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高斯消元法，是線性代數(shù)中的一個(gè)算法，可用來(lái)求解線性方程組，并可以求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。
高斯消元法的原理是：
若用初等行變換將增廣矩陣 化為 ，則AX = B與CX = D是同解方程組。
所以我們可以用初等行變換把增廣矩陣轉(zhuǎn)換為行階梯陣，然后回代求出方程的解。
以上是線性代數(shù)課的回顧，下面來(lái)說(shuō)說(shuō)高斯消元法在編程中的應(yīng)用。
首先，先介紹程序中高斯消元法的步驟：
(我們?cè)O(shè)方程組中方程的個(gè)數(shù)為equ，變?cè)膫€(gè)數(shù)為var，注意：一般情況下是n個(gè)方程，n個(gè)變?cè)怯行╊}目就故意讓方程數(shù)與變?cè)獢?shù)不同)
1. 把方程組轉(zhuǎn)換成增廣矩陣。
2. 利用初等行變換來(lái)把增廣矩陣轉(zhuǎn)換成行階梯陣。
枚舉k從0到equ – 1，當(dāng)前處理的列為col(初始為0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素絕對(duì)值最大的列與第k行交換。如果col列中的元素全為0，那么則處理col + 1列，k不變。
3. 轉(zhuǎn)換為行階梯陣，判斷解的情況。
① 無(wú)解
當(dāng)方程中出現(xiàn)(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0時(shí)，說(shuō)明是無(wú)解的。
② 唯一解
條件是k = equ，即行階梯陣形成了嚴(yán)格的上三角陣。利用回代逐一求出解集。
③ 無(wú)窮解。
條件是k < equ，即不能形成嚴(yán)格的上三角形，自由變?cè)膫€(gè)數(shù)即為equ – k，但有些題目要求判斷哪些變?cè)遣蝗倍ǖ摹?br> 這里單獨(dú)介紹下這種解法：
首先，自由變?cè)衯ar - k個(gè)，即不確定的變?cè)辽儆衯ar - k個(gè)。我們先把所有的變?cè)暈椴淮_定的。在每個(gè)方程中判斷不確定變?cè)膫€(gè)數(shù)，如果大于1個(gè)，則該方程無(wú)法求解。如果只有1個(gè)變?cè)敲丛撟冊(cè)纯汕蟪觯礊榇_定變?cè)?br>
以上介紹的是求解整數(shù)線性方程組的求法，復(fù)雜度是O(n3)。浮點(diǎn)數(shù)線性方程組的求法類似，但是要在判斷是否為0時(shí)，加入EPS，以消除精度問(wèn)題。
下面講解幾道OJ上的高斯消元法求解線性方程組的題目：
POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1222
POJ 1681 Painter's Problem
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1681
POJ 1753 Flip Game
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1753
POJ 1830 開(kāi)關(guān)問(wèn)題
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1830
POJ 3185 The Water Bowls
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3185
開(kāi)關(guān)窗戶，開(kāi)關(guān)燈問(wèn)題，很典型的求解線性方程組的問(wèn)題。方程數(shù)和變量數(shù)均為行數(shù)*列數(shù)，直接套模板求解即可。但是，當(dāng)出現(xiàn)無(wú)窮解時(shí)，需要枚舉解的情況，因?yàn)闊o(wú)法判斷哪種解是題目要求最優(yōu)的。
POJ 2947 Widget Factory
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2947
求解同余方程組問(wèn)題。與一般求解線性方程組的問(wèn)題類似，只要在求解過(guò)程中加入取余即可。
注意：當(dāng)方程組唯一解時(shí)，求解過(guò)程中要保證解在[3, 9]之間。
POJ 1166 The Clocks
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1166
經(jīng)典的BFS問(wèn)題，有各種解法，也可以用逆矩陣進(jìn)行矩陣相乘。
但是這道題用高斯消元法解決好像有些問(wèn)題(困擾了我N天...持續(xù)困擾中...)，由于周期4不是素?cái)?shù)，故在求解過(guò)程中不能進(jìn)行取余(因?yàn)槿∮嗫赡軐?dǎo)致解集變大)，但最后求解集時(shí)，還是需要進(jìn)行取余操作，那么就不能保證最后求出的解是正確的...在discuss里提問(wèn)了好幾天也沒(méi)人回答...希望哪位路過(guò)的大牛指點(diǎn)下～～
POJ 2065 SETI
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2065
同樣是求解同余方程組問(wèn)題，由于題目中的p是素?cái)?shù)，可以直接在求解時(shí)取余，套用模板求解即可。(雖然AC的人很少，但它還是比較水的一道題，)
POJ 1487 Single-Player Games
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1487
很麻煩的一道題目...題目中的敘述貌似用到了編譯原理中的詞法定義(看了就給人不想做的感覺(jué)...)
