這個標題看上去好像很復雜，其實我要談的是一個很簡單的問題。
有一篇很長的文章，我要用計算機提取它的關鍵詞（Automatic Keyphrase extraction），完全不加以人工干預，請問怎樣才能正確做到？
這個問題涉及到數據挖掘、文本處理、信息檢索等很多計算機前沿領域，但是出乎意料的是，有一個非常簡單的經典算法，可以給出令人相當滿意的結果。它簡單到都不需要高等數學，普通人只用10分鐘就可以理解，這就是我今天想要介紹的TF-IDF算法。
讓我們從一個實例開始講起。假定現在有一篇長文《中國的蜜蜂養殖》，我們準備用計算機提取它的關鍵詞。
一個容易想到的思路，就是找到出現次數最多的詞。如果某個詞很重要，它應該在這篇文章中多次出現。于是，我們進行"詞頻"（Term Frequency，縮寫為TF）統計。
結果你肯定猜到了，出現次數最多的詞是----"的"、"是"、"在"----這一類最常用的詞。它們叫做"停用詞"（stop words），表示對找到結果毫無幫助、必須過濾掉的詞。
假設我們把它們都過濾掉了，只考慮剩下的有實際意義的詞。這樣又會遇到了另一個問題，我們可能發現"中國"、"蜜蜂"、"養殖"這三個詞的出現次數一樣多。這是不是意味著，作為關鍵詞，它們的重要性是一樣的？
顯然不是這樣。因為"中國"是很常見的詞，相對而言，"蜜蜂"和"養殖"不那么常見。如果這三個詞在一篇文章的出現次數一樣多，有理由認為，"蜜蜂"和"養殖"的重要程度要大于"中國"，也就是說，在關鍵詞排序上面，"蜜蜂"和"養殖"應該排在"中國"的前面。
所以，我們需要一個重要性調整系數，衡量一個詞是不是常見詞。如果某個詞比較少見，但是它在這篇文章中多次出現，那么它很可能就反映了這篇文章的特性，正是我們所需要的關鍵詞。
用統計學語言表達，就是在詞頻的基礎上，要對每個詞分配一個"重要性"權重。最常見的詞（"的"、"是"、"在"）給予最小的權重，較常見的詞（"中國"）給予較小的權重，較少見的詞（"蜜蜂"、"養殖"）給予較大的權重。這個權重叫做"逆文檔頻率"（Inverse Document Frequency，縮寫為IDF），它的大小與一個詞的常見程度成反比。
知道了"詞頻"（TF）和"逆文檔頻率"（IDF）以后，將這兩個值相乘，就得到了一個詞的TF-IDF值。某個詞對文章的重要性越高，它的TF-IDF值就越大。所以，排在最前面的幾個詞，就是這篇文章的關鍵詞。
下面就是這個算法的細節。
第一步，計算詞頻。
考慮到文章有長短之分，為了便于不同文章的比較，進行"詞頻"標準化。
或者
第二步，計算逆文檔頻率。
這時，需要一個語料庫（corpus），用來模擬語言的使用環境。
如果一個詞越常見，那么分母就越大，逆文檔頻率就越小越接近0。分母之所以要加1，是為了避免分母為0（即所有文檔都不包含該詞）。log表示對得到的值取對數。
第三步，計算TF-IDF。
可以看到，TF-IDF與一個詞在文檔中的出現次數成正比，與該詞在整個語言中的出現次數成反比。所以，自動提取關鍵詞的算法就很清楚了，就是計算出文檔的每個詞的TF-IDF值，然后按降序排列，取排在最前面的幾個詞。
還是以《中國的蜜蜂養殖》為例，假定該文長度為1000個詞，"中國"、"蜜蜂"、"養殖"各出現20次，則這三個詞的"詞頻"（TF）都為0.02。然后，搜索Google發現，包含"的"字的網頁共有250億張，假定這就是中文網頁總數。包含"中國"的網頁共有62.3億張，包含"蜜蜂"的網頁為0.484億張，包含"養殖"的網頁為0.973億張。則它們的逆文檔頻率（IDF）和TF-IDF如下：
從上表可見，"蜜蜂"的TF-IDF值最高，"養殖"其次，"中國"最低。（如果還計算"的"字的TF-IDF，那將是一個極其接近0的值。）所以，如果只選擇一個詞，"蜜蜂"就是這篇文章的關鍵詞。
除了自動提取關鍵詞，TF-IDF算法還可以用于許多別的地方。比如，信息檢索時，對于每個文檔，都可以分別計算一組搜索詞（"中國"、"蜜蜂"、"養殖"）的TF-IDF，將它們相加，就可以得到整個文檔的TF-IDF。這個值最高的文檔就是與搜索詞最相關的文檔。
TF-IDF算法的優點是簡單快速，結果比較符合實際情況。缺點是，單純以"詞頻"衡量一個詞的重要性，不夠全面，有時重要的詞可能出現次數并不多。而且，這種算法無法體現詞的位置信息，出現位置靠前的詞與出現位置靠后的詞，都被視為重要性相同，這是不正確的。（一種解決方法是，對全文的第一段和每一段的第一句話，給予較大的權重。）