對(duì)數(shù)學(xué)的再認(rèn)識(shí)
邱崇光
不少同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)總這有一點(diǎn)畏懼感，對(duì)數(shù)學(xué)好的人有一種敬佩感。自己對(duì)數(shù)學(xué)總有一點(diǎn)信心不足，拿到一個(gè)新課本，一
翻，十分慶幸，好在數(shù)學(xué)公式不多，如果拿到一本書，中間數(shù)學(xué)推導(dǎo)公式多，就十分沮喪，甚至想回避。
大家都不是搞數(shù)學(xué)專業(yè)的，為什么非要講一講對(duì)數(shù)學(xué)的再認(rèn)識(shí)、反復(fù)強(qiáng)調(diào)要學(xué)好數(shù)學(xué)？如何提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？我想，作為一個(gè)現(xiàn)代
大學(xué)生，數(shù)學(xué)是回避不了的。華羅庚在五十年代就說過：“宇宙之大、粒子之微、光箭之速、生物之迷、日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)”。到了今天這個(gè)信息時(shí)代，可以
說每一項(xiàng)高新技術(shù)的背后都有著極其抽象的數(shù)學(xué)，高新技術(shù)本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)技術(shù)。我們想有所作為，要想取得突出的成就，必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，較高
的數(shù)學(xué)思維是必須的，請(qǐng)注意我這里用了三個(gè)不同的定語，要求是逐步升高的。而且你們已不再是中學(xué)生，不是爸爸媽媽要送你讀書了，你們已進(jìn)入人生悟性期，自
覺的理解意識(shí)正在升起，有的同學(xué)甚至對(duì)科研、創(chuàng)造、創(chuàng)新已躍躍欲試了，這很好。從課堂和書本里學(xué)來的只能是知識(shí)，是外來信息，人們最終需要開發(fā)和建立的是
自己的意識(shí)和悟性，當(dāng)然知識(shí)也可以促進(jìn)意識(shí)和悟性的迅速提高。在這個(gè)人生的春天季節(jié)里，我來和你們一起對(duì)數(shù)學(xué)整體性地溫習(xí)一次，鳥瞰一次，相信對(duì)你們是大
有好處的。
一、 從數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的關(guān)系來看數(shù)學(xué)
就從數(shù)學(xué)的外部來論說這個(gè)問題。
1、
數(shù)學(xué)是一種語言，是一種科學(xué)的共同語言，若沒有數(shù)學(xué)語言，宇宙就是不可描述的，因而也就是永遠(yuǎn)是無法理解的。任何一門科學(xué)只有使用了數(shù)學(xué)，才成其為一門科
學(xué)，否則就是不完善與不成熟的。社會(huì)在進(jìn)步，它的數(shù)學(xué)化程度也正在不斷提高，數(shù)學(xué)語言已成為人類社會(huì)中交流和貯存信息的重要手段，宇宙和人類社會(huì)就是用數(shù)
學(xué)語言寫成的一本大書。
2、
培根（Ｂａｃｏｎ）說：“數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙”。忽視數(shù)學(xué)必將傷害所有的知識(shí)，因?yàn)楹鲆晹?shù)學(xué)的人是無法了解任何其他科學(xué)乃至世界上任何其他事物的。
幾千年來，凡是有意義的科學(xué)理論與實(shí)踐成就，無一例外地借助于數(shù)學(xué)的力量。例如，沒有微積分就談不上力學(xué)和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，沒有麥克斯威爾方程就沒有電波理
論，倫琴因發(fā)現(xiàn)X射線于1901成為諾貝爾的第一位獲獎(jiǎng)人，記者問他需要什么時(shí)，他回答：“第一是數(shù)學(xué)，第二是數(shù)學(xué)，第三還是數(shù)學(xué)。”
3、
數(shù)學(xué)是一種工具，一種思維的工具。自然哲學(xué)認(rèn)為：任何事物都是量和質(zhì)的統(tǒng)一體，數(shù)學(xué)就是研究量的科學(xué)，它不斷地發(fā)現(xiàn)、總結(jié)和積累了很多人類對(duì)量的方面的規(guī)
律，這些都是人們認(rèn)識(shí)世界的有力工具。這里舉兩個(gè)例子：一個(gè)是自然科學(xué)的，一個(gè)是社會(huì)科學(xué)的。我們企圖找到一個(gè)不經(jīng)手術(shù)就可以準(zhǔn)確確定人體內(nèi)的器官位置、
密度和三維形狀的方法，可惜借助X射線只能繪出二維信息圖。這個(gè)問題難倒了工程師很多年，后來遇到數(shù)學(xué)家的工作，即Radon變換，考爾麥克把X射線從許