解方程組的思想還是很好看出來(lái)了(前提是通讀題目不下5遍...)，但如果把樹的字符串表達(dá)式轉(zhuǎn)換成方程組是個(gè)難點(diǎn)，我是用棧 + 遞歸的做法分解的。首先用棧的思想求出該結(jié)點(diǎn)的孩子數(shù)，然后遞歸分別求解各個(gè)孩子。
這題解方程組也與眾不同...首先是求解浮點(diǎn)數(shù)方程組，要注意精度問(wèn)題，然后又詢問(wèn)不確定的變?cè)辞懊嬲f(shuō)的方法求解。
一頓折騰后，這題居然寫了6000+B...而且囧的是巨人C++ WA，G++ AC，可能還是精度的問(wèn)題吧...看這題目，看這代碼，就沒(méi)有改的欲望...
hdu OJ 2449
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2449
哈爾濱現(xiàn)場(chǎng)賽的一道純高斯題，當(dāng)時(shí)鶴牛敲了1個(gè)多小時(shí)...主要就是寫一個(gè)分?jǐn)?shù)類，套個(gè)高精模板(偷懶點(diǎn)就Java...)搞定～～
注意下0和負(fù)數(shù)時(shí)的輸出即可。
fze OJ 1704
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1704
福大月賽的一道題目，還是經(jīng)典的開(kāi)關(guān)問(wèn)題，但是方程數(shù)和變?cè)獢?shù)不同(考驗(yàn)?zāi)０宓臅r(shí)候到了～～)，最后要求增廣陣的階，要用到高精度～～
Sgu 275 To xor or not to xor
http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=275
題解:
http://hi.baidu.com/czyuan%5Facm/blog/item/be3403d32549633d970a16ee.html
這里提供下自己寫的還算滿意的求解整數(shù)線性方程組的模板(浮點(diǎn)數(shù)類似，就不提供了)～～
/* 用于求整數(shù)解得方程組. */
#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 105;
int equ, var; // 有equ個(gè)方程，var個(gè)變?cè)Ｔ鰪V陣行數(shù)為equ, 分別為0到equ - 1，列數(shù)為var + 1，分別為0到var.
int a[maxn][maxn];
int x[maxn]; // 解集.
bool free_x[maxn]; // 判斷是否是不確定的變?cè)?
int free_num;
void Debug(void)
{
int i, j;
for (i = 0; i < equ; i++)
{
for (j = 0; j < var + 1; j++)
{
cout << a[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;
}
inline int gcd(int a, int b)
{
int t;
while (b != 0)
{
t = b;
b = a % b;
a = t;
}
return a;
}
inline int lcm(int a, int b)
{
return a * b / gcd(a, b);
}
// 高斯消元法解方程組(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮點(diǎn)數(shù)解，但無(wú)整數(shù)解，-1表示無(wú)解，0表示唯一解，大于0表示無(wú)窮解，并返回自由變?cè)膫€(gè)數(shù))
int Gauss(void)
{
int i, j, k;
int max_r; // 當(dāng)前這列絕對(duì)值最大的行.
int col; // 當(dāng)前處理的列.
int ta, tb;
int LCM;
int temp;
int free_x_num;
int free_index;
// 轉(zhuǎn)換為階梯陣.
col = 0; // 當(dāng)前處理的列.
for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++)
{ // 枚舉當(dāng)前處理的行.
// 找到該col列元素絕對(duì)值最大的那行與第k行交換.(為了在除法時(shí)減小誤差)
max_r = k;
for (i = k + 1; i < equ; i++)
{
if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;
}
if (max_r != k)
{ // 與第k行交換.
for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
}
if (a[k][col] == 0)
{ // 說(shuō)明該col列第k行以下全是0了，則處理當(dāng)前行的下一列.
k--; continue;
}
for (i = k + 1; i < equ; i++)
{ // 枚舉要?jiǎng)h去的行.
if (a[i][col] != 0)
{
LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]);
if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 異號(hào)的情況是兩個(gè)數(shù)相加.
for (j = col; j < var + 1; j++)
{
a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;
}
}
}
}
Debug();
// 1. 無(wú)解的情況: 化簡(jiǎn)的增廣陣中存在(0, 0, ..., a)這樣的行(a != 0).
for (i = k; i < equ; i++)
{ // 對(duì)于無(wú)窮解來(lái)說(shuō)，如果要判斷哪些是自由變?cè)敲闯醯刃凶儞Q中的交換就會(huì)影響，則要記錄交換.
if (a[i][col] != 0) return -1;
}
// 2. 無(wú)窮解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中出現(xiàn)(0, 0, ..., 0)這樣的行，即說(shuō)明沒(méi)有形成嚴(yán)格的上三角陣.
// 且出現(xiàn)的行數(shù)即為自由變?cè)膫€(gè)數(shù).
if (k < var)
{
// 首先，自由變?cè)衯ar - k個(gè)，即不確定的變?cè)辽儆衯ar - k個(gè).
for (i = k - 1; i >= 0; i--)
{
// 第i行一定不會(huì)是(0, 0, ..., 0)的情況，因?yàn)檫@樣的行是在第k行到第equ行.
// 同樣，第i行一定不會(huì)是(0, 0, ..., a), a != 0的情況，這樣的無(wú)解的.
free_x_num = 0; // 用于判斷該行中的不確定的變?cè)膫€(gè)數(shù)，如果超過(guò)1個(gè)，則無(wú)法求解，它們?nèi)匀粸椴淮_定的變?cè)?
for (j = 0; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
}
if (free_x_num > 1) continue; // 無(wú)法求解出確定的變?cè)?
// 說(shuō)明就只有一個(gè)不確定的變?cè)猣ree_index，那么可以求解出該變?cè)以撟冊(cè)谴_定的.
temp = a[i][var];
for (j = 0; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
}
x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出該變?cè)?
free_x[free_index] = 0; // 該變?cè)谴_定的.
