2009年8月11日 星期二
題目鏈接：PKU 1077 Eight
分類：bfs,雙向bfs,A*
題目分析與算法原型
這道題目是前一陣子做的，一直沒有寫解題報(bào)告，主要是想找個(gè)時(shí)間好好的總結(jié)一下這道題，因?yàn)閺倪@道題中收獲了很多東西，比方說A*的大體思想，如何設(shè)計(jì)啟發(fā)式函數(shù)使得其滿足A*算法的約束性，還有就是全排列哈希的方式（不存在沖突），以及堆優(yōu)化時(shí)遇到已經(jīng)標(biāo)記過的但是當(dāng)前值更小的情況下如何去更新而不是再次插入（以前的時(shí)候我一直都采用的是再次插入，這樣子空間的復(fù)雜度高起來了）等等........總的來說收獲很多，所有需要好好地記錄一下
關(guān)于此題的A*解法（當(dāng)然bfs或雙向bfs也可以解決），8數(shù)碼問題經(jīng)典的啟發(fā)式函數(shù)有兩種：比較簡單的是difference ( Status a, Status b )， 其返回值是a 和b狀態(tài)各位置上數(shù)字（空格除外）不同的次數(shù)。另一種比較經(jīng)典的是曼哈頓距離 manhattan ( Status a, Status b )，其返回的是各個(gè)數(shù)字（除卻空格）從a的位置到b的位置的最短距離的和。學(xué)過A*的都應(yīng)該知道，若想設(shè)計(jì)的A*算法能夠保證找到最優(yōu)解，其啟發(fā)式函數(shù)(f(n)=g(n)+h(n) ，其中f(n) 是節(jié)點(diǎn)n的估價(jià)函數(shù)，g(n)實(shí)在狀態(tài)空間中從初始節(jié)點(diǎn)到n節(jié)點(diǎn)的實(shí)際代價(jià)，h(n)是從n到目 標(biāo)節(jié)點(diǎn)最佳路徑的估計(jì)代價(jià))必須滿足兩點(diǎn)：1.h(n)<h'(n),h'(n)為從當(dāng)前節(jié)點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的實(shí)際的最優(yōu)代價(jià)值。2.每次擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)的f值至少不比父節(jié)點(diǎn)的f值小。
我們先來看第一個(gè)啟發(fā)函數(shù)，即difference,容易看出此時(shí)第一個(gè)條件顯然滿足，關(guān)于第二個(gè)條件，g( n)以為搜索的深度，所以子節(jié)點(diǎn)的g比父節(jié)點(diǎn)的g大1，然而，每次將空白位置與周圍的某個(gè)數(shù)字交換后（不算空格），對于交換的這個(gè)數(shù)字，有兩種結(jié)果，I.其和目標(biāo)的位置相同。II.和目標(biāo)的位置不同，即就是說h最多減少1，或者不變，所以g+h要么不變，要么比原先大1，此時(shí)兩個(gè)條件都滿足，因此該啟發(fā)式函數(shù)能保證找到最優(yōu)解。
再看第二個(gè)啟發(fā)式函數(shù)，即 manhattan ，也容易看出其定符合第一個(gè)條件，對于第二個(gè)條件，因?yàn)椴凰憧崭?，所以每次交換我們只考慮和空格交換的那個(gè)數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)那個(gè)數(shù)字最多離目標(biāo)位置前進(jìn)一個(gè)（或者不變，或者后退一個(gè)），也就是說h之多減少1個(gè)，然而g已經(jīng)加了1，所以g+h至少和原來的相等，或者更大，這樣一來，第二個(gè)條件也滿足了，由此我們可以發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)啟發(fā)式函數(shù)都可以保證A*找到最優(yōu)解（關(guān)于為什么滿足了A*的這兩個(gè)條件就一定保證能找到最優(yōu)解，可以去參考一下相應(yīng)的人工智能的書籍，里面有詳細(xì)的證明）
還有關(guān)于這道題的判重可采用全排列之哈希方式（點(diǎn)此鏈接）..........