多不同角度照射人體，再運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，導(dǎo)致CT數(shù)據(jù)透視儀的誕生，獲得了1979年的諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)。現(xiàn)在這一方法進(jìn)一步推廣到核磁共振領(lǐng)域，使
圖像分辨率更高。從本質(zhì)上說，這兩項(xiàng)技術(shù)只不過是，先大量測(cè)量一維的物理量，再用數(shù)學(xué)技巧來重構(gòu)三維圖像而已。
另一個(gè)例子：現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)家使
數(shù)學(xué)進(jìn)入了經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，構(gòu)建了平衡模型，可以預(yù)言自由市場(chǎng)的經(jīng)濟(jì)行為，這方面的工作使阿洛（Arrow）獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，他的哈佛大學(xué)的同事看了這
篇得獎(jiǎng)?wù)撐恼f，這些應(yīng)用在數(shù)學(xué)中是很基本的，很多哈佛大學(xué)一年級(jí)學(xué)生就可以完成。可見掌握數(shù)學(xué)工具后，在其它領(lǐng)域中進(jìn)行應(yīng)用，并不是一件困難的事，而且有
時(shí)甚至是一個(gè)很大的成就。
4、
數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，一門創(chuàng)造性藝術(shù)。美是藝術(shù)的一種追求，美也是數(shù)學(xué)中一種公認(rèn)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)的美體現(xiàn)在和諧性、對(duì)稱性、簡(jiǎn)潔性，這三性上。數(shù)學(xué)家不斷地
追求美好的新概念、新方法、新結(jié)論，因此數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性藝術(shù)。人們掌握了數(shù)學(xué)，可以陶冶人的美感，培養(yǎng)理性的審美能力，一個(gè)人數(shù)學(xué)造詣越深，越是擁有一種直
覺力，這種直覺力實(shí)際就是理性的洞察力、由美感驅(qū)動(dòng)的選擇力，最終成為創(chuàng)造美好新世界的驅(qū)動(dòng)力。
這里突出地談一談簡(jiǎn)潔性。
A、數(shù)學(xué)問題提得簡(jiǎn)潔。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)突出了本質(zhì)的因素，必然是簡(jiǎn)潔的。例如尺規(guī)作圖三分角問題。
B、數(shù)學(xué)語言是精煉的。例如歐拉公式：ｅix
=ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ．把實(shí)數(shù)域中看不出有任何聯(lián)系的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在復(fù)數(shù)域中巧妙地聯(lián)系在一起。
其特例：ｅｉπ＋１＝０把0、1、ｉ、e、π五個(gè)重要常數(shù)簡(jiǎn)單而巧妙的結(jié)合在一
起，太神奇了。
又如，愛因斯坦把茫茫宇宙中的質(zhì)能關(guān)系，用Ｅ＝ＭＣ２
簡(jiǎn)單地表達(dá)出來，簡(jiǎn)單得令人拍案叫絕。
C、數(shù)學(xué)概念是簡(jiǎn)潔的。數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵歷經(jīng)滄桑，千錘百煉，每一次變化都使概念更加清晰和更具一般性。例如函數(shù)概念：1673年，萊布尼茲定義：函數(shù)
就象曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)那樣隨點(diǎn)的變化而變動(dòng)。1821年，柯西定義：對(duì)于X的每個(gè)值，如果Y有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則Y叫做X的函數(shù)。近代定義：設(shè)有
A、B是非空的集合，Ｆ是A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，則A到B的Ｆ映射：A→B稱為A到B上的函數(shù)。一步一步更簡(jiǎn)潔、更具一般性。
D、數(shù)學(xué)證明是簡(jiǎn)潔的。數(shù)學(xué)的目的就是盡可能用簡(jiǎn)單而基本的詞匯盡可能地解釋世界。因此，如果我們積累的經(jīng)驗(yàn)要一代一代傳下去的話，就必須不斷地努力
把它們加以簡(jiǎn)化和統(tǒng)一。
二、 從數(shù)學(xué)自身的研究對(duì)象來看數(shù)學(xué)
