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POJ 1113 凸包

Headacher — Sat, 30 Jan 2010 08:32:00 GMT

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Headacher 2010-01-30 16:32 发表评论

POJ 3164 最��树形图朱刘��法

Headacher — Mon, 25 Jan 2010 15:50:00 GMT

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Headacher 2010-01-25 23:50 发表评论

Headacher — Wed, 20 Jan 2010 02:18:00 GMT

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Headacher 2010-01-20 10:18 发表评论

POJ 2778 自动机_矩阵乘法

Headacher — Wed, 13 Jan 2010 04:47:00 GMT

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Headacher 2010-01-13 12:47 发表评论

Headacher — Tue, 12 Jan 2010 05:34:00 GMT

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Headacher 2010-01-12 13:34 发表评论

��C��l�计

Headacher — Mon, 21 Sep 2009 13:41:00 GMT

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Headacher 2009-09-21 21:41 发表评论

无耻IO优化

Headacher — Thu, 03 Sep 2009 11:27:00 GMT

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Headacher 2009-09-03 19:27 发表评论

哦哦

Headacher — Thu, 03 Sep 2009 09:15:00 GMT

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Headacher 2009-09-03 17:15 发表评论

有上下界的可行流

Headacher — Tue, 18 Aug 2009 01:10:00 GMT

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Headacher 2009-08-18 09:10 发表评论

Headacher — Sat, 15 Aug 2009 16:50:00 GMT

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Headacher 2009-08-16 00:50 发表评论

Headacher — Thu, 13 Aug 2009 01:47:00 GMT

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Headacher 2009-08-13 09:47 发表评论

URAL 1204 Idempotents

Headacher — Wed, 22 Jul 2009 15:27:00 GMT

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Headacher 2009-07-22 23:27 发表评论

Headacher — Sun, 19 Jul 2009 08:18:00 GMT

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Headacher 2009-07-19 16:18 发表评论

�Ƨ拉函数

Headacher — Sun, 19 Jul 2009 04:39:00 GMT

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Headacher 2009-07-19 12:39 发表评论

Headacher — Sun, 10 May 2009 01:19:00 GMT

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Headacher 2009-05-10 09:19 发表评论

RMQ

Headacher — Thu, 07 May 2009 08:49:00 GMT

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Headacher 2009-05-07 16:49 发表评论

割点割边

Headacher — Sat, 02 May 2009 02:55:00 GMT

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Headacher 2009-05-02 10:55 发表评论

Headacher — Fri, 01 May 2009 02:03:00 GMT

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Headacher 2009-05-01 10:03 发表评论

Something like that

Headacher — Mon, 13 Apr 2009 07:49:00 GMT

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Headacher 2009-04-13 15:49 发表评论

A*��法初涉

Headacher — Sat, 21 Mar 2009 16:47:00 GMT

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Headacher 2009-03-22 00:47 发表评论

数论中的一些公式（转）

Headacher — Sat, 14 Mar 2009 14:41:00 GMT

以下�{�式或者不�{�式均可以用数学归纳法予以证明！

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2

1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n + 1) = n*(n + 1)*(n + 2) / 3

1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n + 1)! - 1

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n*(n + 1)*(2n + 1) / 6

1^2 - 2^2 + 3^2 -... + (-1)^n * n^2 = (-1)^(n + 1) * n * (n + 1) / 2

2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 = 2n*(n+1)*(2n+1) / 3

1/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)!

2^(n + 1) < 1 + (n + 1)2^n

1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n*(n + 1) / 2)^2

1/(2*4)+1*3/(2*4*6)+1*3*5/(2*4*6*8)+...+(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...*(2n+2)) = 1/2 - (1*3*5*...*(2n+1))/

(2*4*6*...*(2n+2))

1/(2^2-1) + 1/(3^2-1) + .. + 1 / ((n+1)^2 - 1) = 3/4 - 1/(2*(n+1)) - 1/(2*(n+2))

1/2n <= 1*3*5*...*(2n-1) / (2*4*6*...*2n) <= 1 / sqrt(n+1) n=1,2...

2^n >= n^2 , n=4, 5,...

