聲明：本文最初發表于《電腦編程技巧與維護》2006年第5期，版本所有，如蒙轉載，敬請連此聲明一起轉載，否則追究侵權責任。
從一道筆試題談算法優化（上）
作者：賴勇浩（http://blog.csdn.net/lanphaday）
引子
每年十一月各大IT公司都不約而同、爭后恐后地到各大高校進行全國巡回招聘。與此同時，網上也開始出現大量筆試面試題；網上流傳的題目往往都很精巧，既能讓考查基礎知識，又在平淡中隱含了廣闊的天地供優秀學生馳騁。
這兩天在網上淘到一道筆試題目（注1），雖然真假未知，但的確是道好題，題目如下：
從10億個浮點數中找出最大的1萬個。
這是一道似易實難的題目，一般同學最容易中的陷阱就是沒有重視這個“億”字。因為有10億個單精度浮點數元素的數組在32位平臺上已經達到3.7GB之巨，在常見計算機平臺（如Win32）上聲明一個這樣的數組將導致堆棧溢出。正確的解決方法是分治法，比如每次處理100萬個數，然后再綜合起來。不過這不是本文要討論的主旨，所以本文把上題的10億改為1億，把浮點數改為整數，這樣可以直接地完成這個問題，有利于清晰地討論相關算法的優化（注2）。
不假思索
拿到這道題，馬上就會想到的方法是建立一個數組把1億個數裝起來，然后用for循環遍歷這個數組，找出最大的1萬個數來。原因很簡單，因為如果要找出最大的那個數，就是這樣解決的；而找最大的1萬個數，只是重復1萬遍而已。
template< class T >
void solution_1( T BigArr[], T ResArr[] )
{
for( int i = 0; i < RES_ARR_SIZE; ++i )
{
int idx = i;
for( int j = i+1; j < BIG_ARR_SIZE; ++j )
{
if( BigArr[j] > BigArr[idx] )
idx = j;
}
ResArr[i] = BigArr[idx];
std::swap( BigArr[idx], BigArr[i] );
}
}
設BIG_ARR_SIZE ＝ 1億，RES_ARR_SIZE = 1萬，運行以上算法已經超過40分鐘（注3），遠遠超過我們的可接受范圍。
稍作思考
從上面的代碼可以看出跟SelectSort算法的核心代碼是一樣的。因為SelectSort是一個O(n^2)的算法（solution_1的時間復雜度為O(n*m)，因為solution_1沒有將整個大數組全部排序），而我們又知道排序算法可以優化到O(nlogn)，那們是否可以從這方面入手使用更快的排序算法如MergeSor、QuickSort呢？但這些算法都不具備從大至小選擇最大的N個數的功能，因此只有將1億個數按從大到小用QuickSort排序，然后提取最前面的1萬個。
template< class T, class I >
void solution_2( T BigArr[], T ResArr[] )
{
std::sort( BigArr, BigArr + BIG_ARR_SIZE, std::greater_equal() );
memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE );
}
因為STL里的sort算法使用的是QuickSort，在這里直接拿來用了，是因為不想寫一個寫一個眾人皆知的QuickSort代碼來占篇幅（而且STL的sort高度優化、速度快）。
對solution_2進行測試，運行時間是32秒，約為solution_1的1.5%的時間，已經取得了幾何數量級的進展。
深入思考
壓抑住興奮回頭再仔細看看solution_2，你將發現一個大問題，那就是在solution_2里所有的元素都排序了！而事實上只需找出最大的1萬個即可，我們不是做了很多無用功嗎？應該怎么樣來消除這些無用功？
如果你一時沒有頭緒，那就讓我慢慢引導你。首先，發掘一個事實：如果這個大數組本身已經按從大到小有序，那么數組的前1萬個元素就是結果；然后，可以假設這個大數組已經從大到小有序，并將前1萬個元素放到結果數組；再次，事實上這結果數組里放的未必是最大的一萬個，因此需要將前1萬個數字后續的元素跟結果數組的最小的元素比較，如果所有后續的元素都比結果數組的最小元素還小，那結果數組就是想要的結果，如果某一后續的元素比結果數組的最小元素大，那就用它替換結果數組里最小的數字；最后，遍歷完大數組，得到的結果數組就是想要的結果了。
template< class T >
void solution_3( T BigArr[], T ResArr[] )
{
//取最前面的一萬個
memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE );
//標記是否發生過交換
bool bExchanged = true;
//遍歷后續的元素
for( int i = RES_ARR_SIZE; i < BIG_ARR_SIZE; ++i )
{
int idx;
//如果上一輪發生過交換
if( bExchanged )
{
//找出ResArr中最小的元素
int j;
for( idx = 0, j = 1; j < RES_ARR_SIZE; ++j )
{
if( ResArr[idx] > ResArr[j] )
idx = j;
}
}
//這個后續元素比ResArr中最小的元素大，則替換。
if( BigArr[i] > ResArr[idx] )
{