}
return var - k; // 自由變?cè)衯ar - k個(gè).
}
// 3. 唯一解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中形成嚴(yán)格的上三角陣.
// 計(jì)算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
for (i = var - 1; i >= 0; i--)
{
temp = a[i][var];
for (j = i + 1; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
}
if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 說(shuō)明有浮點(diǎn)數(shù)解，但無(wú)整數(shù)解.
x[i] = temp / a[i][i];
}
return 0;
}
int main(void)
{
freopen("Input.txt", "r", stdin);
int i, j;
while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
{
memset(a, 0, sizeof(a));
memset(x, 0, sizeof(x));
memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一開(kāi)始全是不確定的變?cè)?
for (i = 0; i < equ; i++)
{
for (j = 0; j < var + 1; j++)
{
scanf("%d", &a[i][j]);
}
}
// Debug();
free_num = Gauss();
if (free_num == -1) printf("無(wú)解!\n");
else if (free_num == -2) printf("有浮點(diǎn)數(shù)解，無(wú)整數(shù)解!\n");
else if (free_num > 0)
{
printf("無(wú)窮多解! 自由變?cè)獋€(gè)數(shù)為%d\n", free_num);
for (i = 0; i < var; i++)
{
if (free_x[i]) printf("x%d 是不確定的\n", i + 1);
else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
else
{
for (i = 0; i < var; i++)
{
printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
printf("\n");
}
return 0;
}
轉(zhuǎn)自：http://hi.baidu.com/czyuan_acm/blog/item/ebf41f8fdc0e1ee6f01f36e9.html
Sometimes the most important history, is the history we are making today~
聽(tīng)說(shuō)電視連續(xù)劇《蝸居》被禁了，據(jù)說(shuō)是因?yàn)榕_(tái)詞有點(diǎn)黃。果真如此嗎？帶著好奇，我從網(wǎng)上在線看了《蝸居》。一集一集地、認(rèn)認(rèn)真真地看了一遍。邊看邊同情、邊看邊感嘆，邊看邊思考。不把心里的話說(shuō)出來(lái)，我悶得慌。
我看《蝸居》的被禁，跟臺(tái)詞黃不黃沒(méi)關(guān)系，大多是個(gè)禁它的借口。再熱播下去，怕要出大亂子。一個(gè)月來(lái)，這部電視劇引起了很多人的關(guān)注和網(wǎng)上的熱烈討論。它將鏡頭對(duì)準(zhǔn)了大城市中不那么光鮮的一面：房?jī)r(jià)的上漲以及由此給年輕人的理想造成的巨大沖擊。我們自己的生活就像劇中描寫的一樣，一切都暴露在了陽(yáng)光下。劇中把房子帶來(lái)的社會(huì)問(wèn)題推上極致，這種殘酷的生活直抵每一個(gè)因房?jī)r(jià)而困擾生活的人。
一項(xiàng)36萬(wàn)多人參加的投票調(diào)查中，大多數(shù)人認(rèn)為“幸福與房子關(guān)聯(lián)密切。” “還房貸、吃盒飯”，已經(jīng)成為房?jī)r(jià)飆升年代對(duì)白領(lǐng)生存狀況的一種直白描摹。主人公一波三折的買房奮斗史，道出了都市無(wú)房族的困惑：房?jī)r(jià)是“一匹脫韁的野馬”，攢錢的速度永遠(yuǎn)趕不上房?jī)r(jià)上漲的速度。
有人甘心做房奴嗎，不買房子不行嗎？答案是，不行！誰(shuí)會(huì)租房租一輩子？你要說(shuō)，沒(méi)錢你就去郊區(qū)甚至農(nóng)村買房子呀。對(duì)，可以在郊區(qū)或農(nóng)村買到便宜房子，可是你的工作單位在市區(qū)，你怎么辦？是啊，人民有廣泛的自由，有選擇的權(quán)利。可是，你要上學(xué)，就得接受高學(xué)費(fèi)，你要看病就得接受高收費(fèi)，你要住房就要選擇高房?jī)r(jià)，除非你不讓孩子上學(xué)、不去看病，不住房子。你有不選擇的自由嗎？沒(méi)有。買房是社會(huì)逼的，是形勢(shì)逼的，是必需的，你可以選擇這，選擇那，你能選擇不住房子嗎！
