原文鏈接：Part3: Binary Trees and BSTs
本文是"考察數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)"系列文章的第三部分，討論的是.Net Framework基類庫沒有包括的常用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：
二叉樹。就像線形排列數(shù)據(jù)的數(shù)組一樣，我們可以將二叉樹想象為以二維方式來存儲數(shù)據(jù)。其中一種特殊的二叉樹，我們稱為二叉搜索樹（binary search tree），簡稱為BST，它的數(shù)據(jù)搜索能力比一般數(shù)組更加優(yōu)化。
目錄：
簡介
在樹中排列數(shù)據(jù)
理解二叉樹
用BSTs改善數(shù)據(jù)搜索時(shí)間
現(xiàn)實(shí)世界的二叉搜索樹
簡介：
在本系列的第一部分，我們講述了什么是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，怎么評估它們的性能，以及怎樣根據(jù)其性能選擇具體的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來處理特定的算法。另外，我們復(fù)習(xí)了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)知識，了解了最常用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——數(shù)組及與其相關(guān)的ArrayList。在第二部分，我們講述了ArrayList的兩個(gè)兄弟——堆棧和隊(duì)列。它們存儲數(shù)據(jù)的方式與ArrayList非常相似，但它們訪問數(shù)據(jù)的方式受到了限制。我們還討論了哈希表，它可以以任意對象作為其索引，而非一般所用的序數(shù)。
ArrayList，堆棧，隊(duì)列和哈希表從存儲數(shù)據(jù)的表現(xiàn)形式看，都可以認(rèn)為是一種數(shù)組結(jié)構(gòu)。這意味著，這四種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)都將受到數(shù)組邊界的限制。回想第一部分所講的，數(shù)組在內(nèi)存中以線形存儲數(shù)據(jù)，當(dāng)數(shù)組容量到達(dá)最大值時(shí)，需要顯式地改變其容量，同時(shí)會造成線形搜索時(shí)間的增加。
本部分，我們講考察一種全新的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——二叉樹。它以一種非線性的方式存儲數(shù)據(jù)。之后，我們還將介紹一種更具特色的二叉樹——二叉搜索樹（BST）。BST規(guī)定了排列樹的每個(gè)元素項(xiàng)的一些規(guī)則。這些規(guī)則保證了BSTs能夠以一種低于線形搜索時(shí)間的性能來搜索數(shù)據(jù)。
在樹中排列數(shù)據(jù)
如果我們看過家譜，或者是一家公司的組織結(jié)構(gòu)圖，那么事實(shí)上你已經(jīng)明白在樹中數(shù)據(jù)的排列方式了。樹由許多節(jié)點(diǎn)的集合組成，這些節(jié)點(diǎn)又有許多相關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)和“孩子”。子節(jié)點(diǎn)就是直接處于節(jié)點(diǎn)之下的節(jié)點(diǎn)。父節(jié)點(diǎn)則位于與節(jié)點(diǎn)直接關(guān)聯(lián)的上方。樹的根是一個(gè)不包含父節(jié)點(diǎn)的單節(jié)點(diǎn)。
圖1顯示了公司職員的組織結(jié)構(gòu)圖。
圖一
例中，樹的根為Bob Smith，是公司的CEO。這個(gè)節(jié)點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)是因?yàn)槠渖蠜]有父親。Bob Smith節(jié)點(diǎn)有一個(gè)孩子Tina Jones，公司總裁。其父節(jié)點(diǎn)為Bob Smith。Tina Jones有三個(gè)孩子：
Jisun Lee, CIO
Frank Mitchell, CFO
Davis Johnson, VP of Sales
這三個(gè)節(jié)點(diǎn)的父親都是Tina Jones節(jié)點(diǎn)。
所有的樹都有如下共同的特性：
1、只有一個(gè)根；
2、除了根節(jié)點(diǎn)，其他所有節(jié)點(diǎn)又且只有一個(gè)父節(jié)點(diǎn)；
3、沒有環(huán)結(jié)構(gòu)。從任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)開始，都沒有回到起始節(jié)點(diǎn)的路徑。正是前兩個(gè)特性保證沒有環(huán)結(jié)構(gòu)的存在。
對于有層次關(guān)系的數(shù)據(jù)而言，樹非常有用。后面我們會講到，當(dāng)我們有技巧地以層次關(guān)系排列數(shù)據(jù)時(shí)，搜索每個(gè)元素的時(shí)間會顯著減少。在此之前，我們首先需要討論的是一種特殊的樹：二叉樹。
理解二叉樹
二叉樹是一種特殊的樹，因?yàn)樗乃泄?jié)點(diǎn)最多只能有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)。并且，對于二叉樹中指定的節(jié)點(diǎn)，第一個(gè)子節(jié)點(diǎn)必須指向左孩子，第二個(gè)節(jié)點(diǎn)指向右孩子。如圖二所示：
圖二
二叉樹（a）共有8個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)1為根。節(jié)點(diǎn)1的左孩子為節(jié)點(diǎn)2，右孩子為節(jié)點(diǎn)3。注意，節(jié)點(diǎn)并不要求同時(shí)具有左孩子和右孩子。例如，二叉樹（a）中，節(jié)點(diǎn)4就只有一個(gè)右孩子。甚至于，節(jié)點(diǎn)也可以沒有孩子。如二叉樹（b），節(jié)點(diǎn)4、5、6都沒有孩子。
沒有孩子的節(jié)點(diǎn)稱為葉節(jié)點(diǎn)。有孩子的節(jié)點(diǎn)稱為內(nèi)節(jié)點(diǎn)。如圖二，二叉樹（a）中節(jié)點(diǎn)6、8為葉節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)1、2、3、4、5、7為內(nèi)節(jié)點(diǎn)。
不幸的是，.Net Framework中并不包含二叉樹類，為了更好地理解二叉樹，我們需要自己來創(chuàng)建這個(gè)類。
第一步：創(chuàng)建節(jié)點(diǎn)類Node
節(jié)點(diǎn)類Node抽象地表示了樹中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)。認(rèn)識到二叉樹中節(jié)點(diǎn)應(yīng)包括兩個(gè)內(nèi)容：
1、 數(shù)據(jù)；
2、 子節(jié)點(diǎn)：0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)；