就是從數(shù)學(xué)內(nèi)部來看數(shù)學(xué)。
恩格斯說：數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式與數(shù)量關(guān)系。數(shù)學(xué)就是研究數(shù)量、形狀和他們之間關(guān)系的科學(xué)，這是數(shù)學(xué)的三大領(lǐng)域。當(dāng)前數(shù)學(xué)還在發(fā)展，目前已經(jīng)發(fā)
展成為包括一百多個(gè)分枝的龐大系統(tǒng)。數(shù)學(xué)已經(jīng)不是原來人們頭腦中僅僅是數(shù)和形，僅僅是陳景潤(rùn)的概念了。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)明和技術(shù)迅速提高，數(shù)學(xué)學(xué)科也進(jìn)入了
新的黃金時(shí)代。數(shù)學(xué)包括三個(gè)方面，模式、結(jié)構(gòu)和模擬現(xiàn)實(shí)世界。它不光是理論，也是能力，是文化，是素質(zhì)。
１、 數(shù)學(xué)發(fā)生圖
數(shù)學(xué)可分為五大學(xué)科：純粹（基礎(chǔ)）數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、運(yùn)籌與控制、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。
應(yīng)用數(shù)學(xué)則以以上數(shù)學(xué)為綜合理論基礎(chǔ)，可分為：價(jià)值數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、決策論等。目前又發(fā)展出混沌、小波變換、分形幾何等。
２、 算術(shù)
人類逐步有了數(shù)的概念，由自然數(shù)開始。由于人有十個(gè)手指，所以多數(shù)民族建立了十進(jìn)位制的自然數(shù)表示方法。二十個(gè)一組的太多太大，不能一目了然，還要用
上腳趾，五個(gè)一組又太少，使組數(shù)太多，十個(gè)一組是比較會(huì)讓人喜愛的折衷方法。有古巴比侖記數(shù)法、希臘記數(shù)法、羅馬記數(shù)法、中國(guó)記數(shù)法，發(fā)展進(jìn)步了5000
年后，印度人第一次發(fā)明了零，零加自然數(shù)稱為為整數(shù)，傳入伊斯蘭世界形成目前通用的阿拉伯?dāng)?shù)字。計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)又需要二進(jìn)位制，就是近幾十年的事了。
算術(shù)運(yùn)算起步只需要有加法的概念，乘是多次加的簡(jiǎn)化運(yùn)算，減是加的逆運(yùn)算，除是乘的逆運(yùn)算，這就是四則運(yùn)算。除法很快導(dǎo)致了分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，以十、百等為分母
的除法，簡(jiǎn)化表達(dá)就是小數(shù)和循環(huán)小數(shù)。不是擁有錢而是欠人的錢如何表示，這就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，以上這些數(shù)放在一起，就是有理數(shù)，可以表示在一個(gè)數(shù)軸上。
人們?cè)?jīng)很長(zhǎng)時(shí)間以為數(shù)軸上的數(shù)都是有理數(shù)，后來有人發(fā)現(xiàn)，正方形的邊是1，它的對(duì)角線長(zhǎng)度就無法用有理數(shù)表示，用園規(guī)在數(shù)軸上找到那個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)就是無理數(shù)
的點(diǎn)，這是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。1761年德國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家蘭伯盧格嚴(yán)格證明了π也是一個(gè)無理數(shù)，這樣把無理數(shù)包入之后，有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，數(shù)軸
也稱之為實(shí)數(shù)軸。后來人們發(fā)現(xiàn)，如果在實(shí)數(shù)軸上隨機(jī)的抽取，得到有理數(shù)的概率幾乎是零，得到無理數(shù)的概率幾乎是１，無理數(shù)比有理數(shù)多得多。為什么會(huì)如此，
因?yàn)槲覀兩畹倪@個(gè)客觀世界，本來就是無理的多過有理的。
為了解決負(fù)數(shù)的開平方是什么，16世紀(jì)出了虛數(shù)ｉ，虛軸與實(shí)軸垂直交叉形成一個(gè)復(fù)平面，數(shù)也發(fā)展成為由虛部和實(shí)部組成的復(fù)數(shù)。數(shù)的概念會(huì)不會(huì)繼續(xù)發(fā)展，我
們?cè)嚹恳源?
