parent->Place > place)
{
return AddTree(place , parent->Right);
}
return AddTree(place , parent->Left);
}
計算結果是奇數排列還是偶數排列的代碼：
bool CNineGird::EstimateUncoil(unsigned char *array)
{
int sun = 0;
for ( int i = 0 ; i < 8 ; i ++)
{
for ( int j = 0 ; j < 9 ; j ++)
{
if (array[j] != 0)
{
if (array[j] == i +1 )
break;
if (array[j] < i + 1)
sun++;
}
}
}
if (sun % 2 == 0)
return true;
else
return false;
}
移動到空格位的代碼比較簡單，只要計算是否會移動到框外面就可以了，并在移動的時候順便計算一下是不是已經是目標結果，這是用來給用戶手工移動是給與提示用的，代碼：
inline bool CNineGird::MoveChess(unsigned char *array , int way)
{
int zero , chang;
bool moveok = false;
for ( zero = 0 ; zero < 9 ; zero ++)
{
if (array[zero] == 0)
break;
}
POINT pnt;
pnt.x = zero % 3;
pnt.y = int(zero / 3);
switch(way)
{
case 0 : //up
if (pnt.y + 1 < 3)
{
chang = (pnt.y + 1) * 3 + pnt.x ;
array[zero] = array[chang];
array[chang] = 0;
moveok = true;
}
break;
case 1 : //down
if (pnt.y - 1 > -1)
{
chang = (pnt.y - 1) * 3 + pnt.x ;
array[zero] = array[chang];
array[chang] = 0;
moveok = true;
}
break;
case 2 : //left
if (pnt.x + 1 < 3)
{
chang = pnt.y * 3 + pnt.x + 1;
array[zero] = array[chang];
array[chang] = 0;
moveok = true;
}
break;
case 3 : //right
if (pnt.x - 1 > -1)
{
chang = pnt.y * 3 + pnt.x - 1;
array[zero] = array[chang];
array[chang] = 0;
moveok = true;
}
break;
}
if (moveok && !m_bAutoRun)
{
m_iStepCount ++ ;
DWORD temp1 ,temp2;
ArrayToDword(array , temp1);
ArrayToDword(m_iTargetChess , temp2);
if (temp1 == temp2)
{
MessageBox(NULL , "你真聰明這么快就搞定了!" , "^_^" , 0);
}
}
return moveok;
}
我在進行廣度搜索時候，將父結點所在的數組索引記錄在子結點中了，所以得到目標排列的時候，我們只要從子結點逆向搜索就可以得到最優搜索路徑了。用變量m_iPathsize來記錄總步數，具體函數代碼：
void CNineGird::GetPath(UINT depth)
{
int now = 0 , maxpos = 100 ;
UINT parentid;
if (m_pPathList != NULL)
{
delete[] m_pPathList;
}
m_pPathList = new PathList[maxpos];
parentid = m_pScanbuf[depth].ScanID;
DwordToArray(m_pScanbuf[depth].Place , m_pPathList[++now].Path);
while(parentid != -1)
{
if (now == maxpos)
{
maxpos += 10;
PathList * temlist = new PathList[maxpos];
memcpy(temlist , m_pPathList , sizeof(PathList) * (maxpos - 10));
delete[] m_pPathList;
m_pPathList = temlist;
}
DwordToArray(m_pScanbuf[parentid].Place , m_pPathList[++now].Path);
parentid = m_pScanbuf[parentid].ScanID;
}
m_iPathsize = now;
}
動態排列的演示函數最簡單了，為了讓主窗體有及時刷新的機會，啟動了一個線程在需要主窗體刷新的時候，用Ｓｌｅｅ（ＵＩＮＴ）函數來暫停一下線程就可以了。代碼：
unsigned __stdcall MoveChessThread(LPVOID pParam)
{
CNineGird * pGird = (CNineGird *)pParam;
RECT rect;
pGird->m_iStepCount = 0;
::GetClientRect(pGird->m_hClientWin , &rect);
for ( int i = pGird->m_iPathsize ; i > 0 ; i --)
{
memcpy(pGird->m_iChess , pGird->m_pPathList[i].Path , 9);
pGird->m_iStepCount ++;
InvalidateRect( pGird->m_hClientWin , &rect , false);
Sleep(300);
}
char msg[100];
sprintf(msg , "^_^ ! 搞定了!\r\n計算步驟用時%d毫秒" , pGird->m_iTime);
MessageBox(NULL , msg , "~_~" , 0);
pGird->m_bAutoRun = false;
return 0L;
}
最后介紹一下搜索函數的原理，首先得到源數組，將其轉換成ＤＷＯＲＤ型，與目標比較，如果相同完成，不同就交換一下數據和空格位置，加入二叉樹，搜索下一個結果，直到沒有步可走了，在搜索剛剛搜索到的位置的子位置，這樣直到找到目標結果為止，函數：
bool CNineGird::ComputeFeel()
{
unsigned char *array = m_iChess;
UINT i;
const int MAXSIZE = 362880;
unsigned char temparray[9];
DWORD target , fountain , parent , parentID = 0 , child = 1;
ArrayToDword(m_iTargetChess , target);
ArrayToDword(array , fountain);
if (fountain == target)
{
return false;
}
if (m_pScanbuf != NULL)
{
delete[] m_pScanbuf;
}
m_pScanbuf = new Scanbuf[MAXSIZE];
AddTree(fountain ,m_pPlaceList);
m_pScanbuf[ 0 ].Place = fountain;
m_pScanbuf[ 0 ].ScanID = -1;
clock_t tim = clock();
while(parentID < MAXSIZE && child < MAXSIZE)
{
parent = m_pScanbuf[parentID].Place;
for ( i = 0 ; i < 4 ; i ++) // 0 :UP , 1:Down ,2:Left,3:Right
{
DwordToArray(parent , temparray);
if (MoveChess(temparray,i)) //是否移動成功
{
ArrayToDword(temparray , fountain);
if (AddTree(fountain, m_pPlaceList)) //加入搜索數
{
m_pScanbuf[ child ].Place = fountain;
m_pScanbuf[ child ].ScanID = parentID;
if (fountain == target) //是否找到結果
{
m_iTime = clock() - tim;
GetPath(child);//計算路徑
FreeTree(m_pPlaceList);
delete[] m_pScanbuf;
m_pScanbuf = NULL;
return true;
}
child ++;
}
}
} // for i
parentID++;
}
m_iTime = clock() - tim;
FreeTree(m_pPlaceList);
delete[] m_pScanbuf;
m_pScanbuf = NULL;
return false;
}