節(jié)點(diǎn)存儲的數(shù)據(jù)依賴于你的實(shí)際需要。就像數(shù)組可以存儲整型、字符串和其他類類型的實(shí)例一樣，節(jié)點(diǎn)也應(yīng)該如此。因此我們應(yīng)該將節(jié)點(diǎn)類存儲的數(shù)據(jù)類型設(shè)為object。
注意：在C# 2.0版中可以用泛型來創(chuàng)建強(qiáng)類型的節(jié)點(diǎn)類，這樣比使用object類型更好。要了解更多使用泛型的信息，請閱讀Juval Lowy的文章：An Introduction to C# Generics。
下面是節(jié)點(diǎn)類的代碼：
public class Node
{
private object data;
private Node left, right;
#region Constructors
public Node() : this(null) {}
public Node(object data) : this(data, null, null) {}
public Node(object data, Node left, Node right)
{
this.data = data;
this.left = left;
this.right = right;
}
#endregion
#region Public Properties
public object Value
{
get
{
return data;
}
set
{
data = value;
}
}
public Node Left
{
get
{
return left;
}
set
{
left = value;
}
}
public Node Right
{
get
{
return right;
}
set
{
right = value;
}
}
#endregion
}
注意類Node有三個(gè)私有成員：
1、 data，類型為object：為節(jié)點(diǎn)存儲的數(shù)據(jù)；
2、 left，Node類型：指向Node的左孩子；
3、 right，Node類型：指向Node的右孩子；
4、 類的其他部份為構(gòu)造函數(shù)和公共字段，訪問了這三個(gè)私有成員變量。注意，left和right私有變量為Node類型，就是說Node類的成員中包含Node類的實(shí)例本身。
創(chuàng)建二叉樹類BinaryTree
創(chuàng)建好Node類后，緊接著創(chuàng)建BinaryTree類。BinaryTree類包含了一個(gè)私有字段——root——它是Node類型，表示二叉樹的根。這個(gè)私有字段以公有字段的方式暴露出來。
BinaryTree類只有一個(gè)公共方法Clear()，它用來清除樹中所有元素。Clear()方法只是簡單地將根節(jié)點(diǎn)置為空null。代碼如下：
public class BinaryTree
{
private Node root;
public BinaryTree()
{
root = null;
}
#region Public Methods
public virtual void Clear()
{
root = null;
}
#endregion
#region Public Properties
public Node Root
{
get
{
return root;
}
set
{
root = value;
}
}
#endregion
}
下面的代碼演示了怎樣使用BinaryTree類來生成與圖二所示的二叉樹（a）相同的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：
BinaryTree btree = new BinaryTree();
btree.Root = new Node(1);
btree.Root.Left = new Node(2);
btree.Root.Right = new Node(3);
btree.Root.Left.Left = new Node(4);
btree.Root.Right.Right = new Node(5);
btree.Root.Left.Left.Right = new Node(6);
btree.Root.Right.Right.Right = new Node(7);
btree.Root.Right.Right.Right.Right = new Node(8);
注意，我們創(chuàng)建BinaryTree類的實(shí)例后，要?jiǎng)?chuàng)建根節(jié)點(diǎn)（root）。我們必須人工地為相應(yīng)的左、右孩子添加新節(jié)點(diǎn)類Node的實(shí)例。例如，添加節(jié)點(diǎn)4，它是根節(jié)點(diǎn)的左節(jié)點(diǎn)的左節(jié)點(diǎn)，我們的代碼是：
btree.Root.Left.Left = new Node(4);
回想一下我們在第一部分中提到的數(shù)組元素，使存放在連續(xù)的內(nèi)存塊中，因此定位時(shí)間為常量。因此，訪問特定元素所耗費(fèi)時(shí)間與數(shù)組增加的元素個(gè)數(shù)無關(guān)。
然而，二叉樹卻不是連續(xù)地存放在內(nèi)存中，如圖三所示。事實(shí)上，BinaryTree類的實(shí)例指向root Node類實(shí)例。而root Node類實(shí)例又分別指向它的左右孩子節(jié)點(diǎn)實(shí)例，以此類推。關(guān)鍵在于，組成二叉樹的不同的Node實(shí)例是分散地放在CLR托管堆中。他們沒有必要像數(shù)組元素那樣連續(xù)存放。
圖三
如果我們要訪問二叉樹中的特定節(jié)點(diǎn)，我們需要搜索二叉樹的每個(gè)節(jié)點(diǎn)。它不能象數(shù)組那樣根據(jù)指定的節(jié)點(diǎn)直接訪問。搜索二叉樹要耗費(fèi)線性時(shí)間，最壞情況是查詢所有的節(jié)點(diǎn)。也就是說，當(dāng)二叉樹節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)增加時(shí)，查找任意節(jié)點(diǎn)的步驟數(shù)也將相應(yīng)地增加。
因此，如果二叉樹的定位時(shí)間為線性，查詢時(shí)間也為線性，那怎么說二叉樹比數(shù)組更好呢？因?yàn)閿?shù)組的查詢時(shí)間雖然也是線性，但定位時(shí)間卻是常量?。渴堑?，一般的二叉樹確實(shí)不能提供比數(shù)組更好的性能。然而當(dāng)我們有技巧地排列二叉樹中的元素時(shí)，我們就能很大程度改善查詢時(shí)間（當(dāng)然，定位時(shí)間也會得到改善）。
用BSTs改善數(shù)據(jù)搜索時(shí)間
二叉搜索樹是一種特殊的二叉樹，它改善了二叉樹數(shù)據(jù)搜索的效率。二叉搜索樹有以下屬性：對于任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)n，其左子樹下的每個(gè)后代節(jié)點(diǎn)的值都小于節(jié)點(diǎn)n的值；而其右子樹下的每個(gè)后代節(jié)點(diǎn)的值都大于節(jié)點(diǎn)n的值。
所謂節(jié)點(diǎn)n的子樹，可以將其看作是以節(jié)點(diǎn)n為根節(jié)點(diǎn)的樹。因此，子樹的所有節(jié)點(diǎn)都是節(jié)點(diǎn)n的后代，而子樹的根則是節(jié)點(diǎn)n本身。圖四演示了子樹的概念和二叉搜索樹的屬性。
圖四