2^n >= 2n + 1, n=3,4,...

r^0 + r^1 + ... + r^n < 1 / (1 - r), n>=0, 0

1*r^1 + 2*r^2 + ... + n*r^n < r / (1-r)^2, n>=1, 0

1/2^1 + 2/2^2 + 3/2^3 + ... + n /2^n < 2, n>=1

(a(1)*a(2)*...*a(2^n))^(1/2^n) <= (a(1) + a(2) + ... + a(2^n)) / 2^n, n = 1, 2, ... a(i)是正�?�?()用来标记下标

cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = cos((x/2)*(n+1))*sin(nx/2) / sin(x/2), 其中sin(x/2) != 0

1*sin(x) + 2*sin(2x) + ... + n*sin(nx) = sin((n+1)*x) / (4*sin(x/2)^2) - (n+1)cos((2n + 1)/2 * x) / (2 * sin(x/2))
其中sin(x/2) != 0

5^n - 1能被4整除

7^n - 1能被6整除

11^n - 6能被5整除

6*7^n - 2*3^n能被4整除

3^n + 7^n - 2能被8整除

n条直�U�能��^面最多划分�ؓ(n^2 + n + 2) / 2个区�?/p>

定义H(k) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k
�?br>1 + n/2 <=H(2^n) <= 1 + n

H(1) + H(2) + ... + H(n) = (n + 1) * H(n) - n

1*H(1) + 2*H(2) + ... + n*H(n) = n*(n + 1) / 2 * H(n + 1) - n * (n + 1) / 4

�Ƨ拉函数的定�?E(k)=([1,n-1]中与n互质的整��C��?.因�ؓ��L��正整数都可以唯一表示成如下�Ş�?
k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(卛_��解质因数形式)
可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))
=k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);
=k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)

在程序中利用�Ƨ拉函数如下性质�Q�可以快速求出欧拉函数的�?a为N的质因素)
�?N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;
�?N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);

若N>2, �Ƨ拉函数E(N)必定是偶�?br>若gcd(a,b) = 1,则有E(a * b) = E(a) * E(b)

若一个数N分解成p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an�Q�那�?br>E(N) = p1^(a1 - 1) * (p1 - 1) * ... * pn^(an - 1) * (pn - 1)

若N>1,不大于N且与N互素的所有正整数的和�?/2 * N * E(N)

因子�? �?k=p1^a1*p2^a2...*pi^ai F(k) = (p1^0+...+p1^a1)*(p2^0+...+p2^a2)*...*(pi^0 + ... + pi^ai)

没有一个��^�Ҏ(gu��)��是以2,3,7,8�l�尾�?br>
max{a, b, c} - min{a, b, c} = (|a - b| + |b - c| + |a - c|) / 2

ac % m = bc % m 可以得到 a % m' = b % m' m' = m / gcd(m, c)

如果a % mi = b % mi (i=1,2,...,n) �q�且 l = lcm(m1, m2, ..., mn) 则可以得�?a % l = b % l

Euler 定理
若gcd(a,m)==1, 则a^(phi(m)) % m = 1 % m
Fermat��定�?br>p为素敎ͼ�对�Q意的a�?a^p % p = a % p
p为素�?nbsp;�Q�对��L��的a(ap为素�?nbsp;�Q?对�Q意的a�Q�若gcd(p,a)==1, a^(p-1) % p = 1 % p

一个奇数a的��^方减1都是8的倍数

��L��4个连�l�整数的乘积再加�? 一定是完全�q�x��?br>
当a是整数时�Q�a(a-1)(2a-1)�?的倍数

当a是奇数时, a(a^2 - 1)�?4的倍数

n�ơ代数方�E?x^n + a1 * x^(n-1) + ... + an-1*x + an = 0 的系数都是a1, a2, ... , an都是整数�?br>如果它有有理数的根，证明�q�个根一定是整数�Q�而且�q�个��C��定是an的因子。如果不是整敎ͼ��׃��定是无理数�?br>

设a,b都是正整敎ͼ�agcd(a,b) = 1 ,如果存在一个素数p�Q�它能够整除b�Q�但是不能够整除10�Q�则a/b一定不能够化成有限��数。如果b=2^a * 5^b�Q�其中a,b都是非负整数�Q�则a/b能化成有限小数�?br>
�?
�?0.d1d2d3...dh�?br>
设b是一个正整数且gcd(10, b) = 1�Q��oh是一个最��的正整敎ͼ�能��?0^h �? 关于b同余�Q�则h能够整除Euler(b)