那，是誰(shuí)逼著群眾做了房奴？是壟斷階層，是官商勾結(jié)，是政治腐敗！國(guó)家是人民的，資源是國(guó)家的,理應(yīng)由人民共享。可是利益集團(tuán)利用人民的資源，憑借其壟斷地位要挾人民。看看現(xiàn)實(shí),看看中石油、中石化, 領(lǐng)著巨額財(cái)政補(bǔ)貼,買樓是10億10億的買，不漲價(jià)就斷你車子的油、不漲價(jià)就斷你家的氣,人為制造緊張。中國(guó)移動(dòng),傳播黃色淫穢網(wǎng)絡(luò)的先鋒,哪里還有一丁點(diǎn)的社會(huì)責(zé)任；有線電視,大家都看見(jiàn)了,獨(dú)此一家,不用也得用,不允許你安裝衛(wèi)星電視,查處你！諸如此類,實(shí)在太多。還有無(wú)恥的專家為他們搖旗吶喊：不能因?yàn)楦F人喝不起水就不漲水價(jià),中國(guó)的電價(jià)嚴(yán)重偏低。漲價(jià)是為了節(jié)約資源，更好地服務(wù)于人民,能力外的資本為零,哈哈,令人笑掉大牙……見(jiàn)過(guò)無(wú)恥的,沒(méi)見(jiàn)過(guò)這么無(wú)恥的。
看看劇情吧，權(quán)力支配一切，資本動(dòng)搖人性，利益逼良為娼。權(quán)貴階層可以隨便劫人祖居、淫人妻女、左右一切。同樣是過(guò)年，富人在富麗堂皇充滿溫馨的大房子里，窮人沒(méi)水沒(méi)電點(diǎn)著蠟燭苦熬；群眾頂著加班的壓力努力地工作，不過(guò)取得些微薄的收入，而權(quán)貴的二奶買件衣服隨便一出手就成千上萬(wàn)！這是我們要的和諧社會(huì)嗎？
看到第19集，我，一個(gè)男人，哭了。小貝的幾聲大吼，你以為只是因?yàn)閵Z妻之恨嗎？非也，他喊出了人壓抑已久的東西！
感謝《蝸居》的七個(gè)理由？
上海電視臺(tái)制作的35集電視連續(xù)劇《蝸居》在國(guó)家廣電總局的否認(rèn)禁播中還是被“禁播”了。只有上海東方衛(wèi)視似乎還在播放，不過(guò)，大家多數(shù)人已經(jīng)看過(guò)這部電視劇了，原因是網(wǎng)絡(luò)拉近了精神產(chǎn)品制造者與消費(fèi)者的距離。各地方電視臺(tái)電視臺(tái)形式上的禁播，只是一些人的作秀。我覺(jué)得應(yīng)該感謝《蝸居》。
感謝《蝸居》的第一個(gè)理由，它引起爭(zhēng)議。對(duì)《蝸居》的爭(zhēng)議恐怕還要持續(xù)下去，就讓發(fā)展見(jiàn)證或者證明它的必要與否吧！一部有爭(zhēng)議的電視劇起碼說(shuō)明它是有關(guān)注度的，在被受眾的關(guān)注過(guò)程中，既實(shí)現(xiàn)了電視臺(tái)的播放價(jià)值，又實(shí)現(xiàn)了媒體的報(bào)道價(jià)值，還能教育國(guó)人，凈化心靈。在對(duì)《蝸居》的爭(zhēng)議中，國(guó)人慢慢接受它的存在。
感謝《蝸居》的第二理由，它沒(méi)有亂倫。如今，國(guó)人已經(jīng)出離了羞恥的地步，親情、友情（同事情、戰(zhàn)友情）、愛(ài)情等這些永恒的主題已經(jīng)有了重新闡釋的必要和必須了！而《蝸居》緊緊把握社會(huì)倫理道德的底線，沒(méi)有讓姐夫與小姨子發(fā)生任何關(guān)系，也沒(méi)有通過(guò)更進(jìn)一步的亂倫實(shí)現(xiàn)讓受眾關(guān)注的目的，這讓一些人感動(dòng)。
感謝《蝸居》的第三個(gè)理由，它寫了拆遷。隨著城市化進(jìn)程的加速發(fā)展，隨著國(guó)家拉動(dòng)內(nèi)需政策的深入執(zhí)行，城市要擴(kuò)展生存空間，老舊小區(qū)以及棚戶區(qū)、平房、貧民區(qū)等都要被拆遷建新的。《蝸居》把存在于拆遷中的核心問(wèn)題全部寫出來(lái)，讓觀眾自己感受，讓觀眾自己解決。不管是利益拆遷還是流氓阻遷，都在觀眾的心理。
感謝《蝸居》的第四個(gè)理由，它痛恨腐敗。腐敗是發(fā)展的毒瘤，國(guó)人恨之入骨，尤其是哪些家中或者親戚中沒(méi)有當(dāng)官的人，更是恨不得“吃腐敗分子的肉，喝腐敗分子的血”。當(dāng)然，家中或者親戚中如果有當(dāng)官的腐敗了，那就另當(dāng)別論了！他們會(huì)以此自詡，同時(shí)，也會(huì)撈取一些提高生活水平的金錢、名譽(yù)、地位，徹底揭示出國(guó)人的雙重人格。