3、代數(shù)
對(duì)實(shí)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)入代數(shù)學(xué)階段，有“加、減、乘、除、乘方、開方、指數(shù)、對(duì)數(shù)”八則，用符號(hào)代表數(shù)，列出方程，求解方程成了比算術(shù)更有力的武器。這個(gè)時(shí)期稱
為初等數(shù)學(xué)，從５世紀(jì)一直到17世紀(jì)，大約持續(xù)了一千多年。初等數(shù)學(xué)是常數(shù)的數(shù)學(xué)。對(duì)一組數(shù)群體性質(zhì)的研究就導(dǎo)致線性代數(shù)。
4、幾何
以上是研究數(shù)的，在研究形方面也平行的發(fā)展著，古希臘的歐幾里得用公理化的方法，構(gòu)建了幾何學(xué)是最輝煌的成就。二千多年前的平面幾何成就已經(jīng)與目前中
學(xué)幾何教科書幾乎一樣了。他們還了解了眾多曲線的性質(zhì)，在計(jì)算復(fù)雜圖形的面積時(shí)，接近了高等數(shù)學(xué)。還初步了解到三角函數(shù)的值。在幾何學(xué)方面，后來進(jìn)一步發(fā)
展出非歐幾何，包括羅巴切夫幾何、黎曼幾何、圖論和拓?fù)鋵W(xué)等分支。
直到17世紀(jì)，笛卡爾的工作終于把平行發(fā)展的代數(shù)與幾何聯(lián)系起來，除建立了平面坐標(biāo)系之外，還完善了目前通行的符號(hào)運(yùn)算系統(tǒng)。
5、變量數(shù)學(xué)
變化著的量以及它們間的依賴關(guān)系，產(chǎn)生了變量與函數(shù)的概念，研究函數(shù)的領(lǐng)域叫數(shù)學(xué)分析，其主要內(nèi)容是微積分，牛頓由物理力學(xué)推動(dòng)了微積分的產(chǎn)生，萊布尼茲
從數(shù)學(xué)中求曲線多邊形的面積出發(fā)推動(dòng)了微積分的發(fā)現(xiàn)，兩人的工作殊途同歸，目前的微積分符號(hào)的記法，都是萊布尼茲最先采用的。他們都運(yùn)用了極限的概念和無
窮小的分析方法。
有了微積分，一系列分支出現(xiàn)了，如級(jí)數(shù)理論、微分方程、偏微分方程、微分幾何等等。級(jí)數(shù)是無窮項(xiàng)數(shù)列的求和問題，微分方程是另一類方程，它們的解不是數(shù)而
是函數(shù)，多元的情況下就出現(xiàn)了偏微分概念和偏微分方程。微分幾何是關(guān)于曲線和曲面的一般理論，將實(shí)數(shù)分析的方法推廣到復(fù)數(shù)域中就產(chǎn)生了復(fù)變函數(shù)論。
6、概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)
前面涉及的數(shù)量，無論是常量還是變量都是確定的量，但自然界中存在大量的隨機(jī)現(xiàn)象，其中存在很多不確定的、不可預(yù)測(cè)
的量、是具有偶然性的量，這就由賭博中產(chǎn)生了概率論及其統(tǒng)計(jì)學(xué)等相關(guān)分枝。
７、模糊數(shù)學(xué)
前面涉及的數(shù)量，無論是常量還是變量都是“準(zhǔn)確”的量，但自然界中存在大量的不準(zhǔn)確現(xiàn)象，人為地準(zhǔn)確化只能使我們對(duì)客觀世界的描述變得不準(zhǔn)確。“乏晰
數(shù)學(xué)”Ｆｕｚｚｙ就是以這種思想觀點(diǎn)和方法研究問題的數(shù)學(xué)。
三、什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)
數(shù)學(xué)素養(yǎng)屬于認(rèn)識(shí)論和方法論的綜合性思維形式,它具有概念化、抽象化、模式化的認(rèn)識(shí)特征。具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人善于把數(shù)學(xué)中的概念結(jié)論和處理方法推廣應(yīng)用