圖五顯示了二叉樹的兩個(gè)例子。圖右，二叉樹（b），是一個(gè)二叉搜索樹（BST），因?yàn)樗隙嫠阉鳂涞膶傩浴６鏄洌?/SPAN>a），則不是二叉搜索樹。因?yàn)楣?jié)點(diǎn)10的右孩子節(jié)點(diǎn)8小于節(jié)點(diǎn)10，但卻出現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)10的右子樹中。同樣，節(jié)點(diǎn)8的右孩子節(jié)點(diǎn)4小于節(jié)點(diǎn)8，卻出現(xiàn)在了它的右子樹中。不管是在哪個(gè)位置，不符合二叉搜索樹的屬性規(guī)定，就不是二叉搜索樹。例如，節(jié)點(diǎn)9的右子樹只能包含值小于節(jié)點(diǎn)9的節(jié)點(diǎn)（8和4）。
圖五
從二叉搜索樹的屬性可知，BST各節(jié)點(diǎn)存儲的數(shù)據(jù)必須和另外的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行比較。給出任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，BST必須能夠判斷這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的值是小于、大于還是等于。
現(xiàn)在，設(shè)想一下，我們要查找BST的某個(gè)特定的節(jié)點(diǎn)。例如圖五中的二叉搜索樹（b），我們要查找節(jié)點(diǎn)10。BST和一般的二叉樹一樣，都只有一個(gè)根節(jié)點(diǎn)。那么如果節(jié)點(diǎn)10存在于樹中，搜索這棵樹的最佳方案是什么？有沒有比搜索整棵樹更好的方法？
如果節(jié)點(diǎn)10存在于樹中，我們從根開始?？梢钥吹剑?jié)點(diǎn)的值為7，小于我們要查找的節(jié)點(diǎn)值。因此，一旦節(jié)點(diǎn)10存在，必然存在其右子樹。所以應(yīng)該跳到節(jié)點(diǎn)11繼續(xù)查找。此時(shí)，節(jié)點(diǎn)10小于節(jié)點(diǎn)11的值，必然存在于節(jié)點(diǎn)11的左子樹中。移到節(jié)點(diǎn)11的左孩子，此時(shí)我們已經(jīng)找到了目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，定位于此。
如果我們要查找的節(jié)點(diǎn)在樹中不存在，會發(fā)生問題？例如我們查找節(jié)點(diǎn)9。重復(fù)上述操作，直到到達(dá)節(jié)點(diǎn)10，它大于節(jié)點(diǎn)9，那么如果節(jié)點(diǎn)9存在，必然是在節(jié)點(diǎn)10的左子樹中。然而我們看到節(jié)點(diǎn)10根本就沒有左孩子，因此節(jié)點(diǎn)9在樹中不存在。
正式地，我們的搜索算法如下所示。假定我們要查找節(jié)點(diǎn)n，此時(shí)已指向BST的根節(jié)點(diǎn)。算法不斷地比較數(shù)值的大小直到找到該節(jié)點(diǎn)，或指為空值。每一步我們都要處理兩個(gè)節(jié)點(diǎn)：樹中的節(jié)點(diǎn)c，要查找的節(jié)點(diǎn)n，并比較c和n的值。C的初始化值為BST根節(jié)點(diǎn)的值。然后執(zhí)行以下步驟：
1、 如果c值為null，則n不在BST中；
2、 比較c和n的值；
3、 如果值相同，則找到了指定節(jié)點(diǎn)n；
4、 如果n的值小于c，那么如果n存在，必然在c的左子樹中。因此回到第一步，將c的左孩子作為c；
5、 如果n的值大于c，那么如果n存在，必然在c的右子樹中。因此回到第一步，將c的右孩子作為c；
分析BST搜索算法
通過BST查找節(jié)點(diǎn)，理想情況下我們需要檢查的節(jié)點(diǎn)數(shù)可以減半。如圖六的BST樹，包含了15個(gè)節(jié)點(diǎn)。從根節(jié)點(diǎn)開始執(zhí)行搜索算法，第一次比較決定我們是移向左子樹還是右子樹。對于任意一種情況，一旦執(zhí)行這一步，我們需要訪問的節(jié)點(diǎn)數(shù)就減少了一半，從15降到了7。同樣，下一步訪問的節(jié)點(diǎn)也減少了一半，從7降到了3，以此類推。
圖六
這里一個(gè)重要概念就是算法的每一步在理想狀態(tài)下都將使被訪問的節(jié)點(diǎn)數(shù)減少一半。比較一下數(shù)組的搜索算法。搜索數(shù)組時(shí)，要搜索所有所有元素，每個(gè)元素搜索一次。也就是說，搜索有n個(gè)元素的數(shù)組，從第一個(gè)元素開始，我們要訪問n-1個(gè)元素。而有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的二叉搜索樹，在訪問了根節(jié)點(diǎn)后，只需要再搜索n/2個(gè)節(jié)點(diǎn)。
搜索二叉樹與搜索排序數(shù)組相似。例如，你要在電話薄中查找是否有John King。你可以從電話薄的中間開始查找，即從以M開頭的姓氏開始查找。按照字母順序，K是在M之前，那么你可以將M之前的部分在折半，此時(shí)，可能是字母H。因?yàn)?/SPAN>K是在H之后，那么再將H到M這部分折半。這次你找到了字母K，你可以馬上看到電話薄里有沒有James King。
搜索BST與之相似。BST的中點(diǎn)是根節(jié)點(diǎn)。然后從上到下，瀏覽你所需要的左孩子或右孩子。每一步都將節(jié)約一半的搜索時(shí)間。根據(jù)這一特點(diǎn)，這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度應(yīng)該是log2n，簡寫為log n?；叵胛覀冊诘谝徊糠钟懻摰臄?shù)學(xué)問題，log2n = y，相當(dāng)于2y = n。即，節(jié)點(diǎn)數(shù)增加n，搜索時(shí)間只緩慢地增加到log2n。圖七表示了log2n和線性增長的增長率之間的區(qū)別。時(shí)間復(fù)雜度為log2n的算法運(yùn)行時(shí)間為下面那條直線。
圖七
可以看出，這條對數(shù)曲線幾乎是水平線，隨著N值的增加，曲線增長緩慢。舉例來說吧，搜索一個(gè)具有1000個(gè)元素的數(shù)組，需要查詢1000個(gè)元素，而搜索一個(gè)具有1000個(gè)元素的BST樹，僅需要查詢不到10個(gè)節(jié)點(diǎn)（log10 1024 = 10）。
在分析BST搜索算法中，我不斷地重復(fù)“理想地（ideally）”這個(gè)字眼兒。這是因?yàn)?/SPAN>BST實(shí)際的搜索時(shí)間要依賴于節(jié)點(diǎn)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，也就是說節(jié)點(diǎn)之間的布局關(guān)系。象圖六中所示的二叉樹，每一步比較操作都可以使搜索時(shí)間減半。然而，我們來看看圖八所示的BST樹，它的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是與數(shù)組的排列方式是同構(gòu)的。
圖八
搜索圖八中的BST樹，仍然要耗費(fèi)線性時(shí)間，因?yàn)槊勘容^一步，都緊緊減少了一個(gè)節(jié)點(diǎn)，而非像圖六中那樣減半。