感謝《蝸居》的第五個(gè)理由，它落筆于被社會(huì)遺忘的角落。過(guò)去組成社會(huì)機(jī)構(gòu)的農(nóng)民、工人、知識(shí)分子、商人的階層，現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)生了極大的變化：農(nóng)民（農(nóng)民工、農(nóng)電工）、公務(wù)員、工人（礦工）、企業(yè)員工、知識(shí)分子（教師）、領(lǐng)導(dǎo)干部……這些群體都有關(guān)注，也有代言人，也有說(shuō)話的地方，而有一個(gè)群體是沒(méi)有代言人的，是被遺忘的快要發(fā)霉的群體，他們生活在城市夾縫中喘不過(guò)起來(lái)，他們以打工名義無(wú)盡地奮斗著，他們是知識(shí)分子，他們有文化，有志向，有力氣，有理想，就是沒(méi)有跳起來(lái)高飛的平臺(tái)。他們每天在一個(gè)企業(yè)里面被老板殘忍的剝奪著，得到的與自己付出的根本不等價(jià)，他們的收入被以奉獻(xiàn)的名義剝奪了，加班合理化、扣錢流氓化、養(yǎng)老保險(xiǎn)強(qiáng)制化……就是打個(gè)車還要為城市管理者的無(wú)能埋單。
感謝《蝸居》的第六個(gè)理由，它關(guān)注士階層。記得在中學(xué)的時(shí)候?qū)W習(xí)歷史，講到三國(guó)兩晉南北朝時(shí)期，東晉出現(xiàn)了士階層，他們有錢有勢(shì)，生活無(wú)聊，尋找刺激，沒(méi)有追求，攀比成風(fēng)，人乳宴就是那個(gè)時(shí)候發(fā)明并且被推廣起來(lái)的。現(xiàn)在這個(gè)新士階層是一個(gè)高度變態(tài)的階層，他們比誰(shuí)的二奶奶多，臉蛋漂亮，歲數(shù)小……并且他們不會(huì)受到內(nèi)心的譴責(zé)的，這是可怕的警示。
感謝《蝸居》的第七個(gè)理由，它打造忍者神龜。好像動(dòng)畫片里有個(gè)東西叫忍者神龜，《蝸居》就是告訴受眾，在這個(gè)社會(huì)生活、生存必須學(xué)會(huì)忍讓，就像烏龜那樣永遠(yuǎn)地蜷縮著自己的腦袋，不要放出了。這樣下去，將讓這個(gè)社會(huì)失去了血性。
來(lái)看看貓撲網(wǎng)收集到的MOPPER的回復(fù)吧
這個(gè)電視劇惡攻精蠅的房地產(chǎn)政策！
沒(méi)看過(guò)，但是被禁播一定有它的理由。畢竟話語(yǔ)權(quán)在精英手中。
似乎東方衛(wèi)視還在播。
這是我們要的和諧社會(huì)嗎？
哀民生之多艱！恨權(quán)貴之貪婪！怒官員之腐敗！愧我party之怠慢！
資本主義社會(huì)，有多少錢，就有多少自由。你以為法律不禁止，你就自由了？
看到第19集，我，一個(gè)男人，哭了。小貝的幾聲大吼，你以為只是因?yàn)閵Z妻之恨嗎？非也，他喊出了人壓抑已久的東西！
以人為本。以人為本。以人為本。
觸目驚心_____
權(quán)貴的二奶買件衣服隨便一出手就成千上萬(wàn)！這是我們要的和諧社會(huì)嗎？
富人在富麗堂皇充滿溫馨的大房子里，窮人沒(méi)水沒(méi)電點(diǎn)著蠟燭苦熬；群眾頂著加班的壓力努力地工作，不過(guò)取得些微薄的收入
看看劇情吧，權(quán)力支配一切，資本動(dòng)搖人性，利益逼良為娼。權(quán)貴階層可以隨便劫人祖居、淫人妻女、左右一切
無(wú)恥的專家為他們搖旗吶喊：不能因?yàn)楦F人喝不起水就不漲水價(jià),中國(guó)的電價(jià)嚴(yán)重偏低。漲價(jià)是為了節(jié)約資源
不漲價(jià)就斷你車子的油、不漲價(jià)就斷你家的氣,人為制造緊張。中國(guó)移動(dòng),傳播黃色淫穢網(wǎng)絡(luò)的先鋒,哪里還有一丁點(diǎn)的社會(huì)責(zé)任
利益集團(tuán)利用人民的資源，憑借其壟斷地位要挾人民。看看現(xiàn)實(shí),看看中石油、中石化, 領(lǐng)著巨額財(cái)政補(bǔ)貼,買樓是10億10億的買
是誰(shuí)逼著群眾做了房奴？是壟斷階層，是官商勾結(jié)，是政治腐敗！國(guó)家是人民的，資源是國(guó)家的,理應(yīng)由人民共享。
見(jiàn)過(guò)無(wú)恥的,沒(méi)見(jiàn)過(guò)這么無(wú)恥的
社會(huì)會(huì)崩潰嗎?房地產(chǎn)很可能就是de-tona-tor.
極有可能，動(dòng)遷的，上訪的，買不起房的，買房被套的，為房當(dāng)二奶的........每個(gè)故事背后都是de-tona-tor，都和房地產(chǎn)有關(guān).........
這樣呵，我也去看看吧。
別當(dāng)真，其實(shí)，其色情度，遠(yuǎn)不如……手機(jī)黃段子。關(guān)鍵的“錯(cuò)誤”是……歌頌二奶，大奶很生氣！
盛世危言。
《蝸居》很濫，不過(guò)目前中國(guó)……就是這么濫。濫點(diǎn)，一是作者濫情，二是房市濫市，三是官員濫政，四是女性濫性。
——轉(zhuǎn)自天涯
摘要: 這題最簡(jiǎn)單的方法居然是暴力。。。時(shí)間復(fù)雜度一算大概是N^2，AC了。。。
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;//暴力求因子，打表 int n;int a[1000001],b[1000001]={0},c...