设a, b, b1都是正整敎ͼ�a < b, gcd(a, b) = 1, b1 > 1, gcd(b1, 10) = 1。b = 2^c * 5^d * b1, 其中c�Q?d都是非负整数�Q�且不同时�ؓ0�Q?令h是一个最��的正整敎ͼ�使得 10^h �? 关于b1同余, 则当c>=d�Ӟ��我们有a/b = 0.a1a2...aca'(c+1)...a'(c + h) �Q�而当c < d�Ӟ��我们有a/b = 0.a1a2...ada'(d+1)...a'(d + h)

�?.a1a2...an...不能换成有限��数�Q�也不能化成循环��数�Q�则它不能化成分数�?br>
设p是一个素敎ͼ�m是一个正整数且m=na+b其中a是一个非负整数而b是一个不大于n-1的非负整数。��o
a=p^m, 当b=0的时候，a的开n�ơ方是一个整敎ͼ��?<= b <= n - 1�Ӟ��a的开n�ơ方不能表示为分数�?br>

设p是一个素敎ͼ�m是一个正整数且m=na+b其中a是一个非负整数而b是一个不大于n-1的非负整数。��o
a=p^m, 当b=0的时候，a的开n�ơ方是一个整敎ͼ��?<= b <= n - 1�Ӟ��a的开n�ơ方=b+c, 其中b是一个正整数而c是一个无限小��C��不是循环��数�?br>
设a是一个正整数, 当a的开n�ơ方=b+c中b是一个正整数�?

(4b^3 + 3b) / (4b^2 + 1) <= b + 1 / (2b + 1/2b) <= 根号b�q�x��+1 <= b + 1 / (2b + 1/(2b + 1 / 2b)) = (8b^4 + 8b^2 + 1) / (8b^3 + 4b)

b + 1/(2b + 1/(2b + 1/(2b + 1/2b))) <= 根号b�q�x��+1

(16b^5 + 20b^3 + 5b) / (16b^4 + 12b^2 + 1) <= 根号b�q�x��+1 <= (8b^4 + 8b^2 + 1) / (8b^3 + 4b)

8*8��盘2牌的完美覆盖数目�?2988816=2^4 * 901^2

一张m行n列棋盘有一个b-牌的完美覆盖�Q�当且仅当b是m的一个因子或者b是n的一个因�?/p>

n阶��方的�q�d��?n*(n^2+1) / 2 n阶��方体的��和�ؓ(n^4+n) / 2

鸽�l(f��)原理�Q?如果n+1个物体被放进n个盒子，那么臛_��有一个盒子包含两个或者更多的物体

鸽�l(f��)原理加强形式�Q?令q1�Q�q2�Q?.�Q�qn为正整数。如果将 q1+q2+...+qn-n+1 个物体放入n个盒子内�Q�那么，臛_��W�一个盒子至��含有q1个物体，或者第二个

盒子臛_��含有q2个物体，... �Q�或者第n个盒子至��含有qn个物�?/p>

�l�定m个整数a1,a2,...,am�Q�存在整数p和q�Q?<=p

个a�Q��得这些a的和能被m整除

由n^2+1个实数构成的序列a1�Q�a2,...,a(n^2+1)或者含有长度�ؓn+1的递增子序列，或者含有长度�ؓn+1的递减子序�?/p>

Ramsey定理�Q�在6个（或更多的�Q��h中，或者有3个�h�Q�他们中的每两个人都互相认识�Q�或者有3个�h�Q�他们中的每两个人都彼此不认�?/p>

n个元素的集合的��@环r-排列的个数由

A(n,r)/r=n!/(r * (n-r)!)�l�出。特别地�Q�n个元素的循环排列的个数是(n-1)!

多重集排列：

令S是一个多重集�Q�有k个不同类型的元素�Q�各元素的重数分别�ؓn1,n2,...,nk。设S的大��ؓn=n1+n2+...+nk。则S的排列数�{�于n!/(n1!*n2!*...*nk!)

