以下等式或者不等式均可以用數學歸納法予以證明！

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2

1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n + 1) = n*(n + 1)*(n + 2) / 3

1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n + 1)! - 1

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n*(n + 1)*(2n + 1) / 6

1^2 - 2^2 + 3^2 -... + (-1)^n * n^2 = (-1)^(n + 1) * n * (n + 1) / 2

2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 = 2n*(n+1)*(2n+1) / 3

1/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)!

2^(n + 1) < 1 + (n + 1)2^n

1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n*(n + 1) / 2)^2

1/(2*4)+1*3/(2*4*6)+1*3*5/(2*4*6*8)+...+(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...*(2n+2)) = 1/2 - (1*3*5*...*(2n+1))/

(2*4*6*...*(2n+2))

1/(2^2-1) + 1/(3^2-1) + .. + 1 / ((n+1)^2 - 1) = 3/4 - 1/(2*(n+1)) - 1/(2*(n+2))

1/2n <= 1*3*5*...*(2n-1) / (2*4*6*...*2n) <= 1 / sqrt(n+1)  n=1,2...

2^n >= n^2 , n=4, 5,...

2^n >= 2n + 1, n=3,4,...

r^0 + r^1 + ... + r^n < 1 / (1 - r), n>=0, 0<r<1

1*r^1 + 2*r^2 + ... + n*r^n < r / (1-r)^2, n>=1, 0<r<1

1/2^1 + 2/2^2 + 3/2^3 + ... + n /2^n < 2, n>=1

(a(1)*a(2)*...*a(2^n))^(1/2^n) <= (a(1) + a(2) + ... + a(2^n)) / 2^n, n = 1, 2, ... a(i)是正數 注:()用來標記下標

cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = cos((x/2)*(n+1))*sin(nx/2) / sin(x/2), 其中sin(x/2) != 0

1*sin(x) + 2*sin(2x) + ... + n*sin(nx) = sin((n+1)*x) / (4*sin(x/2)^2) - (n+1)cos((2n + 1)/2 * x) / (2 * sin(x/2))
其中sin(x/2) != 0

5^n - 1能被4整除

7^n - 1能被6整除

11^n - 6能被5整除

6*7^n - 2*3^n能被4整除

3^n + 7^n - 2能被8整除

n條直線能將平面最多劃分為(n^2 + n + 2) / 2個區域

定義H(k) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k
則
1 + n/2 <=H(2^n) <= 1 + n

H(1) + H(2) + ... + H(n) = (n + 1) * H(n) - n

1*H(1) + 2*H(2) + ... + n*H(n) = n*(n + 1) / 2 * H(n + 1) - n * (n + 1) / 4

歐拉函數的定義:E(k)=([1,n-1]中與n互質的整數個數).因為任意正整數都可以唯一表示成如下形式:
k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解質因數形式)
可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))
               =k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);
               =k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)

在程序中利用歐拉函數如下性質，可以快速求出歐拉函數的值(a為N的質因素)
若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 則有:E(N)=E(N/a)*a;
若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 則有:E(N)=E(N/a)*(a-1);

若N>2, 歐拉函數E(N)必定是偶數
若gcd(a,b) = 1,則有E(a * b) = E(a) * E(b)

若一個數N分解成p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，那么
E(N) = p1^(a1 - 1) * (p1 - 1) * ... * pn^(an - 1) * (pn - 1)

若N>1,不大于N且與N互素的所有正整數的和是1/2 * N * E(N)

因子和: 若 k=p1^a1*p2^a2...*pi^ai   F(k) = (p1^0+...+p1^a1)*(p2^0+...+p2^a2)*...*(pi^0 + ... + pi^ai)
 

 沒有一個平方數是以2,3,7,8結尾的

max{a, b, c} - min{a, b, c} = (|a - b| + |b - c| + |a - c|) / 2

ac % m = bc % m 可以得到 a % m' = b % m'  m' = m / gcd(m, c)

如果a % mi = b % mi (i=1,2,...,n) 并且 l = lcm(m1, m2, ..., mn)  則可以得到 a % l = b % l

Euler 定理
若gcd(a,m)==1, 則a^(phi(m)) % m = 1 % m
Fermat小定理
p為素數，對任意的a有 a^p % p = a % p
p為素數 ，對任意的a(a<p), a^(p-1) % p = 1 % p
p為素數 ， 對任意的a，若gcd(p,a)==1, a^(p-1) % p = 1 % p

