上次說(shuō)到渲染管線的一般組成，接下來(lái)就要說(shuō)說(shuō)各部分的轉(zhuǎn)換怎么做了。
在這之前，本著掃盲的態(tài)度，先介紹一點(diǎn)矩陣的基礎(chǔ)知識(shí)。
大學(xué)一年級(jí)一般都會(huì)上一門(mén)叫做“線性代數(shù)”的課，這個(gè)課上就會(huì)講很多關(guān)于線性方程組（可以先不管“線性”兩個(gè)字，初等數(shù)學(xué)里的東西基本都是線性的），關(guān)于矩陣的東西。
首先，什么是線性方程組？
ax + by + c = 0 a b c
dx + ey + f = 0 這個(gè)就是一個(gè)線性方程組， d e f
gx + hy + i = 0 我們可以把它表示成矩陣 g h i
再來(lái)，什么是向量？一個(gè)1 x N 的矩陣，就是一個(gè)向量，例如
a
b 一般可以記成(a,b,c)
c
線性代數(shù)對(duì)矩陣定義了一系列的運(yùn)算方法，比如乘法，加法等。具體的定義最好找本線性代數(shù)來(lái)看看，另外推薦一個(gè)《理解矩陣》，是個(gè)短小精悍的文章，對(duì)于理解矩陣，坐標(biāo)系，向量比較有好處。
現(xiàn)在就先說(shuō)明幾個(gè)問(wèn)題。
1、一個(gè)N維向量，可以表示一個(gè)N維空間的點(diǎn)。比如說(shuō)(1,2)在平面直角坐標(biāo)系表示x=1,y=2的點(diǎn)
2、可以同時(shí)存在多個(gè)坐標(biāo)系。例如，有兩個(gè)坐標(biāo)系，重疊在一起，但是坐標(biāo)系A(chǔ)的單位長(zhǎng)度是坐標(biāo)系B單位長(zhǎng)度的2倍。那么在A坐標(biāo)系中的 (1,0)點(diǎn)，在B坐標(biāo)系中就是 (2,0)點(diǎn)
3、坐標(biāo)系原點(diǎn)位置可以不同。比如，坐標(biāo)系A(chǔ)原點(diǎn)在坐標(biāo)系B的 (1,1)處，那么坐標(biāo)系A(chǔ)的(1,0)點(diǎn)就是坐標(biāo)系B的(2,1)點(diǎn)。
4、坐標(biāo)系可以表示成矩陣。 比如 2 0 就表示一個(gè)x軸縮小一半的坐標(biāo)系。這個(gè)坐標(biāo)系實(shí)際上是由
0 1
兩個(gè)向量 2 和 0 放在一起組成的，沒(méi)錯(cuò)，也就是坐標(biāo)軸的單位向量值的倒數(shù)組成了坐標(biāo)系。所以很顯
0 1
然，1 0就是一個(gè)我們平常使用的坐標(biāo)系。至于另外那兩個(gè)數(shù)要是不為0會(huì)發(fā)生什么情況，可以自己想
0 1
想，我后面也會(huì)解釋。
5、三維空間的坐標(biāo)系可以表示成3x3矩陣。（這個(gè)不用解釋了吧）
6、坐標(biāo)系矩陣與對(duì)應(yīng)維數(shù)的向量相乘，將得到該向量在這個(gè)坐標(biāo)系下的表示。這個(gè)是最關(guān)鍵的一個(gè)點(diǎn)，能理解，后面就都好辦了。一個(gè)向量 (2,2,2) ，一個(gè)矩陣（坐標(biāo)系）2 0 0 ，用矩陣乘以這個(gè)向量，
0 2 0
0 0 2
根據(jù)矩陣乘法，我們將得到向量(4,4,4) 。關(guān)于這一點(diǎn)，大家可以看看《理解矩陣》，它的描述比我說(shuō)得更透徹，其實(shí)矩陣還表達(dá)了一種映射關(guān)系，或者表達(dá)了一種變換。
7、坐標(biāo)系矩陣還可以擴(kuò)展，用來(lái)表示坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置。這種擴(kuò)展的坐標(biāo)系矩陣看起來(lái)就像這個(gè)樣子1 0 0 1 這是就是所謂的“三維空間的齊次坐標(biāo)系”。為什么叫“齊次”，我還沒(méi)理解透，以后理解
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
了再補(bǔ)上。這個(gè)矩陣描述的坐標(biāo)系是這樣的： 坐標(biāo)系的x,y,z軸的單位向量都與我們最常見(jiàn)的那種坐標(biāo)系一樣，原點(diǎn)在(-1,-1,0)處。也就是，最右邊一列多出來(lái)的，就是表達(dá)原點(diǎn)位置的向量。那么這個(gè)矩陣怎么做乘法呢，因?yàn)楦鶕?jù)矩陣乘法，這個(gè)矩陣需要乘以一個(gè)4維向量。假設(shè)有一個(gè)點(diǎn)(1,1,1)，那么我們就在這個(gè)向量后面再增加一個(gè)數(shù)，變成 (1,1,1,1)，然后就可以去乘這個(gè)矩陣了(關(guān)于這個(gè)硬加上的數(shù)，見(jiàn)下一點(diǎn))。