因此，搜索BST所耗費(fèi)的時(shí)間要依賴于它的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。最佳情況下，耗費(fèi)時(shí)間為log2 n，最壞情況則要耗費(fèi)線性時(shí)間。在下一節(jié)我們將看到，BST的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與插入節(jié)點(diǎn)的順序有關(guān)。因此，插入節(jié)點(diǎn)的順序?qū)⒅苯佑绊?/SPAN>BST搜索算法的耗時(shí)。
插入節(jié)點(diǎn)到BST中
我們已經(jīng)知道了在BST中查詢一個(gè)特定節(jié)點(diǎn)的方法，但是我們還應(yīng)該掌握插入一個(gè)新節(jié)點(diǎn)的方法。向二叉搜索樹插入一個(gè)新節(jié)點(diǎn)，不能任意而為，必須遵循二叉搜索樹的特性。
通常我們插入的新節(jié)點(diǎn)都是作為葉節(jié)點(diǎn)。唯一的問題是，怎樣查找合適的節(jié)點(diǎn)，使其成為這個(gè)新節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)。與搜索算法相似，我們首先應(yīng)該比較節(jié)點(diǎn)c和要插入的新節(jié)點(diǎn)n。我們還需要跟蹤節(jié)點(diǎn)c的父節(jié)點(diǎn)。初始狀態(tài)下，c節(jié)點(diǎn)為樹的根節(jié)點(diǎn)，父節(jié)點(diǎn)為null。定位一個(gè)新的父節(jié)點(diǎn)遵循如下算法：
1、 如果c指向null，則c節(jié)點(diǎn)作為n的父節(jié)點(diǎn)。如果n的值小于父節(jié)點(diǎn)值，則n為父節(jié)點(diǎn)新的左孩子，否則為右孩子；
（譯注：原文為If c is a null reference,then parent will be the parent of n.. If n’s value is less than parent’s value,then n will be parent’s new left child; otherwise n will be parent’s new right child. 那么翻譯過來就是如果c的值為空，當(dāng)前父節(jié)點(diǎn)為n的父節(jié)點(diǎn)。筆者以為這似乎有誤。因?yàn)槿绻?/SPAN>c值為空，則說明BST樹為空，沒有任何節(jié)點(diǎn)，此時(shí)應(yīng)為后面講到的特殊情況。如果是說c指向null。那么說明c為葉節(jié)點(diǎn)，則新插入的節(jié)點(diǎn)應(yīng)作為c的孩子。即c作為n的父節(jié)點(diǎn)，也不是原文所說的c的父節(jié)點(diǎn)作為n的父節(jié)點(diǎn)）
2、 比較n和c的值；
3、 如果c等于n，則用于試圖插入一個(gè)相同的節(jié)點(diǎn)。此時(shí)要么直接拋棄該節(jié)點(diǎn)，要么拋出異常。（注意，在BST中節(jié)點(diǎn)的值必須是唯一的。）
4、 如果n小于c，則n必然在c的左子樹中。讓父節(jié)點(diǎn)等于c，c等于c的左孩子，返回到第一步。
5、 如果n大于c，則n必然在c的右子樹中。讓父節(jié)點(diǎn)等于c，c等于c的右孩子，返回到第一步。
當(dāng)合適的葉節(jié)點(diǎn)找到后，算法結(jié)束。將新節(jié)點(diǎn)放到BST中使其成為父節(jié)點(diǎn)合適的孩子節(jié)點(diǎn)。插入算法中有種特例需要考慮。如果BST樹中沒有根節(jié)點(diǎn)，則父節(jié)點(diǎn)為空，那么添加新節(jié)點(diǎn)作為父節(jié)點(diǎn)的孩子這一步就忽略。而且在這種情況下，BST的根節(jié)點(diǎn)必須分配為新節(jié)點(diǎn)。
圖九描述了BST插入算法：
圖九
BST插入算法和搜索算法時(shí)間復(fù)雜度一樣：最佳情況為log2 n，最壞情況為線性時(shí)間。之所以相同，是因?yàn)樗鼮椴迦氲男鹿?jié)點(diǎn)定位所采取的策略是一致的。
節(jié)點(diǎn)插入順序決定BST的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)
既然新插入的節(jié)點(diǎn)是作為葉節(jié)點(diǎn)插入的，則插入的順序?qū)⒅苯佑绊?/SPAN>BST自身的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。例如，我們依次插入節(jié)點(diǎn)：1，2，3，4，5，6。當(dāng)插入節(jié)點(diǎn)1時(shí)，作為根節(jié)點(diǎn)。接著插入2作為1的右孩子，插入3作為2的右孩子，4作為3的右孩子，以此類推。結(jié)果BST就形成如圖八那樣的結(jié)構(gòu)。
如果我們有技巧地排列插入值1，2，3，4，5，6的順序，則BST樹將伸展得更寬，看起來更像圖六所示的結(jié)構(gòu)。理想的插入順序是：4，2，5，2，3，6。這樣將4作為根節(jié)點(diǎn)，2作為4的左孩子，5作為4的右孩子，1和3分別作為2的左孩子和右孩子。而6則作為5的右孩子。
既然BST的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)將影響搜索、插入和刪除（下一節(jié)介紹）操作的時(shí)間復(fù)雜度，那么以升序或降序（或近似升序降序）的方式插入數(shù)據(jù)，會極大地破壞BST的效率。在本文的后面將詳細(xì)地討論。
從BST中刪除節(jié)點(diǎn)
從BST中刪除節(jié)點(diǎn)比之插入節(jié)點(diǎn)難度更大。因?yàn)閯h除一個(gè)非葉節(jié)點(diǎn)，就必須選擇其他節(jié)點(diǎn)來填補(bǔ)因刪除節(jié)點(diǎn)所造成的樹的斷裂。如果不選擇節(jié)點(diǎn)來填補(bǔ)這個(gè)斷裂，那么二叉搜索樹就違背了它的特性。例如，圖六中的二叉搜索樹。如果刪除節(jié)點(diǎn)150，就需要某些節(jié)點(diǎn)來填補(bǔ)刪除造成的斷裂。如果我們隨意地選擇，比如選擇92，那么就違背了BST的特性，因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候節(jié)點(diǎn)95和111出現(xiàn)在了92的左子樹中，而它們的值是大于92的。
刪除節(jié)點(diǎn)算法的第一步是定位要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)。這可以使用前面介紹的搜索算法，因此運(yùn)行時(shí)間為log2 n。接著應(yīng)該選擇合適的節(jié)點(diǎn)來代替刪除節(jié)點(diǎn)的位置，它共有三種情況需要考慮，在后面的圖十有圖例說明。
情況1：如果刪除的節(jié)點(diǎn)沒有右孩子，那么就選擇它的左孩子來代替原來的節(jié)點(diǎn)。二叉搜索樹的特性保證了被刪除節(jié)點(diǎn)的左子樹必然符合二叉搜索樹的特性。因此左子樹的值要么都大于，要么都小于被刪除節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)的值，這取決于被刪除節(jié)點(diǎn)是左孩子還是右孩子。因此用被刪除節(jié)點(diǎn)的左子樹來替代被刪除節(jié)點(diǎn)，是完全符合二叉搜索樹的特性的。