bExchanged = true;
ResArr[idx] = BigArr[i];
}
else
bExchanged = false;
}
}
上面的代碼使用了一個布爾變量bExchanged標記是否發生過交換，這是一個前文沒有談到的優化手段——用以標記元素交換的狀態，可以大大減少查找ResArr中最小元素的次數。也對solution_3進行測試一下，結果用時2.0秒左右（不使用bExchanged則高達32分鐘），遠小于solution_2的用時。
深思熟慮
在進入下一步優化之前，分析一下solution_3的成功之處。第一、solution_3的算法只遍歷大數組一次，即它是一個O(n)的算法，而solution_1是O(n*m)的算法，solution_2是O(nlogn)的算法，可見它在本質上有著天然的優越性；第二、在solution_3中引入了bExchanged這一標志變量，從測試數據可見引入bExchanged減少了約99.99%的時間，這是一個非常大的成功。
上面這段話絕非僅僅說明了solution_3的優點，更重要的是把solution_3的主要矛盾擺上了桌面——為什么一個O(n)的算法效率會跟O(n*m)的算法差不多（不使用bExchanged）？為什么使用了bExchanged能夠減少99.99%的時間？帶著這兩個問題再次審視solution_3的代碼，發現bExchanged的引入實際上減少了如下代碼段的執行次數：
for( idx = 0, j = 1; j < RES_ARR_SIZE; ++j )
{
if( ResArr[idx] > ResArr[j] )
idx = j;
}
上面的代碼段即是查找ResArr中最小元素的算法，分析它可知這是一個O(n)的算法，到此時就水落石出了！原來雖然solution_3是一個O(n)的算法，但因為內部使用的查找最小元素的算法也是O(n)的算法，所以就退化為O(n*m)的算法了。難怪不使用bExchanged使用的時間跟solution_1差不多；這也從反面證明了solution_3被上面的這一代碼段導致性能退化。使用了bExchanged之后因為減少了很多查找最小元素的代碼段執行，所以能夠節省99.99%的時間！
至此可知元兇就是查找最小元素的代碼段，但查找最小元素是必不可少的操作，在這個兩難的情況下該怎么去優化呢？答案就是保持結果數組（即ResArr）有序，那樣的話最小的元素總是最后一個，從而省去查找最小元素的時間，解決上面的問題。但這也引入了一個新的問題：保持數組有序的插入算法的時間復雜度是O(n)的，雖然在這個問題里插入的數次比例較小，但因為基數太大（1億），這一開銷仍然會令本方案得不償失。
難道就沒有辦法了嗎？記得小學解應用題時老師教導過我們如果解題沒有思路，那就多讀幾遍題目。再次審題，注意到題目并沒有要求找到的最大的1萬個數要有序（注4），這意味著可以通過如下算法來解決：
1) 將BigArr的前1萬個元素復制到ResArr并用QuickSort使ResArr有序，并定義變量MinElemIdx保存最小元素的索引，并定義變量ZoneBeginIdx保存可能發生交換的區域的最小索引；
2) 遍歷BigArr其它的元素，如果某一元素比ResArr最小元素小，則將ResArr中MinElemIdx指向的元素替換，如果ZoneBeginIdx == MinElemIdx則擴展ZoneBeginIdx；
3) 重新在ZoneBeginIdx至RES_ARR_SIZE元素段中尋找最小元素，并用MinElemIdx保存其它索引；
4) 重復2)直至遍歷完所有BigArr的元素。
依上算法，寫代碼如下：
template< class T, class I >
void solution_4( T BigArr[], T ResArr[] )
{
//取最前面的一萬個
memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE );
//排序
std::sort( ResArr, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater_equal() );
//最小元素索引
unsigned int MinElemIdx = RES_ARR_SIZE - 1;
//可能產生交換的區域的最小索引
unsigned int ZoneBeginIdx = MinElemIdx;
//遍歷后續的元素
for( unsigned int i = RES_ARR_SIZE; i < BIG_ARR_SIZE; ++i )
{
//這個后續元素比ResArr中最小的元素大，則替換。
if( BigArr[i] > ResArr[MinElemIdx] )
{
ResArr[MinElemIdx] = BigArr[i];
if( MinElemIdx == ZoneBeginIdx )
--ZoneBeginIdx;
//查找最小元素
unsigned int idx = ZoneBeginIdx;
unsigned int j = idx + 1;
for( ; j < RES_ARR_SIZE; ++j )
{
if( ResArr[idx] > ResArr[j] )
idx = j;
}
MinElemIdx = idx;
}
}
}
經過測試，同樣情況下solution_4用時約1.8秒，較solution_3效率略高，總算不負一番努力。
待續……