（PS：說起這道題，不得不提一件事，那就是我在寫的時(shí)候?qū)?#8220;des=now[i]-'0'-1;”不小心寫成了“des=now[i]-1”，拜托，兩個(gè)值整整差了48啊，而且我是將他作為D數(shù)組的一個(gè)下標(biāo)，我的D數(shù)組才定義了D[10][10],這樣你會發(fā)現(xiàn)顯然已經(jīng)數(shù)組越界了，然后神奇的事情居然就發(fā)生了，這樣子居然........AC了!!!!!!!!!，orz............真不知道是不是偶的RP太好了，這樣子能A掉，想想很不可思議，也正因?yàn)槿绱?，使得我的程序?dāng)時(shí)出現(xiàn)了一個(gè)異常詭異的地方，這個(gè)詭異的地方說起來有點(diǎn)麻煩就不多說了，反正我一直都沒找出是怎么回事，后來才發(fā)現(xiàn)這個(gè)致命的筆誤，再次膜拜自己，居然這樣子都能過，狂暈啊，RP太好了點(diǎn)吧.........,而且改這個(gè)錯(cuò)誤之前的程序跑的是150ms左右，改了后就能跑到0ms了，很想不通，這個(gè)錯(cuò)誤居然還能影響時(shí)間........orz.......orz........orz..........
總結(jié)：RP的力量果然很強(qiáng)大，所以偶們都需要好好積攢RP，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候說不定能創(chuàng)造奇跡.........）
Code：
1
#include<stdio.h>
2#include<string.h>
3#include<math.h>
4#include<time.h>
5#include<stdlib.h>
6#define max 365000
7
8
char beg[12],end[12],pace[9][5]=
{"dr","dlr","dl","udr","udlr","udl","ur","ulr","ul"},cz[max],ss[50];
9int count,pp,mincost[max],fm[max],place[max],jc[8]={1,2,6,24,120,720,5040,40320},D[10][10];
10int a[9][2]={{0,0},{1,0},{2,0},{0,-1},{1,-1},{2,-1},{0,-2},{1,-2},{2,-2}},goal;
11bool flag[max];
12
13struct node
14{
15
int pos,g,h,num;
16 char s[10];
17
}queue[max];
18void down_min_heap(int n,int h)//n表示堆元素的個(gè)數(shù)，從0開始編號,從h開始往下調(diào)整
19{
20 int i=h,j=2*i+1;
21 node temp=queue[i];
22 while(j<n)
23
{
24 if(j<n-1&&queue[j].g+queue[j].h>queue[j+1].g+queue[j+1].h)j++;//若右孩子存在，且右孩子比較小，取右
25 if(temp.g+temp.h<queue[j].g+queue[j].h)break;
26 else
27 {
28 place[queue[j].num]=i;
29 queue[i]=queue[j];
30 i=j;
31 j=2*i+1;
32
}
33 }
34 queue[i]=temp;
35 place[temp.num]=i;
36}
37void up_min_heap(int s)
38{
39 while (s>0&&queue[s].g+queue[s].h<queue[(s-1)/2].g+queue[(s-1)/2].h) //從s開始往上調(diào)整
40 {
41 place[queue[s].num]=(s-1)/2;
42 place[queue[(s-1)/2].num]=s;
43 node tt=queue[s];
44 queue[s]=queue[(s-1)/2];
45 queue[(s-1)/2]=tt;
46 s=(s-1)/2;
47 }
48}
49node pop()
50{
51 node res=queue[0];
52 queue[0]=queue[count-1];
53 place[queue[count-1].num]=0;
54 count--;
55 down_min_heap(count,0);
56 return res;
57}
58void push(node x)
59{
60 queue[count]=x;
61 place[x.num]=count;
62 count++;
63 up_min_heap(count-1);
64}
65int cal(char s[]) //計(jì)算全排列的哈希值（唯一對應(yīng)）
66{
67 int i,j,cnt,res=0;
68 for(i=1;i<9;i++)
69 {
70 cnt=0;
71 for(j=0;j<i;j++)if(s[j]>s[i])cnt++;
72 cnt*=jc[i-1];
73 res+=cnt;
74 }
75 return res;
76}
77int dist(int now ,int des)//計(jì)算兩個(gè)位置之間的最小步數(shù)
78{
79 int px=(int)(fabs(a[now][0]-a[des][0])),py=(int)(fabs(a[now][1]-a[des][1]));
80 return px+py;
81}
82
