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(轉)一種變進制數及其應用(全排列之Hash實現)

 

我們經常使用的(9php.com)數的(9php.com)進制為“常數進制”,即始終逢p進1。例如,p進制數K可表示為
    K = a0*p^0 + a1*p^1 + a2*p^2 + ... + an*p^n (其中0 <= ai <= p-1),
它可以表示任何一個自然數。

對于這種常數進制表示法,以及各種進制之間的(9php.com)轉換大家應該是很熟悉的(9php.com)了,但大家可能很少聽說變進制數。這里我要介紹一種特殊的(9php.com)變進制數,它能夠被用來實現全排列的(9php.com)Hash函數,并且該Hash函數能夠實現完美的(9php.com)防碰撞和空間利用(不會發生碰撞,且所有空間被完全使用,不多不少)。這種全排列Hash函數也被稱為全排列數化技術。下面,我們就來看看這種變進制數。

我們考查這樣一種變進制數:第1位逢2進1,第2位逢3進1,……,第n位逢n+1進1。它的(9php.com)表示形式為
    K = a1*1! + a2*2! + a3*3! + ... + an*n! (其中0 <= ai <= i),
也可以擴展為如下形式(因為按定義a0始終為0),以與p進制表示相對應:
    K = a0*0! + a1*1! + a2*2! + a3*3! + ... + an*n! (其中0 <= ai <= i)。
(后面的(9php.com)變進制數均指這種變進制數,且采用前一種表示法)

先讓我們來考查一下該變進制數的(9php.com)進位是否正確。假設變進制數K的(9php.com)第i位ai為i+1,需要進位,而ai*i!=(i+1)*i!=1*(i+1)!,即正確的(9php.com)向高位進1。這說明該變進制數能夠正確進位,從而是一種合法的(9php.com)計數方式。

接下來我們考查n位變進制數K的(9php.com)性質:
(1)當所有位ai均為i時,此時K有最大值
    MAX[K] = 1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n!
           = 1! + 1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! - 1
           = (1+1)*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! - 1
           = 2! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! - 1
           = ...
           = (n+1)!-1
    因此,n位K進制數的(9php.com)最大值為(n+1)!-1。
(2)當所有位ai均為0時,此時K有最小值0。
因此,n位變進制數能夠表示0到(n+1)!-1的(9php.com)范圍內的(9php.com)所有自然數,共(n+1)!個。

在一些狀態空間搜索算法中,我們需要快速判斷某個狀態是否已經出現,此時常常使用Hash函數來實現。其中,有一類特殊的(9php.com)狀態空間,它們是由全排列產生的(9php.com),比如N數碼問題。對于n個元素的(9php.com)全排列,共產生n!個不同的(9php.com)排列或狀態。下面將討論如何使用這里的(9php.com)變進制數來實現一個針對全排列的(9php.com)Hash函數。

從數的(9php.com)角度來看,全排列和變進制數都用到了階乘。如果我們能夠用0到n!-1這n!個連續的(9php.com)變進制數來表示n個元素的(9php.com)所有排列,那么就能夠把全排列完全地數化,建立起全排列和自然數之間一一對應的(9php.com)關系,也就實現了一個完美的(9php.com)Hash函數。那么,我們的(9php.com)想法能否實現呢?答案是肯定的(9php.com),下面將進行討論。

假設我們有b0,b1,b2,b3,...,bn共n+1個不同的(9php.com)元素,并假設各元素之間有一種次序關系 b0<b1<b2<...<bn。對它們進行全排列,共產生(n+1)!種不同的(9php.com)排列。對于產生的(9php.com)任一排列 c0,c1,c2,..,cn,其中第i個元素ci(1 <= i <= n)與它前面的(9php.com)i個元素構成的(9php.com)逆序對的(9php.com)個數為di(0 <= di <= i),那么我們得到一個逆序數序列d1,d2,...,dn(0 <= di <= i)。這不就是前面的(9php.com)n位變進制數的(9php.com)各個位么?于是,我們用n位變進制數M來表示該排列:
   M = d1*1! + d2*2! + ... + dn*n!
因此,每個排列都可以按這種方式表示成一個n位變進制數。下面,我們來考查n位變進制數能否與n+1個元素的(9php.com)全排列建立起一一對應的(9php.com)關系。

由于n位變進制數能表示(n+1)!個不同的(9php.com)數,而n+1個元素的(9php.com)全排列剛好有(n+1)!個不同的(9php.com)排列,且每一個排列都已經能表示成一個n位變進制數。如果我們能夠證明任意兩個不同的(9php.com)排列產生兩個不同的(9php.com)變進制數,那么我們就可以得出結論:
★ 定理1 n+1個元素的(9php.com)全排列的(9php.com)每一個排列對應著一個不同的(9php.com)n位變進制數。

對于全排列的(9php.com)任意兩個不同的(9php.com)排列p0,p1,p2,...,pn(排列P)和q0,q1,q2,...,qn(排列Q),從后往前查找第一個不相同的(9php.com)元素,分別記為pi和qi(0 < i <= n)。
(1)如果qi > pi,那么,
如果在排列Q中qi之前的(9php.com)元素x與qi構成逆序對,即有x > qi,則在排列P中pi之前也有相同元素x > pi(因為x > qi且qi > pi),即在排列P中pi之前的(9php.com)元素x也與pi構成逆序對,所以pi的(9php.com)逆序數大于等于qi的(9php.com)逆序數。又qi與pi在排列P中構成pi的(9php.com)逆序對,所以pi的(9php.com)逆序數大于qi的(9php.com)逆序數。
(2)同理,如果pi > qi,那么qi的(9php.com)逆序數大于pi的(9php.com)逆序數。
因此,由(1)和(2)知,排列P和排列Q對應的(9php.com)變進制數至少有第i位不相同,即全排列的(9php.com)任意兩個不同的(9php.com)排列具有不同的(9php.com)變進制數。至此,定理1得證。

計算n個元素的(9php.com)一個排列的(9php.com)變進制數的(9php.com)算法大致如下(時間復雜度為O(n^2)):
template <typename T>
size_t PermutationToNumber(const T permutation[], int n)
{
    // n不能太大,否則會溢出(如果size_t為32位,則n <= 12)
    size_t result = 0;
    for (int j = 1; j < n; ++j) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < j; ++k) {
            if (permutation[k] > permutation[j])
                ++count;
        }
        // factorials[j]保存著j!
        result += count * factorials[j];
    }

    return result;
}

說明:
(1)由于n!是一個很大的(9php.com)數,因此一般只能用于較小的(9php.com)n。
(2)有了計算排列的(9php.com)變進制數的(9php.com)算法,我們就可以使用一個大小為n!的(9php.com)數組來保存每一個排列的(9php.com)狀態,使用排列的(9php.com)變進制數作為數組下標,從而實現狀態的(9php.com)快速檢索。如果只是標記狀態是否出現,則可以用一位來標記狀態。


PS:    最近研究八數碼問題發現全排列的這種Hash方式的,后來在查找一些Hash函數時發現了變進制數這個東西的,發現它真是一個好東西,ACM中也經常用到..........

posted on 2009-08-04 11:13 蝸牛也Coding 閱讀(1207) 評論(1)  編輯 收藏 引用

評論

# re: (轉)一種變進制數及其應用(全排列之Hash實現) 2010-01-08 10:42 treg

這不是就康托展開。  回復  更多評論   


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