數(shù)學(xué)之美 系列九 -- 如何確定網(wǎng)頁(yè)和查詢的相關(guān)性

2006年6月27日 上午 09:53:00

發(fā)表者：吳軍，Google 研究員

[我們已經(jīng)談過(guò)了如何自動(dòng)下載網(wǎng)頁(yè)、如何建立索引、如何衡量網(wǎng)頁(yè)的質(zhì)量(Page Rank)。我們今天談?wù)勅绾未_定一個(gè)網(wǎng)頁(yè)和某個(gè)查詢的相關(guān)性。了解了這四個(gè)方面，一個(gè)有一定編程基礎(chǔ)的讀者應(yīng)該可以寫一個(gè)簡(jiǎn)單的搜索引擎了，比如為您所在的學(xué)校或院系建立一個(gè)小的搜索引擎。]

我們還是看上回的例子，查找關(guān)于“原子能的應(yīng)用”的網(wǎng)頁(yè)。我們第一步是在索引中找到包含這三個(gè)詞的網(wǎng)頁(yè)（詳見(jiàn)關(guān)于布爾運(yùn)算的系列）。現(xiàn)在任何一個(gè)搜索引擎都包含幾十萬(wàn)甚至是上百萬(wàn)個(gè)多少有點(diǎn)關(guān)系的網(wǎng)頁(yè)。那么哪個(gè)應(yīng)該排在前面呢？顯然我們應(yīng)該根據(jù)網(wǎng)頁(yè)和查詢“原子能的應(yīng)用”的相關(guān)性對(duì)這些網(wǎng)頁(yè)進(jìn)行排序。因此，這里的關(guān)鍵問(wèn)題是如何度量網(wǎng)頁(yè)和查詢的相關(guān)性。

我們知道，短語(yǔ)“原子能的應(yīng)用”可以分成三個(gè)關(guān)鍵詞：原子能、的、應(yīng)用。根據(jù)我們的直覺(jué)，我們知道，包含這三個(gè)詞多的網(wǎng)頁(yè)應(yīng)該比包含它們少的網(wǎng)頁(yè)相關(guān)。當(dāng)然，這個(gè)辦法有一個(gè)明顯的漏洞，就是長(zhǎng)的網(wǎng)頁(yè)比短的網(wǎng)頁(yè)占便宜，因?yàn)殚L(zhǎng)的網(wǎng)頁(yè)總的來(lái)講包含的關(guān)鍵詞要多些。因此我們需要根據(jù)網(wǎng)頁(yè)的長(zhǎng)度，對(duì)關(guān)鍵詞的次數(shù)進(jìn)行歸一化，也就是用關(guān)鍵詞的次數(shù)除以網(wǎng)頁(yè)的總字?jǐn)?shù)。我們把這個(gè)商稱為“關(guān)鍵詞的頻率”，或者“單文本詞匯頻率”（Term Frequency)，比如，在某個(gè)一共有一千詞的網(wǎng)頁(yè)中“原子能”、“的”和“應(yīng)用”分別出現(xiàn)了 2 次、35 次 和 5 次，那么它們的詞頻就分別是 0.002、0.035 和 0.005。 我們將這三個(gè)數(shù)相加，其和 0.042 就是相應(yīng)網(wǎng)頁(yè)和查詢“原子能的應(yīng)用”
相關(guān)性的一個(gè)簡(jiǎn)單的度量。概括地講，如果一個(gè)查詢包含關(guān)鍵詞 w1,w2,...,wN, 它們?cè)谝黄囟ňW(wǎng)頁(yè)中的詞頻分別是: TF1, TF2, ..., TFN。 （TF: term frequency)。 那么，這個(gè)查詢和該網(wǎng)頁(yè)的相關(guān)性就是:
TF1 + TF2 + ... + TFN。

讀者可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了又一個(gè)漏洞。在上面的例子中，詞“的”站了總詞頻的 80% 以上，而它對(duì)確定網(wǎng)頁(yè)的主題幾乎沒(méi)有用。我們稱這種詞叫“應(yīng)刪除詞”（Stopwords)，也就是說(shuō)在度量相關(guān)性是不應(yīng)考慮它們的頻率。在漢語(yǔ)中，應(yīng)刪除詞還有“是”、“和”、“中”、“地”、“得”等等幾十個(gè)。忽略這些應(yīng)刪除詞后，上述網(wǎng)頁(yè)的相似度就變成了0.007，其中“原子能”貢獻(xiàn)了0.002，“應(yīng)用”貢獻(xiàn)了 0.005。

細(xì)心的讀者可能還會(huì)發(fā)現(xiàn)另一個(gè)小的漏洞。在漢語(yǔ)中，“應(yīng)用”是個(gè)很通用的詞，而“原子能”是個(gè)很專業(yè)的詞，后者在相關(guān)性排名中比前者重要。因此我們需要給漢語(yǔ)中的每一個(gè)詞給一個(gè)權(quán)重，這個(gè)權(quán)重的設(shè)定必須滿足下面兩個(gè)條件：

1. 一個(gè)詞預(yù)測(cè)主題能力越強(qiáng)，權(quán)重就越大，反之，權(quán)重就越小。我們?cè)诰W(wǎng)頁(yè)中看到“原子能”這個(gè)詞，或多或少地能了解網(wǎng)頁(yè)的主題。我們看到“應(yīng)用”一次，對(duì)主題基本上還是一無(wú)所知。因此，“原子能“的權(quán)重就應(yīng)該比應(yīng)用大。

