巧算星期幾

基姆。拉爾森

基姆擁有計算機學科的博士學位。他對數據庫，算法和數據結構有著濃厚的興趣。他的聯系地址是??????????? （原文為丹麥文－－譯者注） 31，DK－5270，Odense N,Denmark,或發 E-mail 至 :kslarsen@imada.ou.dk。

簡介

布魯斯 施耐爾

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“四，六，九，十一，三十天就齊……”兒歌是這么唱的；或許你也曾經掰著手指頭翻來覆去地數，讓趕上單數的指頭代表只有30天的短月吧？這樣的口訣對我們是很管用的（我就是念叨著這首傻乎乎的兒歌長大的），可是電腦就沒有這份“靈感”了。當然，我們可以用一大堆IF－THEN－ELSES的語句或幾個CASE來編寫計算程序，讓它計算某個指定日期是星期幾。

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不過我更喜歡基姆拉爾森在本月的“算法小徑”中為我們帶來的新技巧，因為他的方法另辟蹊徑，從一個全新的方向著手解決日期計算的問題。其實，并沒有什么數學公式能算出某個指定日期是星期幾，不過我們可以試著拼湊一個，如果我們的嘗試成功了，你就能擁有一個易于編程的數學公式，并能用它自動計算哪天是星期幾了。

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順便說一句，如果你已經設計出更巧妙的算法，或是在已有的方法上有了新突破的話，不妨告訴我，我一定洗耳恭聽。我的聯系方法是schneier@chinet.com，或者在DJJ編輯部給我留張便條就行。

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你有沒有疑惑過你的電腦怎么就知道今天是星期三呢？就算你的電腦關機了，你重啟后設定了新日期，它也能立即知道這天是星期幾。

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在你還是個孩子的時候，你可能見過一種紀錄記錄著年，月，日的表格，只要加上幾個數字，和它相連的另一張表格就會告訴你這個日期是星期幾。當然，計算機硬盤的操作系統里也可以加入這樣的計算表。不過有一種簡單的方法可以輕松地算出某天是星期幾；而且這個方法只占用很少的內存空間，而那些只能推算幾百年的表格可就太占地方了。

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如果目前你的電腦還不具備推算與日期對應的星期數的功能，現在就不妨在自己的程序中試試下面的公式。

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創建公式

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首先，我們要用變量D，M和Y來表示日期。比如，1994年3月1日就用“D＝1，M＝3，Y＝4”記錄。我們的目標是讓計算結果在0到6之間。0代表星期一，1代表星期二，2代表星期三，依此類推。

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1994年3月1日是個星期二，那么“D mod 7(日期變量除以7的余數）)))”這個公式對于整個三月份都有效。比如3月18日是星期五，18 mod 7＝4；而4正代表星期五。別忘了，整數的除法和求模有著密切的關系。比方說，26除以7商3余5，這就是說，26除以7商數取整等于3，而26除以7求模（簡寫為26 mod 7）等于5。以上這些意味著19 mod 7=12 mod 7= 5 mod 7=5。在運算規則中，負數求模運算法相似，所以依此類推，-2 mod 7=5, -9 mod 7=5。

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在更正式的表達法中，統一用任意整數n和k表達上述關系，那么這個過程可以表達為n=qk+r，這里的q和r的取值范圍同樣是整數和0。表1中列出了所有月份的變換數據（shift information此處試譯為“檔級數據”，還請進一步校對－－譯者注）。為了盡可能地得出規律，二月被排在最后，同理，一月也是如此。

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例1（a）中的公式是仿照表1中的變換數據欄所描述的模式而創建的。這個公式中的除法一律是商數取整。所以得數是最接近真正商數的整數。表2得出了此功能得出的有趣的數值。憑直覺，我們不難發現，當M(代表月份的變量)的值以1為單位遞增時，2M就成倍增長，而3(M+1)/5就以3/5為增長倍數。

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這正是我們仿制3,2,3,2,3這個重復格式所需要的（表中右邊的彎括號表明了這一點）。請注意，我們在以7為除數求模，那么從6到2的求模結果就會逐個增加3（順序是6,0,1,2）。

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現在，我們發現了適用于逐月向下推算的校正方法，并希望把它加入剛才的嘗試中，就是那個mod7公式。還以1994年3月1日為例，這個日期的M＝3。請注意，在例1（b）中，8 mod 7＝1，所以當整個公式合并時，必須減去1。在做以7為除數求模的運算時，減1和加6是一樣的，因為-1 mod 7=6 mod 7=6。

