假設某大學有一個活動室，我是這個活動管理員。某天，有6個社團都提出了使用活動室的要求，并告知了他們希望使用活動室的時間段（他們之間相互不知道對方的要求，因此時間安排是沒有相互商量過的，可能有重疊）。活動室不能同時被兩個以上社團使用。作為管理員，我無法每次都滿足所有人的要求，但我想盡量提高活動室的使用率，那么，我如何選取某幾項活動，使得活動室的使用時間最長呢？
如上圖，假設上圖是某一次這些社團的要求（假設0是正午12點），各顏色條分別是各個社團的使用時間計劃。那么，我應該如何分配活動室呢？顯然，如果給了社團5，其它社團就不能再使用該活動室了，這時活動室的使用時間是從2點到8點，共使用了6個小時。但這不是最長的使用時間組合。如果將活動室分配給1、3、4、6，那么除了4點到5點之間活動室是空的之外，其它時間活動室都被使用了，一共使用時間是8個小時。
（其實在《算法導論》一書的第16章第一節中，也提到一個活動選擇問題。這里說的活動選擇問題與書中的不一樣。這兩個問題要求不一樣。那個問題將在貪婪算法相關的內容中討論）
使用蠻力法，不會是一種好的方法。這一點就不過多論證了。
這是個最優化問題。我們探索下，會發現這個問題的最優解，是有可能表示成子問題最優解的遞歸解的。假設Tij是一個從i點到j點的時間段，這個時間段內，最長的使用時間是Sij。Sij的計算中用到的活動，必須是要求整個活動時間被包括在Tij中的，不能越過這個時間限。我們就稱Vij是這樣一個集合，其中包含了所有時間范圍被完全包含在Tij范圍內的活動。
假設對于i點到j點Tij，如果i=j，那么很顯然Sij就是0。如果i不等于j，那么最長使用使用時間Sij可能是j-i個小時，也就是有一個活動從i點一直搞到j點，那么挺好，就選擇這個活動就行了。但如果不存在這么長時間的活動，那么，我們可以試著把這個時間分成兩個部分Tik和Tkj，它們分別最長的使用時間是Sik和Skj。令S'=Sik+Skj，我們知道，當k從i到j依次取值時，可以得到各組不同的Sik和Skj，Sij肯定是S'中取最大的那個值。為什么呢？因為如果沒有一個在Tij時間內段的活動能充滿整個Tij時間段的話，那么Vij內的任何一個活動單獨放到Tij時間段內，那么在這個時間段的前端和后端，至少會出現一個空白的沒被使用的時間，如下圖：
所以，直感上看，就可以把空白的時間段取出來，看這個時間段內還能不能再按排一些活動。只要沒有一個活動可以填滿整個時間段，那么最大使用時間就是Vij內多個活動時間拼接成的。那么對于從i到j內的每一個時間點k，這個點左右兩邊Tik和Tkj內會分別安排一些活動（因為每個活動都是從整點開始到整點結束，而且各活動使用活動室的時間也不能重疊。但可能Vik或Vkj會為空），就分別能得到Sik和Skj。只要對每一個可能的k值進行檢查，那么最大時間肯定就是其中的一個。
因此，我們可以得出Sij的計算方法：
- 如果i=j，則 Sij=0
- 否則，如果存在一個活動的時候長度恰好為Tij，則Sij=j-i
- 否則，Sij＝max{Sik+Sij} ，其中、k從i到j依次取值。
現在，我們已經得到了這個問題最優解的一個遞歸形式的解。遞歸式中包含了子問題的最優解。（關于子問題是否是最優解，可以用《算法導論》中的"剪切粘貼法"來考慮）。這是能用動態規劃來解決的問題的第一個特征。
然后再看，如果我們根據這個遞歸直接翻譯寫出遞歸程序，那么，對于會出現很多重復的計算。比如，當我們計算S09時，會用到S01、S02、S03、S04、......、S07、S08，再計算S08時，又會用到S01、S02、S03、S04、......、S07。以此類推，這個表達式中存在非常多的重復計算，計算量很大。嗯，有很多重疊的子問題，這是能用動態規劃來解決的問題的第二個特征。
那么，根據動態規劃的方法，就應該用從底向上的方法來解決這個問題，先計算小區間的值，并存儲起來，然后再利用已經得到的小區間的值來計算大區間的值。最終得到原問題的最優解。如下圖：
格子[i，j]表示從i點到j點，最大利用時間值是多少。灰掉的部分是無效值，因為此時i值大于j值，沒有實際意思。這個表，我們從左到右計算每一列的值，就是用的從底向上的方法，最終可以地推出結果[0，9]的值是8.
在計算最大時間的過程中，將每次使得Sij最大時的K值記錄下來，存儲到K[i][j]中去，Sij得出來之后，就可以到出一個K[i][j]的表，根據這個表，可以得到如何不斷地將時間劃分成最優的兩段，直至時間段內有活動充滿該時間段，或是時間段內不存在任何活動。有了這個時間劃分，我們就可以從這些時間段中分別相應的活動，這樣，問題就最終得到了解決。