假設(shè)G經(jīng)過匈牙利算法后找到一個最大匹配M，則可知G中再也找不到一條增廣路徑。
標記右邊未匹配邊的頂點，并從右邊未匹配邊的頂點出發(fā)，按照邊：未匹配->匹配->未匹配...，的原則標記途中經(jīng)過的頂點，則最后一條經(jīng)過的邊必定為匹配邊。重復上述過程，直到右邊不再含有未匹配邊的點。
記得到的左邊已標記的點和右邊未標記的點為S， 以下證明S即為所求的最小頂點集。
1。| S | == M
顯然，左邊標記的點全都為匹配邊的頂點，右邊未標記的點也為匹配邊的頂點。因此，我們得到的點與匹配邊一一對應。
2。S能覆蓋G中所有的邊。
上途S中點所得到的邊有以下幾種情況：
（1）左右均標記；
（2）左右均無標記；
（3）左邊標記，右邊未標記；
若存在一條邊e不屬于S所覆蓋的邊集，則e 左邊未標記右邊標記。
如果e不屬于匹配邊，那么左端點就可以通過這條邊到達（從而得到標記）；如果e屬于匹配邊，那么右端點不可能是一條路徑的起點，于是它的標記只能是從這條邊的左端點過來的左端點就應該有標記。
3。S是最小的覆蓋。
因為要覆蓋這M條匹配邊至少就需要M個點。
轉(zhuǎn)自:http://yejingx.ycool.com/post.2801156.html#
在一個ＰＸＰ的有向圖中，路徑覆蓋就是在圖中找一些路經(jīng)，使之覆蓋了圖中的所有頂點，且任何一個頂點有且只有一條路徑與之關(guān)聯(lián)；（如果把這些路徑中的每條路徑從它的起始點走到它的終點，那么恰好可以經(jīng)過圖中的每個頂點一次且僅一次）；如果不考慮圖中存在回路，那么每每條路徑就是一個弱連通子集．
由上面可以得出：
１.一個單獨的頂點是一條路徑；
２．如果存在一路徑p1,p2,......pk，其中p1 為起點，pk為終點，那么在覆蓋圖中，頂點p1,p2,......pk不再與其它的頂點之間存在有向邊．
最小路徑覆蓋就是找出最小的路徑條數(shù)，使之成為Ｐ的一個路徑覆蓋．
路徑覆蓋與二分圖匹配的關(guān)系：
最小路徑覆蓋＝｜Ｐ｜－最大匹配數(shù)；
其中最大匹配數(shù)的求法是把Ｐ中的每個頂點pi分成兩個頂點pi'與pi''，如果在p中存在一條pi到pj的邊，那么在二分圖Ｐ＇中就有一條連接pi'與pj''的無向邊；這里pi' 就是p中pi的出邊，pj''就是p中pj 的一條入邊；
對于公式：最小路徑覆蓋＝｜Ｐ｜－最大匹配數(shù)；可以這么來理解；
如果匹配數(shù)為零，那么Ｐ中不存在有向邊，于是顯然有：
最小路徑覆蓋＝｜Ｐ｜－最大匹配數(shù)＝｜Ｐ｜－０＝｜Ｐ｜；即Ｐ的最小路徑覆蓋數(shù)為｜Ｐ｜；
Ｐ＇中不在于匹配邊時，路徑覆蓋數(shù)為｜Ｐ｜；
如果在Ｐ＇中增加一條匹配邊pi'－－＞pj''，那么在圖P的路徑覆蓋中就存在一條由pi連接pj的邊，也就是說pi與pj 在一條路徑上，于是路徑覆蓋數(shù)就可以減少一個；
如此繼續(xù)增加匹配邊，每增加一條，路徑覆蓋數(shù)就減少一條；直到匹配邊不能繼續(xù)增加時，路徑覆蓋數(shù)也不能再減少了，此時就有了前面的公式；但是這里只 是說話了每條匹配邊對應于路徑覆蓋中的一條路徑上的一條連接兩個點之間的有向邊；下面來說明一個路徑覆蓋中的每條連接兩個頂點之間的有向邊對應于一條匹配 邊；
與前面類似，對于路徑覆蓋中的每條連接兩個頂點之間的每條有向邊pi--->pj，我們可以在匹配圖中對應做一條連接pi'與pj''的邊， 顯然這樣做出來圖的是一個匹配圖（這一點用反證法很容易證明，如果得到的圖不是一個匹配圖，那么這個圖中必定存在這樣兩條邊 pi'---pj'' 及 pi' ----pk''，（j!=k），那么在路徑覆蓋圖中就存在了兩條邊pi-->pj, pi--->pk ，那邊從pi出發(fā)的路徑就不止一條了，這與路徑覆蓋圖是矛盾的；還有另外一種情況就是存在pi'---pj'',pk'---pj''，這種情況也類似可證）；
至此，就說明了匹配邊與路徑覆蓋圖中連接兩頂點之間邊的一一對應關(guān)系，那么也就說明了前面的公式成立！
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