2. 應(yīng)刪除詞的權(quán)重應(yīng)該是零。

我們很容易發(fā)現(xiàn)，如果一個(gè)關(guān)鍵詞只在很少的網(wǎng)頁(yè)中出現(xiàn)，我們通過(guò)它就容易鎖定搜索目標(biāo)，它的權(quán)重也就應(yīng)該大。反之如果一個(gè)詞在大量網(wǎng)頁(yè)中出現(xiàn)，我們看到它仍然不很清楚要找什么內(nèi)容，因此它應(yīng)該小。概括地講，假定一個(gè)關(guān)鍵詞 ｗ 在 Ｄｗ 個(gè)網(wǎng)頁(yè)中出現(xiàn)過(guò)，那么 Ｄｗ 越大，ｗ 的權(quán)重越小，反之亦然。在信息檢索中，使用最多的權(quán)重是“逆文本頻率指數(shù)” （Inverse document frequency 縮寫為ＩＤＦ），它的公式為ｌｏｇ（Ｄ／Ｄｗ）其中Ｄ是全部網(wǎng)頁(yè)數(shù)。比如，我們假定中文網(wǎng)頁(yè)數(shù)是Ｄ＝１０億，應(yīng)刪除詞“的”在所有的網(wǎng)頁(yè)中都出現(xiàn)，即Ｄｗ＝１０億，那么它的ＩＤＦ＝log(10億/10億）= log (1) = ０。假如專用詞“原子能”在兩百萬(wàn)個(gè)網(wǎng)頁(yè)中出現(xiàn)，即Ｄｗ＝２００萬(wàn)，則它的權(quán)重ＩＤＦ＝log(500) =6.2。又假定通用詞“應(yīng)用”，出現(xiàn)在五億個(gè)網(wǎng)頁(yè)中，它的權(quán)重ＩＤＦ = log(2)
則只有 0.7。也就只說(shuō)，在網(wǎng)頁(yè)中找到一個(gè)“原子能”的比配相當(dāng)于找到九個(gè)“應(yīng)用”的匹配。利用 IDF，上述相關(guān)性計(jì)算個(gè)公式就由詞頻的簡(jiǎn)單求和變成了加權(quán)求和，即 TF1*IDF1 +　TF2*IDF2 ＋... + TFN*IDFN。在上面的例子中，該網(wǎng)頁(yè)和“原子能的應(yīng)用”的相關(guān)性為 0.0161，其中“原子能”貢獻(xiàn)了 0.0126，而“應(yīng)用”只貢獻(xiàn)了0.0035。這個(gè)比例和我們的直覺(jué)比較一致了。

ＴＦ／ＩＤＦ（term frequency/inverse document frequency) 的概念被公認(rèn)為信息檢索中最重要的發(fā)明。在搜索、文獻(xiàn)分類和其他相關(guān)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。講起 TF/IDF 的歷史蠻有意思。IDF 的概念最早是劍橋大學(xué)的斯巴克－瓊斯[注：她有兩個(gè)姓］ (Karen Sparck Jones)提出來(lái)的。斯巴克－瓊斯 １９７２ 年在一篇題為關(guān)鍵詞特殊性的統(tǒng)計(jì)解釋和她在文獻(xiàn)檢索中的應(yīng)用的論文中提出ＩＤＦ。遺憾的是，她既沒(méi)有從理論上解釋為什么權(quán)重ＩＤＦ 應(yīng)該是對(duì)數(shù)函數(shù) ｌｏｇ（Ｄ／Ｄｗ）（而不是其它的函數(shù)，比如平方根），也沒(méi)有在這個(gè)題目上作進(jìn)一步深入研究，以至于在以后的很多文獻(xiàn)中人們提到 ＴＦ／ＩＤＦ 時(shí)沒(méi)有引用她的論文，絕大多數(shù)人甚至不知道斯巴克－瓊斯的貢獻(xiàn)。同年羅賓遜寫了個(gè)兩頁(yè)紙的解釋，解釋得很不好。倒是后來(lái)康乃爾大學(xué)的薩爾頓（Salton)多次寫文章、寫書討論 TF/IDF 在信息檢索中的用途，加上薩爾頓本人的大名（信息檢索的世界大獎(jiǎng)就是以薩爾頓的名字命名的）。很多人都引用薩爾頓的書，甚至以為這個(gè)信息檢索中最重要的概念是他提出的。當(dāng)然，世界并沒(méi)有忘記斯巴克－瓊斯的貢獻(xiàn)，2004年，在紀(jì)念文獻(xiàn)學(xué)學(xué)報(bào)創(chuàng)刊 60 周年之際，該學(xué)報(bào)重印了斯巴克-瓊斯的大作。羅賓遜在同期期刊上寫了篇文章，用香農(nóng)的信息論解釋 IDF，這回的解釋是對(duì)的，但文章寫的并不好、非常冗長(zhǎng)（足足十八頁(yè)），把一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題搞復(fù)雜了。其實(shí)，信息論的學(xué)者們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并指出，其實(shí) IDF 的概念就是一個(gè)特定條件下、關(guān)鍵詞的概率分布的交叉熵（Kullback-Leibler Divergence)（詳見(jiàn)上一系列）。這樣，信息檢索相關(guān)性的度量，又回到了信息論。

現(xiàn)在的搜索引擎對(duì) TF/IDF 進(jìn)行了不少細(xì)微的優(yōu)化，使得相關(guān)性的度量更加準(zhǔn)確了。當(dāng)然，對(duì)有興趣寫一個(gè)搜索引擎的愛(ài)好者來(lái)講，使用 TF/IDF 就足夠了。 如果我們結(jié)合上網(wǎng)頁(yè)排名(Page Rank)，那么給定一個(gè)查詢，有關(guān)網(wǎng)頁(yè)綜合排名大致由相關(guān)性和網(wǎng)頁(yè)排名乘積決定。