于認(rèn)識(shí)一切客觀事物，具有這樣的哲學(xué)高度和認(rèn)識(shí)特征。具體說，一個(gè)具有“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的人在他的認(rèn)識(shí)世界和改造世界的活動(dòng)中，常常表現(xiàn)出以下特點(diǎn)：
１、 在討論問題時(shí)，習(xí)慣于強(qiáng)調(diào)定義（界定概念），強(qiáng)調(diào)問題存在的條件；
２、 在觀察問題時(shí)，習(xí)慣于抓住其中的（函數(shù)）關(guān)系，在微觀（局部）認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)一步做出多因素的全局性（全空間）考慮；
３、
在認(rèn)識(shí)問題時(shí)，習(xí)慣于將已有的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念如對(duì)偶、相關(guān)、隨機(jī)、泛涵、非線性、周期性、混沌等等概念廣義化，用于認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)中的問題。比如可以看出價(jià)格是
商品的對(duì)偶，效益是公司的泛涵等等。
更通俗地說，數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是數(shù)學(xué)家的一種職業(yè)習(xí)慣，“三句話不離本行”，我們希望把我們的專業(yè)搞得更好，更精密更嚴(yán)
格，有些這種優(yōu)秀的職業(yè)習(xí)慣當(dāng)然是好事。人的所有修養(yǎng)，有意識(shí)的修養(yǎng)比無意識(shí)地、僅憑自然增長(zhǎng)地修養(yǎng)來得快得多。只要有這樣強(qiáng)烈的要求、愿望和意識(shí)，堅(jiān)持
下去人人都可以形成較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
一位名家說：真正的數(shù)學(xué)家應(yīng)能把他的東西講給任何人聽得懂。因?yàn)槿魏螖?shù)學(xué)形式再復(fù)雜，總有它簡(jiǎn)單的思想實(shí)質(zhì)，因而
掌握這種數(shù)學(xué)思想總是容易的，這一點(diǎn)在大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)一定要明確。在現(xiàn)代科學(xué)中數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思維十分重要，這種能力不是表現(xiàn)在死記硬背，不光表現(xiàn)在計(jì)算
能力，在計(jì)算機(jī)時(shí)代特別表現(xiàn)在建模能力，建模能力的基礎(chǔ)就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)。思想比公式更重要，建模比計(jì)算更重要。學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)，對(duì)它始終有興趣，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)
素養(yǎng)的好條件、好方法、好場(chǎng)所。希望同學(xué)們消除對(duì)數(shù)學(xué)的畏懼感，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，了解更多的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的概念和思想、提高數(shù)學(xué)悟性和
數(shù)學(xué)意識(shí)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣。
請(qǐng)注意，我們往往只注意到數(shù)學(xué)的思想方法中嚴(yán)格推理的一面，它屬于“演繹”的范疇，其實(shí)，數(shù)學(xué)修養(yǎng)中也有對(duì)偶的一
