Levenberg-Marquardt 算法快速入門教程(轉載)

什么是最優化，可分為幾大類？
答：Levenberg-Marquardt算法是最優化算法中的一種。最優化是尋找使得函數值最小的參數向量。它的應用領域非常廣泛，如：經濟學、管理優化、網絡分析、最優設計、機械或電子設計等等。
根據求導數的方法，可分為2大類。第一類，若f具有解析函數形式，知道x后求導數速度快。第二類，使用數值差分來求導數。
根據 使用模型不同，分為非約束最優化、約束最優化、最小二乘最優化。

什么是Levenberg-Marquardt算法？
它是使用最廣泛的非線性最小二乘算法，中文為列文伯格-馬夸爾特法。它是利用梯度求最大（小）值的算法，形象的說，屬于“爬山”法的一種。它同時具有梯度 法和牛頓法的優點。當λ很小時，步長等于牛頓法步長，當λ很大時，步長約等于梯度下降法的步長。在作者的科研項目中曾經使用過多次。圖1顯示了算法從起 點，根據函數梯度信息，不斷爬升直到最高點（最大值）的迭代過程。共進行了12步。（備注：圖1中綠色線條為迭代過程）。

圖1 LM算法迭代過程形象描述

圖1中，算法從山腳開始不斷迭代。可以看到，它的尋優速度是比較快的，在山腰部分直接利用梯度大幅度提升（參見后文例子程序中lamda較小時），快到山頂時經過幾次嘗試（lamda較大時），最后達到頂峰（最大值點），算法終止。

如何快速學習LM算法？

學 習該算法的主要困難是入門難。 要么國內中文教材太艱澀難懂，要么太抽象例子太少。目前，我看到的最好的英文入門教程是K. Madsen等人的《Methods for non-linear least squares problems》本來想把原文翻譯一下，貼到這里。請讓我偷個懶吧。能找到這里的讀者，應該都是E文好手，我翻譯得不清不楚，反而事倍功半了。

可在 下面的鏈接中找到
http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/public/publications.php? year=&pubtype=7&pubsubtype=&section=1&cmd=full_view&lastndays=&order=author
或者直接下載pdf原文：
http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/3215/pdf/imm3215.pdf

例子程序（MATLAB源程序）
本程序不到100行，實現了 求雅克比矩陣的解析解，Levenberg-Marquardt最優化迭代，演示了如何求解擬合問題。采用《數學試驗》（第二版）中p190例2來演示。在MATLAB中可直接運行得到最優解。

% 計算函數f的雅克比矩陣，是解析式 syms a b y x real; f=a*exp(-b*x); Jsym=jacobian(f,[a b])     % 擬合用數據。參見《數學試驗》，p190，例2 data_1=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8]; obs_1=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01];   % 2. LM算法 % 初始猜測s a0=10; b0=0.5; y_init = a0*exp(-b0*data_1); % 數據個數 Ndata=length(obs_1); % 參數維數 Nparams=2; % 迭代最大次數 n_iters=50; % LM算法的阻尼系數初值 lamda=0.01;   % step1: 變量賦值 updateJ=1; a_est=a0; b_est=b0;   % step2: 迭代 for it=1:n_iters     if updateJ==1         % 根據當前估計值，計算雅克比矩陣         J=zeros(Ndata,Nparams);         for i=1:length(data_1)             J(i,:)=[exp(-b_est*data_1(i)) -a_est*data_1(i)*exp(-b_est*data_1(i))];         end         % 根據當前參數，得到函數值         y_est = a_est*exp(-b_est*data_1);         % 計算誤差         d=obs_1-y_est;         % 計算（擬）海塞矩陣         H=J'*J;         % 若是第一次迭代，計算誤差         if it==1             e=dot(d,d);         end     end       % 根據阻尼系數lamda混合得到H矩陣     H_lm=H+(lamda*eye(Nparams,Nparams));     % 計算步長dp，并根據步長計算新的可能的\參數估計值     dp=inv(H_lm)*(J'*d(:));     g = J'*d(:);     a_lm=a_est+dp(1);     b_lm=b_est+dp(2);     % 計算新的可能估計值對應的y和計算殘差e     y_est_lm = a_lm*exp(-b_lm*data_1);     d_lm=obs_1-y_est_lm;     e_lm=dot(d_lm,d_lm);     % 根據誤差，決定如何更新參數和阻尼系數     if e_lm<e         lamda=lamda/10;         a_est=a_lm;         b_est=b_lm;         e=e_lm;         disp(e);         updateJ=1;     else         updateJ=0;         lamda=lamda*10;     end end %顯示優化的結果 a_est b_est

本程序對應的C++實現，待整理后于近期公開。

posted on 2010-12-10 14:58 abilitytao 閱讀(39302) 評論(5)  編輯 收藏 引用