最近看了《算法I－IV（C++語言描述）》中關于動態編程求解背包問題的部分，感覺書中描述的不是很詳細，在這里通過我個人的理解再加上書中的描述，再重溫下這一經典問題的動態編程求解方法。
所謂的背包問題，可以描述如下：一個小偷打劫一個保險箱，發現柜子里有N類不同大小與價值的物品，但小偷只有一個容積為M的背包來裝東西，背包問題就是要找出一個小偷選擇所偷物品的組合，以使偷走的物品總價值最大。我們可以定義以下結構：
struct Item {
int size; //保存物品大小
int val; //保存物品價值
};
例如有下表中的物品：
|
Index |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Item |
A |
B |
C |
D |
E |
|
Size |
3 |
4 |
7 |
8 |
9 |
|
Val |
4 |
5 |
10 |
11 |
13 |
上表中第一行（Index）是物品在程序中的索引號，第二行（Item）是物品的標示，第三行（Size）是物品的大小，第四行（Val）是物品的價值，而每一列又對應了一類物品。假設小偷背包的容積為17，則小偷能夠拿走5個A價值為20的物品，或者1個D和1個E，價值為24的物品，等等。
為了使小偷在背包容積為cap的情況下，能夠偷走最大價值的物品，我們可以假設小偷足夠聰明，無論背包容積cap為多少，小偷總能找到最優的組合使背包中所裝物品的價值最大。
倘若我們定義函數：
int knap( int cap );
該函數的返回值為容積為cap的背包所裝物品的最大價值。對于cap為17的背包，因為有5類物品，所以所裝物品的價值有以下組合：
1） 4 + knap( 17 - 3 )，即 item[0].val + knap(cap - item[0].size);
2) 5 + knap( 17 - 4 )，即 item[1].val + knap(cap - item[1].size);
3) 10 + knap( 17 - 7 )，即 item[2].val + knap(cap - item[2].size);
4) 11 + knap( 17 - 8 )，即 item[3].val + knap(cap - item[3].size);
5) 13 + knap( 17 - 9 )，即 item[4].val + knap(cap - item[4].size);
因為小偷已經幫助我們找到了cap = cap - item[i].size的最優組合，所以我們只需要找到item[i].val + knap(cap - item[i].size)的最大值也就完稱了我們的任務了。
下面的程序代碼是按以上的思路編寫的：
我么定義了一個類型為Item的N項數組，對于每一個可能的項，我們遞歸的計算所能得到的最大值，然后挑出那些值中的最大項返回。
需要說明的是，上面的代碼不應該成為正式的代碼，如果按上面的代碼畫出每次函數調用的二叉樹圖，就會發現有大量重復的計算來處理同一個問題，其結果就是耗費指數級的時間，因而是低效的。