面――“歸納”，稱之為“合情推理”或“常識(shí)推理”，它要求我們培養(yǎng)和運(yùn)用靈活、猜想和活躍的思維習(xí)慣。
下面舉一個(gè)例子，看看數(shù)學(xué)素養(yǎng)在其中如何發(fā)揮作用。１８世紀(jì)德國(guó)哥德堡有一條河，河中有兩個(gè)島，兩岸于兩島間架有
七座橋。問題是：一個(gè)人怎樣走才可以不重復(fù)的走遍七座橋而回到原地。這個(gè)問題好像與數(shù)學(xué)關(guān)系不大，它是幾何問題，但不是關(guān)于長(zhǎng)度、角度的歐氏幾何。很多人
都失敗了，歐拉以敏銳的數(shù)學(xué)家眼光，猜想這個(gè)問題可能無解（這是合情推理）。然后他以高度的抽象能力，把問題變成了一個(gè)“一筆畫”問題，建模如下：能否從
一個(gè)點(diǎn)出發(fā)不離開紙面地畫出所有的連線，使筆仍回到原來出發(fā)的地方。
以下開始演繹分析，一筆畫的要求使得圖形有這樣的特征：除起點(diǎn)與終點(diǎn)外，一筆畫問題中線路的交岔點(diǎn)處，有一條線進(jìn)
就一定有一條線出，故在交岔點(diǎn)處匯合的曲線必為偶數(shù)條。七橋問題中，有四個(gè)交叉點(diǎn)處都交匯了奇數(shù)條曲線，故此問題不可解。歐拉還進(jìn)一步證明了：一個(gè)連通的
無向圖，具有通過這個(gè)圖中的每一條邊一次且僅一次的路，當(dāng)且僅當(dāng)它的奇數(shù)次頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為０或?yàn)椋病＿@是他為數(shù)學(xué)的一個(gè)新分枝――圖論所作的奠基性工作，后
人稱此為歐拉定理。
這個(gè)例子是使用數(shù)學(xué)思維解決了現(xiàn)實(shí)問題，另一個(gè)例子“正電子”的發(fā)現(xiàn)正好相反，是先有數(shù)學(xué)解，預(yù)言了現(xiàn)實(shí)問題。1928年英國(guó)物理學(xué)家狄拉克在研究量
子力學(xué)時(shí)得到了一個(gè)描述電子運(yùn)動(dòng)的Dirac方程，由于開平方，得到了正負(fù)兩個(gè)完全相反的解，也就是說，這個(gè)方程除了可以描述已知的帶負(fù)電的電子的運(yùn)動(dòng)，
還描述了除了電荷是正的以外，其他結(jié)構(gòu)、性質(zhì)與電子一樣的反粒子的運(yùn)動(dòng)。1932年物理學(xué)家安德森在宇宙射線中得到了正電子，并于1936年獲得諾貝爾物
理學(xué)獎(jiǎng)。我國(guó)物理學(xué)家趙忠堯1930年正在加州理工學(xué)院讀研究生，他的試驗(yàn)結(jié)果一出來，安德森在他的辦公室隔壁辦公，他受啟發(fā)，立刻意識(shí)到試驗(yàn)結(jié)果表明：
一種尚未認(rèn)知的物質(zhì)出現(xiàn)了，進(jìn)一步做工作獲得成功，趙忠堯與諾貝爾獎(jiǎng)擦肩而過。
四、如何提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)
要講這個(gè)題目確實(shí)很困難，要提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)只有自己去探索、去總結(jié)，世界上沒有一種萬能的學(xué)習(xí)方法對(duì)所有人都適用，
可是回避這個(gè)問題，又十分遺憾。我們還是用一個(gè)折衷的辦法：介紹數(shù)學(xué)中一個(gè)人和一件事，相信青年朋友們能從其中得到許多力量和啟迪。
１、讀讀歐拉
1707年4月15日，歐拉Euler ( 1707-1783)
出生于瑞士，在大學(xué)時(shí)受到著名教授伯努利及其家族的影響，閱讀了不少數(shù)學(xué)家的原著，17歲獲得碩士學(xué)位，18歲開始發(fā)表數(shù)學(xué)論文，26歲成為數(shù)學(xué)教授、科
學(xué)院院士。
