在泛函分析中，卷積、旋積或摺積(英語(yǔ)：Convolution)是通過(guò)兩個(gè)函數(shù)f 和g 生成第三個(gè)函數(shù)的一種數(shù)學(xué)算子，表征函數(shù)f 與經(jīng)過(guò)翻轉(zhuǎn)和平移的g 的重疊部分的累積。
如果將參加卷積的一個(gè)函數(shù)看作區(qū)間的指示函數(shù)，卷積還可以被看作是“滑動(dòng)平均”的推廣。

基本內(nèi)涵

簡(jiǎn)單介紹
卷積的定義

卷積的定義

卷積是分析數(shù)學(xué)中一種重要的運(yùn)算。
設(shè):f(x),g(x)是R1上的兩個(gè)可積函數(shù)，作積分（如右圖）：
可以證明，關(guān)于幾乎所有的實(shí)數(shù)x，上述積分是存在的。這樣，隨著x的不同取值，這個(gè)積分就定義了一個(gè)新函數(shù)h(x)，稱(chēng)為函數(shù)f與g的卷積，記為h(x)=(f*g)(x)。
容易驗(yàn)證，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍為可積函數(shù)。這就是說(shuō)，把卷積代替乘法，L1（R1）空間是一個(gè)代數(shù)，甚至是巴拿赫代數(shù)。
卷積與傅里葉變換有著密切的關(guān)系。利用一點(diǎn)性質(zhì)，即兩函數(shù)的傅里葉變換的乘積等于它們卷積后的傅里葉變換，能使傅里葉分析中許多問(wèn)題的處理得到簡(jiǎn)化。
由卷積得到的函數(shù)f*g一般要比f和g都光滑。特別當(dāng)g為具有緊致集的光滑函數(shù)，f為局部可積時(shí)，它們的卷積f * g也是光滑函數(shù)。利用這一性質(zhì)，對(duì)于任意的可積函數(shù)f，都可以簡(jiǎn)單地構(gòu)造出一列逼近于f的光滑函數(shù)列fs，這種方法稱(chēng)為函數(shù)的光滑化或正則化。

定義

卷積的概念還可以推廣到數(shù)列、測(cè)度以及廣義函數(shù)上去。
卷積是兩個(gè)變量在某范圍內(nèi)相乘后求和的結(jié)果。如果卷積的變量是序列x(n)和h(n)，則卷積的結(jié)果
，
其中星號(hào)*表示卷積。當(dāng)時(shí)序n=0時(shí)，序列h(-i)是h(i)的時(shí)序i取反的結(jié)果；時(shí)序取反使得h(i)以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180度，所以這種相乘后求和的計(jì)算法稱(chēng)為卷積和，簡(jiǎn)稱(chēng)卷積。另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n對(duì)應(yīng)不同的卷積結(jié)果。
如果卷積的變量是函數(shù)x(t)和h(t)，則卷積的計(jì)算變?yōu)?/div>
，
其中p是積分變量，積分也是求和，t是使函數(shù)h(-p)位移的量，星號(hào)*表示卷積。
參考《數(shù)字信號(hào)處理》楊毅明著，p.55、p.188、p.264，機(jī)械工業(yè)出版社2012年發(fā)行。
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“卷積”是什么？

看到科學(xué)網(wǎng)上幾篇關(guān)于卷積的博文，也頗為受益。的確，卷積是一個(gè)極為重要的運(yùn)算，其定義事實(shí)上是自然的。但由于我們教材中過(guò)于拘泥于形式，從而使得學(xué)生感覺(jué)這是個(gè)天上掉下來(lái)的東西。我第一次接觸卷積之時(shí)便有此感覺(jué)。不過(guò)，在后期逐漸接觸之中，形成了一些自己的淺見(jiàn)，并在課堂之上經(jīng)常提起。僅記于此，以為交流之便宜。

