積木

在3D游戲開發(fā)中，該變換時常發(fā)生。下面記錄下，以備隨時查詢用。

說明：
1) 已經(jīng)向量v就不用說，可以是3維空間中的任意向量。(不論位置在哪都沒關(guān)系，因為向量是與位置無關(guān)的)
2) 繞已知向量n旋轉(zhuǎn)。此處的n向量，最好要規(guī)范化成單位向量。為什么需要此要求呢？其實很簡單，如果不規(guī)范化成單位向量，那么變換后的結(jié)果向量(假如稱為v')，其模就不會等于原向量v的模。因此就會出錯。(當(dāng)然，如果非要用非規(guī)范化的單位向量參與計算的話，我們也是可以通過將v'進行一些處理，而得到最終想要的向量。)

下面，確認一下，變換矩陣以及變化公式所需的參數(shù)信息：
v(v_{x     ，}      v_y     ，  v_z)                                : 為已經(jīng)向量
n(n_x    ，    n_y     ，  n_z)                                : 為v向量繞n旋轉(zhuǎn)的“基向量”
R(n     ，    angle)                                         : 為旋轉(zhuǎn)所需的變換矩陣。(注釋：angle就是角度，本來可以直接用那些希臘字母，結(jié)果發(fā)現(xiàn)用了，在此，我就輸入不了中文與英文字符了。蛋疼)

v'(v_x'   ，    v_y'     ， v_z')                                : 為變換后最終要得到的結(jié)果向量

根據(jù)3D變換基礎(chǔ)知識，可得如下公式：
v' = vR(n, angle)
其中，v向量已知。R(n, angle)根據(jù)推導(dǎo)，可得如下式子：
                     [ p' ]    [ n_x²(1 - cos(angle)) + cos(angle)                            n_xn_y(1 - cos(angle)) + n_zsin(angle)                       n_xn_z(1 - cos(angle)) - n_ysin(angle) ]
R(n, angle) =  | q' | = | n_xn_y(1 - cos(angle)) - n_zsin(angle)                        n_y²(1 - cos(angle)) + cos(angle)                           n_yn_z(1 - cos(angle)) + n_xsin(angle) |
                     [ r' ]     [ n_xn_z(1 - cos(angle)) + n_ysin(angle)                       n_yn_z(1 - cos(angle)) - n_xsin(angle)                        n_z²(1 - cos(angle)) + cos(angle)    ]

所以，可得最終的v'向量。具體如下：

v' = vR = (v_x, v_y, v_z)R;

v_x'   = v_x * (n_x²(1 - cos(angle)) + cos(angle));
v_x' += v_y * (n_xn_y(1 - cos(angle)) - n_zsin(angle));
v_x' += v_z * (n_xn_z(1 - cos(angle)) + n_ysin(angle));

v_y'   = v_x * (n_xn_y(1 - cos(angle)) + n_zsin(angle));
v_y' += v_y * (n_y²(1 - cos(angle)) + cos(angle));
v_y' += v_z * (n_yn_z(1 - cos(angle)) - n_xsin(angle));

v_z'   = v_x * (n_xn_z(1 - cos(angle)) - n_ysin(angle));
v_z' += v_y * (n_yn_z(1 - cos(angle)) + n_xsin(angle));
v_z' += v_z * (n_z²(1 - cos(angle)) + cos(angle));

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有了上面的知識，現(xiàn)在就可以很容易理解。如下一段旋轉(zhuǎn)攝像機方向的代碼了：（注：代碼出自徐明亮作者所著《opengl游戲編程》一書中的內(nèi)容）

/**//**  旋轉(zhuǎn)攝像機方向  */
void Camera::rotateView(float angle, float x, float y, float z)
{
    Vector3 newView;

    /**//** 計算方向向量 */
    Vector3 view = m_View - m_Position;        

    /**//** 計算 sin 和cos值 */
    float cosTheta = (float)cos(angle);
    float sinTheta = (float)sin(angle);

    /**//** 計算旋轉(zhuǎn)向量的x值 */
    newView.x  = (cosTheta + (1 - cosTheta) * x * x)        * view.x;
    newView.x += ((1 - cosTheta) * x * y - z * sinTheta)    * view.y;
    newView.x += ((1 - cosTheta) * x * z + y * sinTheta)    * view.z;

    /**//** 計算旋轉(zhuǎn)向量的y值 */
    newView.y  = ((1 - cosTheta) * x * y + z * sinTheta)    * view.x;
    newView.y += (cosTheta + (1 - cosTheta) * y * y)        * view.y;
    newView.y += ((1 - cosTheta) * y * z - x * sinTheta)    * view.z;

    /**//** 計算旋轉(zhuǎn)向量的z值 */
    newView.z  = ((1 - cosTheta) * x * z - y * sinTheta)    * view.x;
    newView.z += ((1 - cosTheta) * y * z + x * sinTheta)    * view.y;
    newView.z += (cosTheta + (1 - cosTheta) * z * z)        * view.z;

    /**//** 更新攝像機的方向 */
    m_View = m_Position + newView;
}