他一生論著數(shù)量巨大，涉獵面廣，開創(chuàng)性成果多，發(fā)表論文和著作500多篇（部），加上生前未及出版和發(fā)表的手稿共
886篇（部）之多。在數(shù)學(xué)的各領(lǐng)域，及物理學(xué)、天文學(xué)工程學(xué)中留下了舉不勝數(shù)的數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)定理。如歐拉常數(shù)、歐拉恒等式、歐拉級(jí)數(shù)、歐拉積分、歐拉
微分方程、歐拉準(zhǔn)則、歐拉變換、歐拉坐標(biāo)、歐拉求積公式、歐拉方程、歐拉剛體運(yùn)動(dòng)方程，歐拉流體力學(xué)方程等。
歐拉有堅(jiān)忍的毅力和勤奮刻苦的拼搏精神。他28歲時(shí)，為計(jì)算彗星的軌跡，奮戰(zhàn)三天三夜，因過度勞累，患了眼疾，使
右眼失明，又不顧眼病回到嚴(yán)冷的俄國(guó)彼得堡工作，左眼也很快視力減退，他深知自己將會(huì)完全失明，沒有消沉和倒下，他抓緊時(shí)間在黑板上疾書他發(fā)現(xiàn)的公式，或
口述其內(nèi)容，讓人筆錄。雙目失明后，他的寢室失火，燒毀了所有的專著和手搞，后來妻子又病故了，他在所有這些不幸面前不僅沒有退縮，而是以非凡的毅力繼續(xù)
拼搏，他以罕見的記憶力和心算能力，繼續(xù)研究，讓人筆錄，直到生命的最后一刻。在雙目失明的17年中，他口授論文達(dá)400篇和幾本書，包括經(jīng)典名著《積分
學(xué)原理》，《代數(shù)基礎(chǔ)》。
歐拉學(xué)識(shí)淵博品德高尚，非常注重培養(yǎng)與選拔人才，當(dāng)時(shí)19歲的拉格朗日把自己對(duì)“等周問題”的研究成果寄給他，他
發(fā)現(xiàn)其解決問題的方法解題與自己的不同，立即熱情的給予贊揚(yáng)，并決定暫不發(fā)表自己的成果，使年輕的拉格朗日先后兩次榮獲巴黎科學(xué)院的科學(xué)獎(jiǎng)，后來他又推薦
30歲的拉格朗日代替自己任科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長(zhǎng)，他的品德贏得了全世界的尊敬。他晚年的時(shí)候，全世界的大數(shù)學(xué)家都尊稱他為“我的老師”。法國(guó)著名的數(shù)學(xué)
家、天文學(xué)家拉普拉斯曾多次深情地說：“ 讀讀歐拉，他是大家的老師”，他不愧為“數(shù)學(xué)家之英雄”，他這種精神境界至今仍是年輕人學(xué)習(xí)的榜樣。
2、關(guān)于費(fèi)馬（Fermat，1601－1665）大定理的證明
法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)馬猜想：Xｎ ＋ Yｎ ＝Zｎ
，對(duì)于大于2的整數(shù)，不存在x，y，z的非零整數(shù)解。他在一本算術(shù)書的頁邊空白處寫著“我對(duì)此有一種奇妙的證明，只是此處空白太小寫不下”。后人稱此為費(fèi)
馬大定理，人們?cè)楸樗氖指搴陀眠^的書籍，始終未能得到這個(gè)證明。后來的事實(shí)證明，這是難于上青天的事。萊布尼茲、高斯、歐拉、柯西
等大數(shù)學(xué)家都失敗了，僅在1909年到1911年這三年間就有一千多篇論文，提出各種證明都因?yàn)椴粐?yán)格而否定，幾百年來有人廢寢忘食，有人神魂顛倒，甚至
于有人失敗后自殺了。
韋爾斯（
Wｉｌeｓ）1953年生于英國(guó)劍橋，1977年在劍橋大學(xué)獲博士學(xué)位，1982年成為普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)教授，他在10歲時(shí)就被費(fèi)馬大定理迷住了，立志要
證明它。1986年他開始下決心要征服這個(gè)難題。當(dāng)教授必須每年發(fā)表論文，否則影響職務(wù)和前途，這個(gè)難題不知道何時(shí)才能征服，是否能成為論文都很難說，他