閱讀全文
摘要: 這個(gè)題我是用線段樹來(lái)做的，結(jié)果居然是超時(shí)。。。后來(lái)foreverlin同學(xué)告訴我他用樹狀數(shù)組過(guò)的，但我記得樹狀數(shù)組能解決的問(wèn)題，線段樹一定能解決，而且線段樹的復(fù)雜度是logL級(jí)別，為什么我會(huì)超時(shí)呢？還請(qǐng)各位大牛指點(diǎn)。。。我的代碼如下：
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<...
閱讀全文
久客逢馀閏，他鄉(xiāng)別故人。自然堪下淚，誰(shuí)忍望征塵。
江上風(fēng)煙積，山幽云霧多。送君南浦外，還望將如何。
桂軺雖不駐，蘭筵幸未開(kāi)。林塘風(fēng)月賞，還待故人來(lái)。
霜華凈天末，霧色籠江際。客子常畏人，何為久留滯。
div2的題目確實(shí)比較水，進(jìn)了div1就不同了，除了第一題，后面兩道基本沒(méi)有頭緒。。。。。。不過(guò)，樓哥依然還是那么猛。。。。
光榮的回到div2...汗...
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摘要：白盒測(cè)試作為測(cè)試人員常用的一種測(cè)試方法，越來(lái)越受到測(cè)試工程師的重視。白盒測(cè)試并不是簡(jiǎn)單的按照代碼設(shè)計(jì)用例，而是需要根據(jù)不同的測(cè)試需求，結(jié)合不同的測(cè)試對(duì)象，使用適合的方法進(jìn)行測(cè)試。因?yàn)閷?duì)于不同復(fù)雜度的代碼邏輯，可以衍生出許多種執(zhí)行路徑，只有適當(dāng)?shù)臏y(cè)試方法，才能幫助我們從代碼的迷霧森林中找到正確的方向。本文介紹六種白盒子測(cè)試方法：語(yǔ)句覆蓋、判定覆蓋、條件覆蓋、判定條件覆蓋、條件組合覆蓋、路徑覆蓋。
白盒測(cè)試的概述
由于邏輯錯(cuò)誤和不正確假設(shè)與一條程序路徑被運(yùn)行的可能性成反比。由于我們經(jīng)常相信某邏輯路徑不可能被執(zhí)行, 而事實(shí)上,它可能在正常的情況下被執(zhí)行。由于代碼中的筆誤是隨機(jī)且無(wú)法杜絕的，因此我們要進(jìn)行白盒測(cè)試。
白盒測(cè)試又稱結(jié)構(gòu)測(cè)試,透明盒測(cè)試、邏輯驅(qū)動(dòng)測(cè)試或基于代碼的測(cè)試。白盒測(cè)試是一種測(cè)試用例設(shè)計(jì)方法，盒子指的是被測(cè)試的軟件，白盒指的是盒子是可視的,你清楚盒子內(nèi)部的東西以及里面是如何運(yùn)作的。
白盒的測(cè)試用例需要做到：
·保證一個(gè)模塊中的所有獨(dú)立路徑至少 被使用一次
·對(duì)所有邏輯值均需測(cè)試 true 和 false
·在上下邊界及可操作范圍內(nèi)運(yùn)行所有循環(huán)
·檢查內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)以確保其有效性
白盒測(cè)試的目的：通過(guò)檢查軟件內(nèi)部的邏輯結(jié)構(gòu)，對(duì)軟件中的邏輯路徑進(jìn)行覆蓋測(cè)試；在程序不同地方設(shè)立檢查點(diǎn)，檢查程序的狀態(tài)，以確定實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)與預(yù)期狀態(tài)是否一致。
白盒測(cè)試的特點(diǎn)：依據(jù)軟件設(shè)計(jì)說(shuō)明書進(jìn)行測(cè)試、對(duì)程序內(nèi)部細(xì)節(jié)的嚴(yán)密檢驗(yàn)、針對(duì)特定條件設(shè)計(jì)測(cè)試用例、對(duì)軟件的邏輯路徑進(jìn)行覆蓋測(cè)試。
白盒測(cè)試的實(shí)施步驟：
1.測(cè)試計(jì)劃階段：根據(jù)需求說(shuō)明書，制定測(cè)試進(jìn)度。
2.測(cè)試設(shè)計(jì)階段：依據(jù)程序設(shè)計(jì)說(shuō)明書，按照一定規(guī)范化的方法進(jìn)行軟件結(jié)構(gòu)劃分和設(shè)計(jì)測(cè)試用例。
3.測(cè)試執(zhí)行階段：輸入測(cè)試用例，得到測(cè)試結(jié)果。
4.測(cè)試總結(jié)階段：對(duì)比測(cè)試的結(jié)果和代碼的預(yù)期結(jié)果，分析錯(cuò)誤原因，找到并解決錯(cuò)誤。
白盒測(cè)試的方法：總體上分為靜態(tài)方法和動(dòng)態(tài)方法兩大類。
靜態(tài)分析是一種不通過(guò)執(zhí)行程序而進(jìn)行測(cè)試的技術(shù)。靜態(tài)分析的關(guān)鍵功能是檢查軟件的表示和描述是否一致,沒(méi)有沖突或者沒(méi)有歧義。
動(dòng)態(tài)分析的主要特點(diǎn)是當(dāng)軟件系統(tǒng)在模擬的或真實(shí)的環(huán)境中執(zhí)行之前、之中和之后 , 對(duì)軟件系統(tǒng)行為的分析。動(dòng)態(tài)分析包含了程序在受控的環(huán)境下使用特定的期望結(jié)果進(jìn)行正式的運(yùn)行。它顯示了一個(gè)系統(tǒng)在檢查狀態(tài)下是正確還是不正確。在動(dòng)態(tài)分析技術(shù)中,最重要的技術(shù)是路徑和分支測(cè)試。下面要介紹的六種覆蓋測(cè)試方法屬于動(dòng)態(tài)分析方法。