83//啟發(fā)函數(shù)采用曼哈頓距離，即從當(dāng)前狀態(tài)下的每個(gè)數(shù)字（空格除開），分別到目標(biāo)狀態(tài)下相應(yīng)數(shù)字的最小步數(shù)之和
84
85int estimate(char now[])
86{
87 int res=0,i,des;
88 for(i=0;i<9;i++)
89 {
90 if(now[i]!='0')
91 {
92 des=now[i]-'0'-1;
93 res+=D[i][des];
94 }
95 }
96 return res;
97}
98int change(char s[],char op,int pos) //互換位置，返回?fù)Q后的空格位置
99{
100 int end;
101 switch(op)
102 {
103 case 'u':end=pos-3;break;
104 case 'd':end=pos+3;break;
105 case 'l':end=pos-1;break;
106 case 'r':end=pos+1;break;
107 }
108 char mid=s[pos];
109 s[pos]=s[end];
110 s[end]=mid;
111 return end;/**////返回調(diào)整后空格的位置
112}
113void bfs(char beg[],char end[])
114{
115 int i,num;
116 queue[0].pos=pp;
117 queue[0].g=0;
118 queue[0].h=estimate(beg);
119 num=cal(beg);
120 queue[0].num=num;
121 strcpy(queue[0].s,beg);
122 count=1;
123
124 flag[num]=true;
125 cz[num]='*';
126 fm[num]=-1;
127 place[num]=0;
128 mincost[num]=queue[0].h;
129 while(count>0)
130 {
131 node tt=pop();
132 place[tt.num]=count;
133 if(tt.num==goal)
134 {
135 char ans[1000];
136 int k=0,fp;
137 fp=tt.num;
138 while(fp!=num)
139 {
140 ans[k++]=cz[fp];
141 fp=fm[fp];
142 }
143 int jj;
144 for(jj=k-1;jj>=0;jj--)printf("%c",ans[jj]);
145 printf("\n");
146 return;
147 }
148 int len=strlen(pace[tt.pos]);
149 for(i=0;i<len;i++)
150 {
151 node x=tt;
152 x.pos=change(x.s,pace[tt.pos][i],x.pos);
153 int k=cal(x.s);
154 x.num=k;
155 x.g++;
156 x.h=estimate(x.s);
157 if(!flag[k])
158 {
159 flag[k]=true;
160 mincost[k]=x.g+x.h;
161 fm[k]=tt.num;
162 cz[k]=pace[tt.pos][i];
163 push(x);
164 }
165 else if(flag[k]&&x.g+x.h<mincost[k])
166 {
167 mincost[k]=x.g+x.h;
168 fm[k]=tt.num;
169 cz[k]=pace[tt.pos][i];
170 queue[place[k]]=x;
171 up_min_heap(place[k]);
172 }
173 }
174 }
175}
176bool check(char beg[])//檢測目標(biāo)狀態(tài)是否可達(dá)
177{
178 int i,j,cnt,res=0;
179 for(i=1;i<9;i++)
180 {
181 cnt=0;
182 for(j=0;j<i;j++)if(beg[j]>beg[i])cnt++;
183 res+=cnt;
184 }
185 for(i=0;i<9;i++)
186 {
187 if(beg[i]=='0')
188 {
189 res+=D[i][8];
190 break;
191 }
192 }
193 if((res%2)==0)return true;
194 else return false;
195}
196int main()
197{
198 int i,j;
199 strcpy(end,"123456780");
200 goal=cal(end);
201
202 for(i=0;i<9;i++)
203 for(j=0;j<9;j++)D[i][j]=dist(i,j);
204 while(gets(ss))
205 {
206 int len=strlen(ss),pos=0;
207 memset(flag,false,sizeof(flag));
208 for(i=0;i<len;i++)
209 {
210 if(ss[i]=='x')//空格部分用0代替
211 {
212 pp=pos;
213 beg[pos++]='0';
214 }
215 else if(ss[i]>='1'&&ss[i]<='8')beg[pos++]=ss[i];
216 }
217 beg[9]='\0';
218 if(!check(beg))printf("unsolvable\n");
219 else bfs(beg,end);
220 }
221 return 1;
222}
223