想了個(gè)兩全之策，他將其它項(xiàng)目中的成果寫成幾篇論文，留著以后慢慢發(fā)表。他深知必須運(yùn)用最近的數(shù)學(xué)成果和創(chuàng)造出新的方法才能解決這個(gè)問題。為了避免干擾，
他閉門謝客，只有妻子知道此事，七年后，他完成了證明的論文。1993年6月21日他應(yīng)邀在劍橋大學(xué)的國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議上宣讀論文。當(dāng)時(shí)座無虛席，他的論文朗
讀了3天，黑板上寫了擦，擦了又寫，幾萬名聽眾急于想聽到結(jié)果。到6月23日快結(jié)束時(shí)，他最終在黑板上寫出了費(fèi)馬大定理，然后轉(zhuǎn)身過來，謙遜地說，我想就
到此為止了，大廳響起熱烈的掌聲，消息立刻傳遍了世界。韋爾斯被“人物”（people）雜志列為與克林頓、黛安娜王妃齊名的本年最有魅力人物。
可惜高興得太早，不久后他自己給數(shù)學(xué)界同行發(fā)了一個(gè)電子郵件，信中說到他發(fā)現(xiàn)證明中有漏洞，這可不是小事，如果仍
舊解決不了，一環(huán)扣一環(huán)的證明將全部瓦解，七載心血將付諸東流，將不成熟的論文公開發(fā)表也是十分難堪的事情。但是他不灰心，在最艱難的日子里，他的好友薩
爾納克（Ｓａｒｎａｋ）不僅鼓勵(lì)他，并提議他找一位值得依靠的年輕幫手，經(jīng)過考慮，他邀請(qǐng)他在英國(guó)的學(xué)生――劍橋大學(xué)講師泰勒（Ｔａｙｌｏｒ）一起工作，
又經(jīng)過一年的功夫終于把漏洞部分補(bǔ)上了。
1994年8月國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)在蘇黎世又召開大會(huì)，他做了最后的報(bào)告，人們熱烈地鼓掌，肯定了他們部分證明了預(yù)備定理的成績(jī)和數(shù)論方面的其它成果。又過了2
個(gè)月，在1994年9月19日的早晨，他與泰勒討論問題時(shí)，突然有了新的想法，又經(jīng)過一個(gè)月的努力終于取得了完全的證明。1994年10月25日，他們向
數(shù)學(xué)界的朋友發(fā)了另一個(gè)電子郵件， 由兩篇論文組成，第一篇是“模橢圓曲線與費(fèi)馬最后定理”，作者韋爾斯 ，第二篇是“某些Ｈｏｏｋｅ代數(shù)環(huán)論的性質(zhì)”
作者是泰勒和韋爾斯 。第一篇長(zhǎng)文證明了費(fèi)馬定理，其中關(guān)鍵一步依賴于第二篇短文。
這一次人們十分謹(jǐn)慎，直到1998年（四年以后）在柏林舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上，第一次向45歲上的數(shù)學(xué)家頒發(fā)了一個(gè)費(fèi)爾茲（Fields）特別獎(jiǎng)，正
式承認(rèn)他們卓越貢獻(xiàn)。證明過程中開辟了好多數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域與使用了很多新的方法，證明了很多新的猜想與得到許多新的定理，為數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是在數(shù)論的重要
分支——代數(shù)數(shù)論和環(huán)論方面做出了重要貢獻(xiàn)，上述前仆后繼、艱苦卓絕的證明的現(xiàn)實(shí)意義也在于此。
講到這里我覺得自己的任務(wù)差不多完成了，讓我們?cè)僖淮位氐竭@次講話的初衷：習(xí)慣優(yōu)秀才是真正的優(yōu)秀，數(shù)學(xué)素養(yǎng)才是高層次的素養(yǎng)。希望大家能夠在今后的
學(xué)習(xí)中，重視數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)，更要重視數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，努力提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
邱崇光先生，湖北武漢人，教授。