情況2：如果被刪除節(jié)點(diǎn)的右孩子沒有左孩子，那么這個(gè)右孩子被用來替換被刪除節(jié)點(diǎn)。因?yàn)楸粍h除節(jié)點(diǎn)的右孩子都大于被刪除節(jié)點(diǎn)左子樹的所有節(jié)點(diǎn)。同時(shí)也大于或小于被刪除節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)，這同樣取決于被刪除節(jié)點(diǎn)是左孩子還是右孩子。因此，用右孩子來替換被刪除節(jié)點(diǎn)，符合二叉搜索樹的特性。
情況3：最后，如果被刪除節(jié)點(diǎn)的右孩子有左孩子，就需要用被刪除節(jié)點(diǎn)右孩子的左子樹中的最下面的節(jié)點(diǎn)來替代它，就是說，我們用被刪除節(jié)點(diǎn)的右子樹中最小值的節(jié)點(diǎn)來替換。
注意：我們要認(rèn)識到，在BST中，最小值的節(jié)點(diǎn)總是在最左邊，最大值的節(jié)點(diǎn)總是在最右邊。
因?yàn)樘鎿Q選擇了被刪除節(jié)點(diǎn)右子樹中最小的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，這就保證了該節(jié)點(diǎn)一定大于被刪除節(jié)點(diǎn)左子樹的所有節(jié)點(diǎn)，同時(shí)，也保證它替代了被刪除節(jié)點(diǎn)的位置后，它的右子樹的所有節(jié)點(diǎn)值都大于它。因此這種選擇策略符合二叉搜索樹的特性。
圖十描述了三種情況的替換選擇方案
圖十
和搜索、插入算法一樣，刪除算法的運(yùn)行時(shí)間與BST的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān)。理想狀態(tài)下，時(shí)間復(fù)雜度為log2 n，最壞情況下，耗費(fèi)的為線性時(shí)間。
BST節(jié)點(diǎn)的遍歷
對于線性的連續(xù)的數(shù)組元素，采用的是單向的迭代法。從第一個(gè)元素開始，依次向后迭代每個(gè)元素。而BST則有三種常用的遍歷方式：
1、 前序遍歷（Perorder traversal）
2、 中序遍歷（Inorder traversal）
3、 后序遍歷（Postorder traversal）
當(dāng)然，這三種遍歷工作原理幾乎相似。它們都是從根節(jié)點(diǎn)開始，然后訪問其子節(jié)點(diǎn)。區(qū)別在于遍歷時(shí)，訪問節(jié)點(diǎn)本身和其子節(jié)點(diǎn)的順序不同。為幫助理解，我們看看圖十一所示的BST樹。（注意圖六和圖十一所示的BST樹完全相同。
圖十一
前序遍歷
前序遍歷從當(dāng)前節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)c）開始，然后訪問其左孩子，再訪問右孩子。如果從BST樹的根節(jié)點(diǎn)c開始，算法如下：
1、 訪問c。（這里所謂訪問時(shí)指輸出節(jié)點(diǎn)的值，并將節(jié)點(diǎn)添加到ArrayList中，或者其它地方。這取決于你遍歷BST的目的。）
2、 對c的左孩子重復(fù)第一步；
3、 對c的右孩子重復(fù)第一步；
設(shè)想算法的第一步打印出c的值。以圖十一所示的BST樹為例，以前序遍歷的方法輸出的值是什么？是的，我們在第一步首先輸出根節(jié)點(diǎn)的值。然后對根的左孩子執(zhí)行第一步，輸出50。因?yàn)榈诙绞欠磸?fù)執(zhí)行第一步操作，因此是對根節(jié)點(diǎn)的左孩子的左孩子訪問，輸出20。如此重復(fù)直到樹的最左邊底層。當(dāng)?shù)竭_(dá)節(jié)點(diǎn)5時(shí)，輸出其值。既然5沒有左、右孩子，我們又回到節(jié)點(diǎn)20，執(zhí)行第三步。此時(shí)是對節(jié)點(diǎn)20的右孩子反復(fù)執(zhí)行第一步，即輸出25。25沒有孩子節(jié)點(diǎn)，又回到20。但我們對20已經(jīng)做完了三步操作，所以回到節(jié)點(diǎn)50。再對50執(zhí)行第三步操作，即對50的右孩子重復(fù)執(zhí)行第一步。這個(gè)過程不斷進(jìn)行，直到遍歷完樹的所有節(jié)點(diǎn)。最后通過前序遍歷輸出的結(jié)果如下：
90, 50, 20, 5, 25, 75, 66, 80, 150, 95, 92, 111, 175, 166, 200
可以理解，這個(gè)算法確實(shí)有點(diǎn)讓人糊涂。或許我們來看看算法的代碼可以理清思路。下面的代碼為BST類的PreorderTraversal()方法，這個(gè)類在文章后面會構(gòu)建。注意這個(gè)方法調(diào)用了Node類的實(shí)例作為輸出參數(shù)。輸出的節(jié)點(diǎn)就是算法步驟中所提到的節(jié)點(diǎn)c。執(zhí)行前序遍歷就是從BST的根節(jié)點(diǎn)開始調(diào)用PreorderTraversal()方法。
protected virtual string PreorderTraversal(Node current, string separator)
{
if (current != null)
{
StringBuilder sb = new StringBuilder();
sb.Append(current.Value.ToString());
sb.Append(separator);
sb.Append(PreorderTraversal(current.Left, separator));
sb.Append(PreorderTraversal(current.Right, separator));
return sb.ToString();
}
else
return String.Empty;
}
（譯注：實(shí)際上本方法就是一個(gè)遞歸調(diào)用）
注意遍歷后的結(jié)果放到字符串中，這個(gè)字符串時(shí)通過StringBuilder創(chuàng)建。首先將當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值放到字符串中，然后再訪問當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的左、右孩子，將結(jié)果放到字符串中。
中序遍歷
中序遍歷是從當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的左孩子開始訪問，再訪問當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，最后是其右節(jié)點(diǎn)。假定BST樹的根節(jié)點(diǎn)為c，算法如下：
1、 訪問c的左孩子。（這里所謂訪問時(shí)指輸出節(jié)點(diǎn)的值，并將節(jié)點(diǎn)添加到ArrayList中，或者其它地方。這取決于你遍歷BST的目的。）
2、 對c重復(fù)第一步；
3、 對c的右孩子重復(fù)第一步。
InorderTraversal()方法的代碼和PreorderTraversal()相似，只是添加當(dāng)前節(jié)點(diǎn)值到StringBuilder的操作之前，先遞歸調(diào)用方法本身，并將當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的左孩子作為參數(shù)傳遞。