首先，卷積的定義是如何而來(lái)？事實(shí)上，卷積命名讓人有些疏離之感。但是，倘若我們將其稱(chēng)之為“加權(quán)平均積”，那便容易接受的多。的確，卷積的離散形式便是人人會(huì)用的加權(quán)平均，而連續(xù)形式則可考慮為對(duì)連續(xù)函數(shù)的加權(quán)平均。假如我們觀測(cè)或計(jì)算出一組數(shù)據(jù)。但數(shù)據(jù)由于受噪音的污染并不光滑，我們希望對(duì)其進(jìn)行人工處理。那么，最簡(jiǎn)單的方法就是加權(quán)平均。例如，我們想對(duì)數(shù)據(jù)x_j進(jìn)行修正，可加權(quán)平均為
w/2*x_{j-1}+(1-w)x_j+w/2 *x_{j+1}。
此處，w為選擇的權(quán)重，如果可選擇0.1等等。
這里實(shí)際上是用兩邊的數(shù)據(jù)對(duì)中間的數(shù)據(jù)進(jìn)行了一點(diǎn)修正。上面的公式，實(shí)際上是兩個(gè)序列在做離散卷積，其中一個(gè)序列是
......0,0,w/2,1-w,w/2,0,0......，
另一個(gè)序列是
.....,x_1,x_2,x_3,......
將上述簡(jiǎn)單的思想推而廣之，便是一般的卷積。若把序列換為函數(shù)，則就是我們通常卷積的定義。這時(shí)候，你可以考慮為一個(gè)函數(shù)對(duì)另外一個(gè)函數(shù)做加權(quán)平均。不過(guò)，一個(gè)扮演的是權(quán)重角色，另一個(gè)則扮演被平均的角色。

那么，卷積為什么重要？猶如乘積無(wú)處不在，卷積也是無(wú)處不在的。究其原因就便是：卷積是頻域上的乘積！
但凡對(duì)Fourier變換有些了解，便知道一個(gè)函數(shù)可從兩個(gè)方面來(lái)看：時(shí)域和頻域。Fourier變換宛如西游記中的照妖鏡，任何函數(shù)在其面前都會(huì)展現(xiàn)出另外一面。所以，很多時(shí)候我們?nèi)绻麑?duì)一個(gè)函數(shù)看不清楚，那就在照妖鏡里看一下，做一下Fourier變換，便會(huì)豁然開(kāi)朗。而函數(shù)的性質(zhì)，經(jīng)過(guò)Fourier變換之后，也會(huì)有與之相對(duì)應(yīng)的性質(zhì)。例如，函數(shù)的光滑性經(jīng)過(guò)Fourier變換后，便是其在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨向于0的速度。那么，函數(shù)的乘積經(jīng)過(guò)Fourier變換后，便是卷積！因此，卷積實(shí)際上是乘積的另外一面，不過(guò)這一面需要借助照妖鏡才可以看到，所以讓我們感覺(jué)有些陌生。卷積，F(xiàn)ourier變換與乘積是緊密聯(lián)系在一起的。因此：
                     有卷積的地方，便會(huì)有Fourier變換；有Fourier變換的地方，便會(huì)有卷積！
想想Fourier變換的應(yīng)用范圍，便不難理解卷積的重要。

說(shuō)了半天，我們的學(xué)生，甚至于數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)畢業(yè)生，為什么會(huì)對(duì)卷積感覺(jué)莫測(cè)與神奇呢？我在以前的博文里面提過(guò)，我們大學(xué)的數(shù)學(xué)教育似乎比較輕視Fourier變換。事實(shí)上，我們承襲了中學(xué)數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)，喜歡在技巧性強(qiáng)的地方大做文章。高等數(shù)學(xué)里面，兩個(gè)地方學(xué)生花費(fèi)時(shí)間甚多：一是中值定理，一是不定積分。因?yàn)檫@兩處最容易出現(xiàn)技巧性強(qiáng)的題目。但是，對(duì)于Fourier變換這種帶有新思想的地方卻著力不足。就像我前面所說(shuō)：有卷積的地方，便會(huì)有Fourier變換。也就不難理解，學(xué)生對(duì)卷積陌生的根本原因是教學(xué)方面對(duì)Fourier變換的輕視。

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發(fā)表于 2013-12-06 17:16 杰哥 閱讀(1275) 評(píng)論(0)  編輯 收藏 引用 所屬分類(lèi): 學(xué)術(shù)