8、上面說(shuō)到齊次坐標(biāo)系，還說(shuō)到了一個(gè)三維向量增加一維變成4維，那么這個(gè)第四維是什么含義呢？當(dāng)一個(gè)向量表達(dá)齊次坐標(biāo)時(shí)，它的最后一維有特殊的含義。一個(gè)4維向量V (a,b,c,h)，當(dāng)h = 0 時(shí)，V表示一個(gè)三維空間中的向量。當(dāng)h 不為 0 時(shí)，V表示一個(gè)三維空間中的點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是 (a/h,b/h,c/h)。在進(jìn)行矩陣運(yùn)算時(shí)，第四維正常的參與運(yùn)算，我們可以得到簡(jiǎn)單的推論：
向量加向量得到向量。 向量得到點(diǎn)。 點(diǎn)加點(diǎn)得到中點(diǎn)。
在此補(bǔ)充一點(diǎn)，在空間中，“點(diǎn)”和“向量”其實(shí)是不同的概念，向量有方向，但沒(méi)位置，點(diǎn)有位置但沒(méi)方向。所以在齊次坐標(biāo)系矩陣中，第四列第四行是1，因?yàn)樵c(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)，不是向量。
9、在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，一般就是用矩陣來(lái)做各種物體的坐標(biāo)變換，方法很簡(jiǎn)單，就是用一個(gè)矩陣去乘以表示坐標(biāo)的向量。
10、矩陣的表示方法還有一種，就是向量按行表示，線性方程組矩陣就是這樣。也就是一行表示一個(gè)向量。所以看其它資料的時(shí)候要注意一下。
說(shuō)了一這么些數(shù)學(xué)，估計(jì)也看煩了，那么就先講一個(gè)實(shí)例：世界坐標(biāo)變換。
世界坐標(biāo)變換是渲染管線生成世界模型時(shí)的必備操作。
比如說(shuō)，我有一個(gè)正方體，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,1),(1,1,-1),(1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(-1,-1,-1)。 然后我需要在這個(gè)世界模型中放置很多個(gè)正方體，怎么辦呢？總不能手工的去輸入那么多的坐標(biāo)吧。我只能對(duì)這個(gè)正方體作一些變換，比如：放大縮小，旋轉(zhuǎn)，移動(dòng)。通過(guò)這樣一些操作，我就可以把這個(gè)正方體放到任何地方了。那么現(xiàn)在簡(jiǎn)單說(shuō)怎么實(shí)現(xiàn)。
這個(gè)正方體，我們存儲(chǔ)的時(shí)候就存下8個(gè)點(diǎn)就夠了，這8個(gè)點(diǎn)都各自是一個(gè)4維齊次向量，可以用靜態(tài)數(shù)組來(lái)實(shí)現(xiàn)。然后構(gòu)造一個(gè)矩陣，依次乘以這8個(gè)點(diǎn)，那么一次變換就算做完了。
放大縮小，我們就構(gòu)造這樣的矩陣 2 0 0 0 ，這樣就把正方體放大一倍
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
旋轉(zhuǎn)： 這個(gè)相對(duì)比較復(fù)雜一點(diǎn)，在這里的旋轉(zhuǎn)我們會(huì)說(shuō) 繞x軸旋轉(zhuǎn) a 弧度（角度），相應(yīng)的矩陣為
1 0 0 0
0 cosa sina 0
0 -sina cosa 0
0 0 0 1
平移： 把正方體中心移動(dòng)到(1,2,3)，矩陣為 1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
0 0 0 1
一般情況下我們應(yīng)該按照這樣的順序來(lái)做這三種變換： 縮放、旋轉(zhuǎn)、平移。 如果改變順序，那么轉(zhuǎn)換出來(lái)的效果也將不一樣，有興趣的可以自己計(jì)算一下。
暫時(shí)就這么多吧，下次繼續(xù)說(shuō)~