protected virtual string InorderTraversal
(Node current, string separator)
{
if (current != null)
{
StringBuilder sb = new StringBuilder();
sb.Append(InorderTraversal(current.Left, separator));
sb.Append(current.Value.ToString());
sb.Append(separator);
sb.Append(InorderTraversal(current.Right, separator));
return sb.ToString();
}
else
return String.Empty;
}
對圖十一所示BST樹執(zhí)行中序遍歷，輸出結(jié)果如下：
5, 20, 25, 50, 66, 75, 80, 90, 92, 95, 111, 150, 166, 175, 200
可以看到返回的結(jié)果正好是升序排列。
后序遍歷
后序遍歷首先從訪問當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的左孩子開始，然后是右孩子，最后才是當(dāng)前節(jié)點(diǎn)本身。假定BST樹的根節(jié)點(diǎn)為c，算法如下：
1、 訪問c的左孩子。（這里所謂訪問時(shí)指輸出節(jié)點(diǎn)的值，并將節(jié)點(diǎn)添加到ArrayList中，或者其它地方。這取決于你遍歷BST的目的。）
2、 對c的右孩子重復(fù)第一步；
3、 對c重復(fù)第一步；
圖十一所示的BST樹經(jīng)后序遍歷輸出的結(jié)果為：
5, 25, 20, 66, 80, 75, 50, 92, 111, 95, 166, 200, 175, 150, 90
注意：本文提供的下載內(nèi)容包括BST和BinaryTree類的完整源代碼，同時(shí)還包括對BST類的windows窗體的測試應(yīng)用程序。尤其有用的是，通過Windows應(yīng)用程序，你可以看到對BST進(jìn)行前序、中序、后序遍歷輸出的結(jié)果。
這三種遍歷的運(yùn)行時(shí)間都是線性的。因?yàn)槊糠N遍歷都將訪問樹的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，而其對每個(gè)節(jié)點(diǎn)正好訪問一次。因此，BST樹的節(jié)點(diǎn)數(shù)成倍增加，則遍歷的時(shí)間也將倍增。
實(shí)現(xiàn)BST類
雖然Java的SDK包括了BST類（稱為TreeMap），但.Net Framework基類庫卻不包括該類。因此我們必須自己創(chuàng)建。和二叉樹一樣，首先要?jiǎng)?chuàng)建Node類。我們不能對普通二叉樹中的Node類進(jìn)行簡單地重用，因?yàn)?/SPAN>BST樹的節(jié)點(diǎn)是可比較的。因此，不僅僅是要求節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)為object類型，還要求數(shù)據(jù)為實(shí)現(xiàn)IComparable接口的類類型。
另外，BST節(jié)點(diǎn)需要實(shí)現(xiàn)接口Icloneable，因?yàn)槲覀儽仨氃试S開發(fā)者能夠?qū)?/SPAN>BST類進(jìn)行克隆clone（即深度拷貝）。使Node類可克隆，那么我們就可以通過返回根節(jié)點(diǎn)的克隆達(dá)到克隆整個(gè)BST的目的。Node類如下：
public class Node : ICloneable
{
private IComparable data;
private Node left, right;
#region Constructors
public Node() : this(null) {}
public Node(IComparable data) : this(data, null, null) {}
public Node(IComparable data, Node left, Node right)
{
this.data = data;
this.left = left;
this.right = right;
}
#endregion
#region Public Methods
public object Clone()
{
Node clone = new Node();
if (data is ICloneable)
clone.Value = (IComparable) ((ICloneable) data).Clone();
else
clone.Value = data;
if (left != null)
clone.Left = (Node) left.Clone();
if (right != null)
clone.Right = (Node) right.Clone();
return clone;
}
#endregion
#region Public Properties
public IComparable Value
{
get
{
return data;
}
set
{
data = value;
}
}
public Node Left
{
get
{
return left;
}
set
{
left = value;
}
}
public Node Right
{
get
{
return right;
}
set
{
right = value;
}
}
#endregion
}
注意BST的Node類與二叉樹的Node類有很多相似性。唯一的區(qū)別是data的類型為Icomparable而非object類型，而其Node類實(shí)現(xiàn)了Icloneable接口，因此可以調(diào)用Clone（）方法。
現(xiàn)在將重心放到創(chuàng)建BST類上，它實(shí)現(xiàn)了二叉搜索樹。在下面的幾節(jié)中，我們會介紹這個(gè)類的每個(gè)主要方法。至于類的完整代碼，可以點(diǎn)擊Download the BinaryTrees.msi sample file 下載源代碼，以及測試BST類的Windows應(yīng)用程序。
搜索節(jié)點(diǎn)
BST之所以重要就是它提供得搜索算法時(shí)間復(fù)雜度遠(yuǎn)低于線性時(shí)間。因此了解Search（）方法是非常有意義的。Search（）方法接收一個(gè)IComparable類型的輸入?yún)?shù)，同時(shí)還將調(diào)用一個(gè)私有方法SearchHelper（），傳遞BST的根節(jié)點(diǎn)和所有搜索的數(shù)據(jù)。
SearchHelper（）對樹進(jìn)行遞歸調(diào)用，如果沒有找到指定值，返回null值，否則返回目標(biāo)節(jié)點(diǎn)。Search（）方法的返回結(jié)果如果為空，說明要查找的數(shù)據(jù)不在BST中，否則就指向等于data值的節(jié)點(diǎn)。
public virtual Node Search(IComparable data)
{
return SearchHelper(root, data);
}
protected virtual Node SearchHelper(Node current, IComparable data)
{
if (current == null)
return null; // node was not found
else
{