一個奇數a的平方減1都是8的倍數

任意4個連續整數的乘積再加上1 一定是完全平方數

當a是整數時，a(a-1)(2a-1)是6的倍數

當a是奇數時,   a(a^2 - 1)是24的倍數

n次代數方程 x^n + a1 * x^(n-1) + ... + an-1*x + an = 0 的系數都是a1, a2, ... , an都是整數。
如果它有有理數的根，證明這個根一定是整數，而且這個數一定是an的因子。如果不是整數，就一定是無理數。


設a,b都是正整數，a<b而gcd(a,b) = 1 ,如果存在一個素數p，它能夠整除b，但是不能夠整除10，則a/b一定不能夠化成有限小數。如果b=2^a * 5^b，其中a,b都是非負整數，則a/b能化成有限小數。

設0<a<b, 且gcd(a,b) = 1, 如果a/b能表示成純循環小數，則我們有gcd(b, 10) = 1。

設0<a<b, 且gcd(a,b) = 1, 令h是一個最小的正整數，使得10^h 與1 關于b同余，那么a/b可以表示成純循環小數
0.d1d2d3...dh。

設b是一個正整數且gcd(10, b) = 1，令h是一個最小的正整數，能使得10^h 與1 關于b同余，則h能夠整除Euler(b)

設a, b, b1都是正整數，a < b, gcd(a, b) = 1, b1 > 1, gcd(b1, 10) = 1。b = 2^c * 5^d * b1, 其中c， d都是非負整數，且不同時為0， 令h是一個最小的正整數，使得 10^h 與1 關于b1同余, 則當c>=d時，我們有a/b = 0.a1a2...aca'(c+1)...a'(c + h)  ，而當c < d時，我們有a/b = 0.a1a2...ada'(d+1)...a'(d + h) 

設0.a1a2...an...不能換成有限小數，也不能化成循環小數，則它不能化成分數。

設p是一個素數，m是一個正整數且m=na+b其中a是一個非負整數而b是一個不大于n-1的非負整數。令
a=p^m, 當b=0的時候，a的開n次方是一個整數，當1<= b <= n - 1時，a的開n次方不能表示為分數。


設p是一個素數，m是一個正整數且m=na+b其中a是一個非負整數而b是一個不大于n-1的非負整數。令
a=p^m, 當b=0的時候，a的開n次方是一個整數，當1<= b <= n - 1時，a的開n次方=b+c, 其中b是一個正整數而c是一個無限小數但不是循環小數。

設a是一個正整數, 當a的開n次方=b+c中b是一個正整數而0<c<1時，則a的開n次方不能表示成為分數，并且這時c是一個無限小數但不是循環小數。


(4b^3 + 3b) / (4b^2 + 1) <= b + 1 / (2b + 1/2b) <=  根號b平方+1 <= b + 1 / (2b + 1/(2b + 1 / 2b)) = (8b^4 + 8b^2 + 1) / (8b^3 + 4b)

b + 1/(2b + 1/(2b + 1/(2b + 1/2b))) <= 根號b平方+1

(16b^5 + 20b^3 + 5b) / (16b^4 + 12b^2 + 1) <= 根號b平方+1 <= (8b^4 + 8b^2 + 1) / (8b^3 + 4b)

8*8棋盤2牌的完美覆蓋數目為12988816=2^4 * 901^2

一張m行n列棋盤有一個b-牌的完美覆蓋，當且僅當b是m的一個因子或者b是n的一個因子

n階幻方的幻和為 n*(n^2+1) / 2   n階幻方體的幻和為(n^4+n) / 2

鴿巢原理： 如果n+1個物體被放進n個盒子，那么至少有一個盒子包含兩個或者更多的物體

鴿巢原理加強形式： 令q1，q2，..，qn為正整數。如果將 q1+q2+...+qn-n+1 個物體放入n個盒子內，那么，至少第一個盒子至少含有q1個物體，或者第二個

盒子至少含有q2個物體，... ，或者第n個盒子至少含有qn個物體

給定m個整數a1,a2,...,am，存在整數p和q，0<=p<q<=m,使得a(p+1)+a(p+2)+...+a(m)能夠被m整除。通俗的說，就是在序列a1,a2,...,am中存在連續

個a，使得這些a的和能被m整除

由n^2+1個實數構成的序列a1，a2,...,a(n^2+1)或者含有長度為n+1的遞增子序列，或者含有長度為n+1的遞減子序列

Ramsey定理：在6個（或更多的）人中，或者有3個人，他們中的每兩個人都互相認識；或者有3個人，他們中的每兩個人都彼此不認識

n個元素的集合的循環r-排列的個數由

A(n,r)/r=n!/(r * (n-r)!)給出。特別地，n個元素的循環排列的個數是(n-1)!