多重集的�l�合�Q?/p>

令S为具有k中类型元素的一个多重集�Q�每�U�元素均��h��无限的重复数。则S的r-�l�合的个数等�?C(r+k-1,r)

如果排列P1P2...Pn�?逆序列b1,b2,...,bn�Q�且k=b1+b2+...+bn为逆序敎ͼ�那么P1P2...Pn可以通过k�ơ连�l�交换得�?2...n

利用反射Gray码生成相��d��l?的个数相�?的所有组�?/p>

生成{1,2,...,n}的字典序r-�l�合的算法：

从r-�l�合a1a2...ar=12..r开�?/p>

当a1a2...ar不等于（n-r+1)(n-r+2)...n�?做：

i)��定最大的整数k�Q�是的ak + 1<=n且ak + 1不等于a1,a2,...ar

ii)用r-�l�合 a1...a(k-1)(ak + 1)(ak+2)...(ak + r - k + 1)替换 a1a2...ar

C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1) 1<=k<=n-1

k * C(n,k) = n * C(n-1, k-1)

C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n) = 2^n C(n,0)+C(n,2)+... = 2^(n-1) C(n,1)+C(n,3)+...=2^(n-1)

1*C(n,1)+2*C(n,2)+...+n*C(n,n)=n*2^(n-1) (n>=1)

通过对等�?(1+x)^n=sigma(C(n,k)*x^k) k: 0->n 两边��微分，可以得到 sigma(k^p * C(n,k)) k: 1->n的和

sigma(C(n,k)^2) = C(2n,n) k: 1->n

C(r,0)+C(r+1,1)+...+C(r+k,k) = C(r+k+1,k)

C(0,k)+C(1,k)+...+C(n-1,k)+C(n,k)=C(n+1,k+1)

Dilworth定理�Q?nbsp; �?X,<=)是一个有限偏序集�Q��ƈ令m是反铄��最大大��。则X可以被划分成m个但不能再少的链

同理�Q?若r是链的最大大��，那么X可以被划分成r个但不能再少的反链�?/p>

��L��定理�Q?对�Q意两个长度�ؓn的向量a和b�Q�其中n�?的幂�Q?/p>

a,b的卷�U�等�?(DFT_2n)^-1(DFT_2n(a) . DFT_2n(b))

其中向量a和b是用0扩充使其长度辑ֈ�2n�Q?."表示2�?n个元素组成的向量的点�?/p>

18014398509481931 素数
18014398509482111 最��质因子�?1
1637672591771101 最��质因子�?780253

中线定理�Q�pappus定理�Q�是指三角�ŞABC内BM=MC,则AB^2+AC^2=2*(AM^2+BM^2)

证明�Q?br>AC^2=AH^2+HC^2?
AB^2=AH^2+BH^2=AH^2+(HC+2MH)^2=AH^2+HC^2+4MH*HC+4MH^2
左边=AB^2+AC^2=2*AH^2+2CH^2+4MH*CH+4MH^2
双��=2*(AM^2+BM^2)=2*(AH^2+MH^2+(CH+MH)^2)=2*(AH^2+MH^2+CH^2+2CH*MH+MH^2)
得证

[modified from &�?s blog]
(1)定理:设x0,x1,x2,...是无�I�实数列,xj>0,j>=1,那么,
      (i)对�Q意的整数 n>= 1, r>=1�?br>             = >
            =   >.
      特别地有
             =
      �?用该定理可以求连分数的�?br>
(2)对于�q�分数数数列有递推关系:
      Pn = XnPn-1+Pn-2;
      Qn = XnQn-1+Qn-2;
      定义: P-2 = 0; P-1 = 1; Q-2 = 1; Q-1 = 0;
      所�?  P0 = X0; Q0 = 1; P1 = X1X0+1; Q1 = X1;
      特别�?�?Xi=1 �? {Pn}, {Qn}为Fbi数列

(3)对于�q�分数数数列
     当n>= 1�Ӟ��我们有PkQk-1 = Pk-1Qk = (-1)^k
     当n>=2�Ӟ�� 我们有PkQk-2 = Pk-2Qk = (-1)^(k - 1) * xk

(4) 所有有理数都可以表�C�成有限�q�分�?br>

(5)pell方程: x^2+ny^2=+-1的解�?
      若n是��^�Ҏ(gu��)��,则无�? 否则:
      先求出sqrt(n)的连分数序列其中xn = 2*x0;
      对于 x^2+ny^2=-1
      若n为奇�?�?x=Pn-1, y=Qn-1; n为偶数时无解
      对于 x^2+ny^2=1
      若n为偶�?�?x=Pn-1, y=Qn-1; n为奇数时x=P2n-1, y=Q2n-1
      �?以上说的解均为最��正�?/span>

Headacher 2009-03-14 22:41 发表评论