int result = current.Value.CompareTo(data);
if (result == 0)
// they are equal - we found the data
return current;
else if (result > 0)
{
// current.Value > n.Value
// therefore, if the data exists it is in current's left subtree
return SearchHelper(current.Left, data);
}
else // result < 0
{
// current.Value < n.Value
// therefore, if the data exists it is in current's right subtree
return SearchHelper(current.Right, data);
}
}
}
添加節(jié)點(diǎn)到BST
和前面創(chuàng)建的BinaryTree類不同，BST類并不提供直接訪問根的方法。通過BST的Add（）方法可以添加節(jié)點(diǎn)到BST。Add（）接收一個(gè)實(shí)現(xiàn)IComparable接口的實(shí)例類對象作為新節(jié)點(diǎn)的值。然后以一種迂回的方式查找新節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)。（回想前面提到的插入新的葉節(jié)點(diǎn)的內(nèi)容）一旦父節(jié)點(diǎn)找到，則比較新節(jié)點(diǎn)與父節(jié)點(diǎn)值的大小，以決定新節(jié)點(diǎn)是作為父節(jié)點(diǎn)的左孩子還是右孩子。
public virtual void Add(IComparable data)
{
// first, create a new Node
Node n = new Node(data);
int result;
// now, insert n into the tree
// trace down the tree until we hit a NULL
Node current = root, parent = null;
while (current != null)
{
result = current.Value.CompareTo(n.Value);
if (result == 0)
// they are equal - inserting a duplicate - do nothing
return;
else if (result > 0)
{
// current.Value > n.Value
// therefore, n must be added to current's left subtree
parent = current;
current = current.Left;
}
else if (result < 0)
{
// current.Value < n.Value
// therefore, n must be added to current's right subtree
parent = current;
current = current.Right;
}
}
// ok, at this point we have reached the end of the tree
count++;
if (parent == null)
// the tree was empty
root = n;
else
{
result = parent.Value.CompareTo(n.Value);
if (result > 0)
// parent.Value > n.Value
// therefore, n must be added to parent's left subtree
parent.Left = n;
else if (result < 0)
// parent.Value < n.Value
// therefore, n must be added to parent's right subtree
parent.Right = n;
}
}
Search（）方法是對BST從上到下進(jìn)行遞歸操作，而Add（）方法則是使用一個(gè)簡單的循環(huán)。兩種方式殊途同歸，但使用while循環(huán)在性能上比之遞歸更有效。所以我們應(yīng)該認(rèn)識到BST的方法都可以用這兩種方法——遞歸或循環(huán)——其中任意一種來重寫。（個(gè)人認(rèn)為遞歸算法更易于理解。）
注意：當(dāng)用戶試圖插入一個(gè)重復(fù)節(jié)點(diǎn)時(shí)，Add（）方法的處理方式是放棄該插入操作，你也可以根據(jù)需要修改代碼使之拋出一個(gè)異常。
從BST中刪除節(jié)點(diǎn)
在BST的所有操作中，刪除一個(gè)節(jié)點(diǎn)是最復(fù)雜的。復(fù)雜度在于刪除一個(gè)節(jié)點(diǎn)必須選擇一個(gè)合適的節(jié)點(diǎn)來替代因刪除節(jié)點(diǎn)造成的斷裂。注意選擇替代節(jié)點(diǎn)必須符合二叉搜索樹的特性。
在前面“從BST中刪除節(jié)點(diǎn)”一節(jié)中，我們提到選擇節(jié)點(diǎn)來替代被刪除節(jié)點(diǎn)共有三種情形，這些情形在圖十中已經(jīng)有了總結(jié)。下面我們來看看Delete（）方法是怎樣來確定這三種情形的。
public void Delete(IComparable data)
{
// find n in the tree
// trace down the tree until we hit n
Node current = root, parent = null;
int result = current.Value.CompareTo(data);
while (result != 0 && current != null)
{
if (result > 0)
{
// current.Value > n.Value
// therefore, n must be added to current's left subtree
parent = current;
current = current.Left;
}
else if (result < 0)
{
// current.Value < n.Value
// therefore, n must be added to current's right subtree
parent = current;
current = current.Right;
}
result = current.Value.CompareTo(data);
}
// if current == null, then we did not find the item to delete
if (current == null)
throw new Exception("Item to be deleted does not exist in the BST.");
// at this point current is the node to delete, and parent is its parent
count--;
// CASE 1: If current has no right child, then current's left child becomes the
// node pointed to by the parent
if (current.Right == null)