多重集排列：

令S是一個多重集，有k個不同類型的元素，各元素的重數分別為n1,n2,...,nk。設S的大小為n=n1+n2+...+nk。則S的排列數等于n!/(n1!*n2!*...*nk!)

多重集的組合：

令S為具有k中類型元素的一個多重集，每種元素均具有無限的重復數。則S的r-組合的個數等于 C(r+k-1,r)

如果排列P1P2...Pn有 逆序列b1,b2,...,bn，且k=b1+b2+...+bn為逆序數，那么P1P2...Pn可以通過k次連續交換得到12...n

利用反射Gray碼生成相鄰元組1的個數相差1的所有組合

生成{1,2,...,n}的字典序r-組合的算法：

從r-組合a1a2...ar=12..r開始

當a1a2...ar不等于（n-r+1)(n-r+2)...n時,做：

i)確定最大的整數k，是的ak + 1<=n且ak + 1不等于a1,a2,...ar

ii)用r-組合   a1...a(k-1)(ak + 1)(ak+2)...(ak + r - k + 1)替換 a1a2...ar

C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)  1<=k<=n-1

k * C(n,k) = n * C(n-1, k-1)

C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n) = 2^n    C(n,0)+C(n,2)+... = 2^(n-1)  C(n,1)+C(n,3)+...=2^(n-1)

1*C(n,1)+2*C(n,2)+...+n*C(n,n)=n*2^(n-1) (n>=1)

通過對等式 (1+x)^n=sigma(C(n,k)*x^k)  k: 0->n 兩邊就微分，可以得到 sigma(k^p * C(n,k)) k: 1->n的和

sigma(C(n,k)^2) = C(2n,n)  k:  1->n

C(r,0)+C(r+1,1)+...+C(r+k,k) = C(r+k+1,k)

C(0,k)+C(1,k)+...+C(n-1,k)+C(n,k)=C(n+1,k+1)

Dilworth定理：  令(X,<=)是一個有限偏序集，并令m是反鏈的最大大小。則X可以被劃分成m個但不能再少的鏈

同理， 若r是鏈的最大大小，那么X可以被劃分成r個但不能再少的反鏈。

卷積定理： 對任意兩個長度為n的向量a和b，其中n是2的冪，

a,b的卷積等于 (DFT_2n)^-1(DFT_2n(a) . DFT_2n(b))

其中向量a和b是用0擴充使其長度達到2n，"."表示2個2n個元素組成的向量的點乘

18014398509481931 素數
18014398509482111 最小質因子為11
1637672591771101 最小質因子為6780253

中線定理（pappus定理）是指三角形ABC內BM=MC,則AB^2+AC^2=2*(AM^2+BM^2)

證明：
AC^2=AH^2+HC^2?
AB^2=AH^2+BH^2=AH^2+(HC+2MH)^2=AH^2+HC^2+4MH*HC+4MH^2
左邊=AB^2+AC^2=2*AH^2+2CH^2+4MH*CH+4MH^2
右邊=2*(AM^2+BM^2)=2*(AH^2+MH^2+(CH+MH)^2)=2*(AH^2+MH^2+CH^2+2CH*MH+MH^2)
得證

[modified from &豪's blog]
(1)定理:設x0,x1,x2,...是無窮實數列,xj>0,j>=1,那么,
      (i)對任意的整數 n>= 1, r>=1有
            <X0,...,Xn-1,Xn,...,Xn+r> = <X0,...,Xn-1,<Xn,...,Xn+r>> 
            =   <X0,...,Xn-1,Xn+1/<Xn+1,...,Xn+r>>.
      特別地有
            <X0,...,Xn-1,Xn,Xn+1> = <X0,...,Xn-1,Xn+1/Xn+1>
      注:用該定理可以求連分數的值

(2)對于連分數數數列 <X0,...Xn> 有遞推關系:
      Pn = XnPn-1+Pn-2;
      Qn = XnQn-1+Qn-2;
      定義:  P-2 = 0; P-1 = 1; Q-2 = 1; Q-1 = 0;
      所以:  P0 = X0; Q0 = 1; P1 = X1X0+1; Q1 = X1;
      特別地:當 Xi=1 時, {Pn}, {Qn}為Fbi數列