白盒測(cè)試的優(yōu)缺點(diǎn)
1. 優(yōu)點(diǎn)
·迫使測(cè)試人員去仔細(xì)思考軟件的實(shí)現(xiàn)
·可以檢測(cè)代碼中的每條分支和路徑
·揭示隱藏在代碼中的錯(cuò)誤
·對(duì)代碼的測(cè)試比較徹底
·最優(yōu)化
2. 缺點(diǎn)
·昂貴
·無(wú)法檢測(cè)代碼中遺漏的路徑和數(shù)據(jù)敏感性錯(cuò)誤
·不驗(yàn)證規(guī)格的正確性
六種覆蓋方法
首先為了下文的舉例描述方便，這里先給出一張程序流程圖。（本文以1995年軟件設(shè)計(jì)師考試的一道考試題目為例，圖中紅色字母代表程序執(zhí)行路徑）。
1、語(yǔ)句覆蓋
1）主要特點(diǎn)：語(yǔ)句覆蓋是最起碼的結(jié)構(gòu)覆蓋要求，語(yǔ)句覆蓋要求設(shè)計(jì)足夠多的測(cè)試用例，使得程序中每條語(yǔ)句至少被執(zhí)行一次。
2）用例設(shè)計(jì)：（如果此時(shí)將A路徑上的語(yǔ)句1—〉T去掉，那么用例如下）
|
|
X
|
Y
|
路徑
|
|
1
|
50
|
50
|
OBDE
|
|
2
|
90
|
70
|
OBCE
|
3）優(yōu)點(diǎn)：可以很直觀地從源代碼得到測(cè)試用例，無(wú)須細(xì)分每條判定表達(dá)式。
4）缺點(diǎn)：由于這種測(cè)試方法僅僅針對(duì)程序邏輯中顯式存在的語(yǔ)句，但對(duì)于隱藏的條件和可能到達(dá)的隱式邏輯分支，是無(wú)法測(cè)試的。在本例中去掉了語(yǔ)句1—〉T去掉，那么就少了一條測(cè)試路徑。在if結(jié)構(gòu)中若源代碼沒(méi)有給出else后面的執(zhí)行分支，那么語(yǔ)句覆蓋測(cè)試就不會(huì)考慮這種情況。但是我們不能排除這種以外的分支不會(huì)被執(zhí)行，而往往這種錯(cuò)誤會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)。再如，在Do-While結(jié)構(gòu)中，語(yǔ)句覆蓋執(zhí)行其中某一個(gè)條件分支。那么顯然，語(yǔ)句覆蓋對(duì)于多分支的邏輯運(yùn)算是無(wú)法全面反映的，它只在乎運(yùn)行一次，而不考慮其他情況。
2、判定覆蓋
1）主要特點(diǎn)：判定覆蓋又稱為分支覆蓋，它要求設(shè)計(jì)足夠多的測(cè)試用例，使得程序中每個(gè)判定至少有一次為真值，有一次為假值，即：程序中的每個(gè)分支至少執(zhí)行一次。每個(gè)判斷的取真、取假至少執(zhí)行一次。
2）用例設(shè)計(jì)：
|
|
X
|
Y
|
路徑
|
|
1
|
90
|
90
|
OAE
|
|
2
|
50
|
50
|
OBDE
|
|
3
|
90
|
70
|
OBCE
|
3）優(yōu)點(diǎn)：判定覆蓋比語(yǔ)句覆蓋要多幾乎一倍的測(cè)試路徑，當(dāng)然也就具有比語(yǔ)句覆蓋更強(qiáng)的測(cè)試能力。同樣判定覆蓋也具有和語(yǔ)句覆蓋一樣的簡(jiǎn)單性，無(wú)須細(xì)分每個(gè)判定就可以得到測(cè)試用例。
4）缺點(diǎn)：往往大部分的判定語(yǔ)句是由多個(gè)邏輯條件組合而成（如，判定語(yǔ)句中包含AND、OR、CASE），若僅僅判斷其整個(gè)最終結(jié)果，而忽略每個(gè)條件的取值情況，必然會(huì)遺漏部分測(cè)試路徑。
3、條件覆蓋
1）主要特點(diǎn)：條件覆蓋要求設(shè)計(jì)足夠多的測(cè)試用例，使得判定中的每個(gè)條件獲得各種可能的結(jié)果，即每個(gè)條件至少有一次為真值，有一次為假值。
2）用例設(shè)計(jì)：
|
|
X
|
Y
|
路徑
|
|
1
|
90
|
70
|
OBC
|
|
2
|
40
|
|
OBD
|
3）優(yōu)點(diǎn)：顯然條件覆蓋比判定覆蓋，增加了對(duì)符合判定情況的測(cè)試，增加了測(cè)試路徑。
4）缺點(diǎn)：要達(dá)到條件覆蓋，需要足夠多的測(cè)試用例，但條件覆蓋并不能保證判定覆蓋。條件覆蓋只能保證每個(gè)條件至少有一次為真，而不考慮所有的判定結(jié)果。
4、判定/條件覆蓋
1）主要特點(diǎn)：設(shè)計(jì)足夠多的測(cè)試用例，使得判定中每個(gè)條件的所有可能結(jié)果至少出現(xiàn)一次，每個(gè)判定本身所有可能結(jié)果也至少出現(xiàn)一次。
2）用例設(shè)計(jì)：
|
|
X
|
Y
|
路徑
|
|
1
|
90
|
90
|
OAE
|
|
2
|
50
|
50
|
OBDE
|
|
3
|
90
|
70
|
OBCE
|
|
4
|
70
|
90
|
OBCE
|
3）優(yōu)點(diǎn)：判定/條件覆蓋滿足判定覆蓋準(zhǔn)則和條件覆蓋準(zhǔn)則，彌補(bǔ)了二者的不足。
4）缺點(diǎn)：判定/條件覆蓋準(zhǔn)則的缺點(diǎn)是未考慮條件的組合情況。
5、組合覆蓋
1）主要特點(diǎn)：要求設(shè)計(jì)足夠多的測(cè)試用例，使得每個(gè)判定中條件結(jié)果的所有可能組合至少出現(xiàn)一次。
2）用例設(shè)計(jì)：
|
|
X
|
Y
|
路徑
|
|
1
|
90
|
90
|
OAE
|
|
2
|
90
|
70
|
OBCE
|
|
3
|
90
|
30
|
OBDE
|
|
4
|
70
|
90
|
OBCE
|