{
if (parent == null)
root = current.Left;
else
{
result = parent.Value.CompareTo(current.Value);
if (result > 0)
// parent.Value > current
// therefore, the parent's left subtree is now current's Left subtree
parent.Left = current.Left;
else if (result < 0)
// parent.Value < current.Value
// therefore, the parent's right subtree is now current's left subtree
parent.Right = current.Left;
}
}
// CASE 2: If current's right child has no left child, then current's right child replaces
// current in the tree
else if (current.Right.Left == null)
{
if (parent == null)
root = current.Right;
else
{
result = parent.Value.CompareTo(current.Value);
if (result > 0)
// parent.Value > current
// therefore, the parent's left subtree is now current's right subtree
parent.Left = current.Right;
else if (result < 0)
// parent.Value < current.Value
// therefore, the parent's right subtree is now current's right subtree
parent.Right = current.Right;
}
}
// CASE 3: If current's right child has a left child, replace current with current's
// right child's left-most node.
else
{
// we need to find the right node's left-most child
Node leftmost = current.Right.Left, lmParent = current.Right;
while (leftmost.Left != null)
{
lmParent = leftmost;
leftmost = leftmost.Left;
}
// the parent's left subtree becomes the leftmost's right subtree
lmParent.Left = leftmost.Right;
// assign leftmost's left and right to current's left and right
leftmost.Left = current.Left;
leftmost.Right = current.Right;
if (parent == null)
root = leftmost;
else
{
result = parent.Value.CompareTo(current.Value);
if (result > 0)
// parent.Value > current
// therefore, the parent's left subtree is now current's right subtree
parent.Left = leftmost;
else if (result < 0)
// parent.Value < current.Value
// therefore, the parent's right subtree is now current's right subtree
parent.Right = leftmost;
}
}
}
注意：當(dāng)沒有找到指定被刪除的節(jié)點(diǎn)時(shí)，Delete（）方法拋出一個(gè)異常。
其他的BST方法和屬性
還有其他的BST方法和屬性在本文中沒有介紹。我們可以下載本文附帶的完整的源代碼來仔細(xì)分析BST類。其余的方法包括：
Clear（）：移出BST的所有節(jié)點(diǎn)。
Clone（）：克隆BST（創(chuàng)建一個(gè)深度拷貝）。
Contains（IComparable）：返回一個(gè)布爾值確定BST中是否存在其值為指定數(shù)據(jù)的節(jié)點(diǎn)。
GetEnumerator（）：用中序遍歷算法對BST節(jié)點(diǎn)進(jìn)行枚舉，并返回枚舉數(shù)。這個(gè)方法使BST可通過foreach循環(huán)迭代節(jié)點(diǎn)。
PreorderTraversal()/InorderTraversal()/PostorderTraversal()：在“遍歷BST節(jié)點(diǎn)”一節(jié)中已經(jīng)介紹。
ToString（）：使用BST特定的遍歷算法返回字符型的表示結(jié)果。
Count：公共的只讀屬性，返回BST的節(jié)點(diǎn)數(shù)。
現(xiàn)實(shí)世界的二叉搜索樹
二叉搜索樹理想的展示了對于插入、搜索、刪除操作在時(shí)間復(fù)雜度上低于線性時(shí)間的特點(diǎn)，而這種時(shí)間復(fù)雜度與BST的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān)。在“插入節(jié)點(diǎn)到BST中”一節(jié)中，我們提到拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與插入節(jié)點(diǎn)的順序有關(guān)。如果插入的數(shù)據(jù)是有序的，或者近似有序的，都將導(dǎo)致BST樹成為一顆深而窄，而非淺而寬的樹。而在很多現(xiàn)實(shí)情況下，數(shù)據(jù)都處于有序或近似有序的狀態(tài)。
BST樹的問題是很容易成為不均衡的。均衡的二叉樹是指寬度與深度之比是優(yōu)化的。在本系列文章的下一部份，會介紹一種自我均衡的特殊BST類。那就是說，不管是添加新節(jié)點(diǎn)還是刪除已有節(jié)點(diǎn)，BST都會自動調(diào)節(jié)其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來保持最佳的均衡狀態(tài)。最理想的均衡狀態(tài)，就是插入、搜索和刪除的時(shí)間復(fù)雜度在最壞情況下也為log2 n。我在前面提到過Java SDK中有一個(gè)名為TreeMap的BST類，這個(gè)類實(shí)際上就是派生于一種職能地、自我均衡的BST樹——紅黑樹（the red-black tree）。
在本系列文章的下一部分，我們就將介紹這種可自我均衡的BST樹，包括紅黑樹。重點(diǎn)介紹一種成為SkipList的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了自我均衡的二叉樹的性能，同時(shí)并不需要對其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行重構(gòu)。
先到此為止，好好享受編程的樂趣吧！