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這樣，例1（c）中的公式就可以計算這一年中剩下的月份了。其實，既然我們把一月和二月排在表1的最后，那么只要我們把它們看成是十三月和十四月，就能接著推算1995年的前兩個月了。這是因為，雖然它們并不是一個完整的3,2,3,2,3結構，但恰好可以是這個結構的開始，為了使這個公式更完善，我們還是最好把一月和二月看成是上一年的十三月和十四月。

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加入年份

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順著年份向下找，我們觀察到1995年3月1日是星期三。這說明，每增加一年，我們公式的計算結果就會增加1。這太簡單了，我們只要簡單地把年份加上去就行了。再提醒你一次，我們必須確保出發點是正確的。由于1994 mod 7=6，我們在把Y加入已有的公式時就必須減去6。由此改進的例2(a)就更完善了。

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1996年是個閏年，這帶來了我們的下一個問題。這一年的3月1日是星期五，而不是剛才的公式推算出的星期四。所以每當我們碰上閏年時還得多加上1。判斷閏年的規則是，能被4整除，并能被100和400同時整除的年份就是閏年。就這樣，我們在原有的基礎上添加Y/4--Y/100+Y/400。再強調一下，我們必須從一開始就確保正確。既然(1994/4--1994/100+1994/400) mod 7=(498--19+4) mod 7=483 mod 7=0,所以就不用再做任何調整了。這樣，例2(b)就是我們最終的成果了。這個公式能一直工作下去，除非改變現行的日歷系統。作為示例，讓我們試著推算一下2000年7月4日：(4+2*3+(7+1)/5+2000+2000/4--2000/100+2000/400) mod 7= (4+14+2000+500--20+5) mod 7=2507 mod 7=1，所以那一天是星期二。

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這個公式還能推算過去的日期；然而計算范圍有限，讓我們看看1752年9月14號這個星期四吧，我們的公式最遠只能推算到這里了。不過像“1963年11月22日你在哪里”這樣的日常問題中提到的日期還是可以輕松應對的：(22+2*11+3(11+1)/5+1963+1963/4--1963/100+1963/400) mod 7=(22+22+7+1963+490--19+4) mod 7=2489 mod 7=4。那天就是星期五。

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例3例子3是一個C語言程序，按照把這個公式自動推算給定日期是星期幾。

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表1：每月變換數據

月份???????? 天數???????? 變換

三月????????? 31??????????? 3

四月????????? 30??????????? 2

五月????????? 31??????????? 3

六月????????? 30??????????? 2

七月????????? 31??????????? 3

八月????????? 31??????????? 3

九月????????? 30??????????? 2

十月????????? 31??????????? 3

十一月??????? 30??????????? 2

十二月??????? 31??????????? 3

一月????????? 31??????????? 3

二月????????? 28??????????? 3

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表2：仿制變換數據形式的功能。例1中建立的公式可以適用于1994年。例2把這個公式的功能擴展到可以應用在不同的年份進行推算。

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例3：用C語言程序表達上述公式

/*計算指定日期是星期幾。默認輸入的*/

/*數字代表正確的日期*/

/* 推算給定日期是星期幾，假定輸入是正確的數據 */
#include
char *name[] = { "Monday",
???????????????? "Tuesday",
???????????????? "Wednesday",
??????????????? "Thursday",
??????????????? "Friday",
??????????????? "Saturday",
??????????????? "Sunday"
?????????????? };
void main(){
? int D,M,Y,A;
? printf("Day: "); fflush(stdout);
? scanf("%d",&D);
? printf("Month: "); fflush(stdout);
? scanf("%d",&M);
? printf("Year: "); fflush(stdout);
? scanf("%d",&Y);
/* January and February are treated as month 13 and 14, */
/* respectively, from the year before.????????????????? */
? if ((M == 1) || (M == 2)){
??? M += 12;
??? Y--;
? }
? A = (D + 2*M + 3*(M+1)/5 + Y + Y/4 - Y/100 + Y/400) % 7;
? printf("It's a %s.\n",name[A]);
}

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/*一月和二月被當作前一年的*/

/*十三月和十四月分別處理*/

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