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Posted on 2009-08-28 09:20 reiks 閱讀(3563) 評論(0) 編輯 收藏 引用 所屬分類: 算法與數據結構
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 RMQ(Range Minimum/Maximum Query)問題：
RMQ問題是求給定區間中的最值問題。當然，最簡單的算法是O(n)的，但是對于查詢次數很多（設置多大100萬次），O(n)的算法效率不夠。可以用線段樹將算法優化到O（logn)（在線段樹中保存線段的最值）。不過，Sparse_Table算法才是最好的：它可以在O(nlogn)的預處理以后實現O(1)的查詢效率。下面把Sparse Table算法分成預處理和查詢兩部分來說明(以求最小值為例)。
預處理:
預處理使用DP的思想，f(i, j)表示[i, i+2^j - 1]區間中的最小值，我們可以開辟一個數組專門來保存f(i, j)的值。
例如，f(0, 0)表示[0,0]之間的最小值,就是num[0], f(0, 2)表示[0, 3]之間的最小值, f(2, 4)表示[2, 17]之間的最小值
注意, 因為f(i, j)可以由f(i, j - 1)和f(i+2^(j-1), j-1)導出, 而遞推的初值(所有的f(i, 0) = i)都是已知的
所以我們可以采用自底向上的算法遞推地給出所有符合條件的f(i, j)的值。
查詢:
假設要查詢從m到n這一段的最小值, 那么我們先求出一個最大的k, 使得k滿足2^k <= (n - m + 1).
于是我們就可以把[m, n]分成兩個(部分重疊的)長度為2^k的區間: [m, m+2^k-1], [n-2^k+1, n];
而我們之前已經求出了f(m, k)為[m, m+2^k-1]的最小值, f(n-2^k+1, k)為[n-2^k+1, n]的最小值
我們只要返回其中更小的那個, 就是我們想要的答案, 這個算法的時間復雜度是O(1)的.
例如, rmq(0, 11) = min(f(0, 3), f(4, 3))
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#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
#define MAXN 1000000
#define mmin(a, b) ((a)<=(b)?(a):(b))
#define mmax(a, b) ((a)>=(b)?(a):(b))
int num[MAXN];
int f1[MAXN][100];
int f2[MAXN][100];
//測試輸出所有的f(i, j)
void dump(int n)
 {
int i, j;
for(i = 0; i < n; i++)
  {
for(j = 0; i + (1<<j) - 1 < n; j++)
{
printf("f[%d, %d] = %d\t", i, j, f1[i][j]);
 }
printf("\n");
}
for(i = 0; i < n; i++)
printf("%d ", num[i]);
printf("\n");
for(i = 0; i < n; i++)
{
for(j = 0; i + (1<<j) - 1 < n; j++)
{
printf("f[%d, %d] = %d\t", i, j, f2[i][j]);
}
printf("\n");
}
for(i = 0; i < n; i++)
printf("%d ", num[i]);
printf("\n");
}
//sparse table算法
void st(int n)
{
int i, j, k, m;
k = (int) (log((double)n) / log(2.0));
for(i = 0; i < n; i++)
{
f1[i][0] = num[i]; //遞推的初值
f2[i][0] = num[i];
}
for(j = 1; j <= k; j++)
{ //自底向上遞推
for(i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i++)
{
m = i + (1 << (j - 1)); //求出中間的那個值
f1[i][j] = mmax(f1[i][j-1], f1[m][j-1]);
f2[i][j] = mmin(f2[i][j-1], f2[m][j-1]);
}
}
}
//查詢i和j之間的最值,注意i是從0開始的
void rmq(int i, int j)
{
int k = (int)(log(double(j-i+1)) / log(2.0)), t1, t2; //用對2去對數的方法求出k
t1 = mmax(f1[i][k], f1[j - (1<<k) + 1][k]);
t2 = mmin(f2[i][k], f2[j - (1<<k) + 1][k]);
printf("%d\n",t1 - t2);
}
int main()
{
int i,N,Q,A,B;
scanf("%d %d", &N, &Q);
for (i = 0; i < N; ++i)
{
scanf("%d", num+i);
}
st(N); //初始化
//dump(N); //測試輸出所有f(i, j)
while(Q--)
{
scanf("%d %d",&A,&B);
rmq(A-1, B-1);
}
return 0;
}
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