/* a positive integer number is beautiful if and only if it is divisible by each of its nonzero digits. 問(wèn)一個(gè)區(qū)間內(nèi)[l,r]有多少個(gè)Beautiful數(shù)字 范圍9*10^18 數(shù)位統(tǒng)計(jì)問(wèn)題,構(gòu)造狀態(tài)也挺難的,我想不出,我的思維局限在用遞推去初始化狀態(tài),而這里的狀態(tài)定義也比較難 跟pre的具體數(shù)字有關(guān)
問(wèn)了NotOnlySuccess的,豁然開(kāi)朗 Orz 一個(gè)數(shù)字要被它的所有非零位整除,即被他們的LCM整除,可以存已有數(shù)字的Mask,但更好的方法是存它們的LCM{digit[i]} int MOD = LCM{1,2, 9} = 5 * 7 * 8 * 9 = 2520 按照定義,數(shù)字x為Beautiful : x % LCM{digit[xi]} = 0 即 x % MOD % LCM{digit[xi]} = 0 所以可以只需存x % MOD,范圍縮小了 而在逐位統(tǒng)計(jì)時(shí),假設(shè)到了pre***(pre指前面的一段已知的數(shù)字,而*是任意變) ( preSum * 10^pos + next ) % MOD % LCM(preLcm , nextLcm) = ( preSum * 10 ^ pos % MOD + next % MOD ) % LCM(preLcm , nextLcm) == 0 而next,nextLcm是變量,上面的比較式的意義就是 在已知pos , preSum , preLcm情況下有多少種(next,nextLcm)滿(mǎn)足式子為0 而這個(gè)就是一個(gè)重復(fù)子問(wèn)題所在的地方了,需要記錄下來(lái),用記憶化搜索 dfs(pos , preSum , preLcm , doing) 加一個(gè)標(biāo)記為doing表示目前是在計(jì)算給定數(shù)字的上限,還是沒(méi)有上限,即***類(lèi)型的 這樣就將初始化以及逐位統(tǒng)計(jì)寫(xiě)在一個(gè)dfs了,好神奇?。。?br> 還有一點(diǎn),10以?xún)?nèi)的數(shù)字情況為2^3 , 3^2 , 5 , 7 所以最小公倍數(shù)組合的情況只有4*3*2*2 = 48 可以存起來(lái),我看NotOnlySuccess的寫(xiě)法是 for(int i = 1 ; i <= MOD ; i ++) { if(MOD % i == 0) index[i] = num++; } 很棒?。?br> 所以復(fù)雜度大概為19*2520*48*10(狀態(tài)數(shù)*決策數(shù))
我覺(jué)得這題狀態(tài)的設(shè)計(jì)不能跟具體數(shù)字分開(kāi),否則會(huì)很難設(shè)計(jì)吧 所以用記憶化搜索,存起來(lái) 用具體數(shù)字去計(jì)算,重復(fù)的子問(wèn)題跟pre關(guān)系比較密切 有一個(gè)比較重要的切入點(diǎn)就是LCM,還有%MOD縮小范圍,才能存儲(chǔ)
還有優(yōu)化到只需%252的,更快 不過(guò)我覺(jué)得%2520比較好理解 */ #include<iostream> #include<cstring> #include<map> #include<algorithm> #include<stack> #include<queue> #include<cmath> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<vector> #include<cstdio>
using namespace std;
const int MOD = 2520;
__int64 dp[19][MOD][48]; int index[MOD+10]; int digit[19];
int gcd(int a , int b) { return b == 0 ? a : gcd(b , a % b); }
int lcm(int a, int b) { return a / gcd(a,b) * b; }
void init() { //編號(hào) int num = 0; for(int i = 1 ; i <= MOD ; i ++) { if(MOD % i == 0) index[i] = num ++; } memset(dp,-1,sizeof(dp)); }
__int64 dfs(int pos , int preSum , int preLcm , bool doing) { if(pos == -1)//為一個(gè)數(shù)字時(shí) return preSum % preLcm == 0;
if(!doing && dp[pos][preSum][index[preLcm]] != -1) return dp[pos][preSum][index[preLcm]];
__int64 ans = 0; int end = doing ? digit[pos] : 9; for(int i = 0 ; i <= end ; i++)//上界 { int nowSum = (preSum * 10 + i ) % MOD; int nowLcm = preLcm; if(i) { nowLcm = lcm(nowLcm , i); } ans += dfs(pos - 1 , nowSum , nowLcm , doing && i == end);//doing && i == end }
if(!doing) { dp[pos][preSum][index[preLcm]] = ans; }
return ans; }
__int64 cal(__int64 x) { int pos = 0; while(x) { digit[pos++] = x % 10; x /= 10; } return dfs(pos - 1 , 0 , 1 , 1); }
int main() { init(); int T; for(scanf("%d",&T) ; T -- ; ) { __int64 left , right ; cin >> left >> right; cout << cal(right) - cal(left - 1) << endl; } return 0; }
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