|
5
|
30
|
90
|
OBDE
|
|
6
|
70
|
70
|
OBDE
|
|
7
|
50
|
50
|
OBDE
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3）優(yōu)點(diǎn)：多重條件覆蓋準(zhǔn)則滿足判定覆蓋、條件覆蓋和判定/條件覆蓋準(zhǔn)則。更改的判定/條件覆蓋要求設(shè)計(jì)足夠多的測(cè)試用例，使得判定中每個(gè)條件的所有可能結(jié)果至少出現(xiàn)一次，每個(gè)判定本身的所有可能結(jié)果也至少出現(xiàn)一次。并且每個(gè)條件都顯示能單獨(dú)影響判定結(jié)果。
4）缺點(diǎn)：線性地增加了測(cè)試用例的數(shù)量。
6、路徑覆蓋
1）主要特點(diǎn)：設(shè)計(jì)足夠的測(cè)試用例，覆蓋程序中所有可能的路徑。
2）用例設(shè)計(jì)：
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X
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Y
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路徑
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1
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90
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90
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OAE
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2
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50
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50
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OBDE
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3
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90
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70
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OBCE
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4
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70
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90
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OBCE
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3）優(yōu)點(diǎn)：這種測(cè)試方法可以對(duì)程序進(jìn)行徹底的測(cè)試，比前面五種的覆蓋面都廣。
4）缺點(diǎn)：由于路徑覆蓋需要對(duì)所有可能的路徑進(jìn)行測(cè)試（包括循環(huán)、條件組合、分支選擇等），那么需要設(shè)計(jì)大量、復(fù)雜的測(cè)試用例，使得工作量呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。而在有些情況下，一些執(zhí)行路徑是不可能被執(zhí)行的，如：
If （!A）B++；
If （!A）D--；
這兩個(gè)語(yǔ)句實(shí)際只包括了2條執(zhí)行路徑，即A為真或假時(shí)候?qū)和D的處理，真或假不可能都存在，而路徑覆蓋測(cè)試則認(rèn)為是包含了真與假的4條執(zhí)行路徑。這樣不僅降低了測(cè)試效率，而且大量的測(cè)試結(jié)果的累積，也為排錯(cuò)帶來(lái)麻煩。
總結(jié)
白盒測(cè)試是一種被廣泛使用的邏輯測(cè)試方法，是由程序內(nèi)部邏輯驅(qū)動(dòng)的一種單元測(cè)試方法。只有對(duì)程序內(nèi)部十分了解才能進(jìn)行適度有效的白盒測(cè)試。但是貫穿在程序內(nèi)部的邏輯存在著不確定性和無(wú)窮性，尤其對(duì)于大規(guī)模復(fù)雜軟件。因此我們不能窮舉所有的邏輯路徑，即使窮舉也未必會(huì)帶來(lái)好運(yùn)（窮舉不能查出程序邏輯規(guī)則錯(cuò)誤，不能查出數(shù)據(jù)相關(guān)錯(cuò)誤，不能查出程序遺漏的路徑）。
那么正確使用白盒測(cè)試，就要先從代碼分析入手，根據(jù)不同的代碼邏輯規(guī)則、語(yǔ)句執(zhí)行情況，選用適合的覆蓋方法。任何一個(gè)高效的測(cè)試用例，都是針對(duì)具體測(cè)試場(chǎng)景的。邏輯測(cè)試不是片面的測(cè)試正確的結(jié)果或是測(cè)試錯(cuò)誤的結(jié)果，而是盡可能全面地覆蓋每一個(gè)邏輯路徑。