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[zz] 位運算簡介及實用技巧（一）：基礎篇

轉載:
http://www.matrix67.com/blog/archives/263

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去年年底寫的關于位運算的日志是這個Blog里少數大受歡迎的文章之一，很多人都希望我能不斷完善那篇文章。后來我看到了不少其它的資料，學習到了更多關于位運算的知識，有了重新整理位運算技巧的想法。從今天起我就開始寫這一系列位運算講解文章，與其說是原來那篇文章的follow-up，不如說是一個remake。當然首先我還是從最基礎的東西說起。

什么是位運算？
    程序中的所有數在計算機內存中都是以二進制的形式儲存的。位運算說穿了，就是直接對整數在內存中的二進制位進行操作。比如，and運算本來是一個邏輯運算符，但整數與整數之間也可以進行and運算。舉個例子，6的二進制是110，11的二進制是1011，那么6 and 11的結果就是2，它是二進制對應位進行邏輯運算的結果（0表示False，1表示True，空位都當0處理）：
     110
AND 1011
----------
    0010  -->  2
    由于位運算直接對內存數據進行操作，不需要轉成十進制，因此處理速度非常快。當然有人會說，這個快了有什么用，計算6 and 11沒有什么實際意義啊。這一系列的文章就將告訴你，位運算到底可以干什么，有些什么經典應用，以及如何用位運算優化你的程序。

Pascal和C中的位運算符號
    下面的a和b都是整數類型，則：
C語言  |  Pascal語言
-------+-------------
a & b  |  a and b
a | b  |  a or b
a ^ b  |  a xor b
  ~a   |   not a
a << b |  a shl b
a >> b |  a shr b
    注意C中的邏輯運算和位運算符號是不同的。520|1314=1834，但520||1314=1，因為邏輯運算時520和1314都相當于True。同樣的，!a和~a也是有區別的。

各種位運算的使用
    === 1. and運算 ===
    and運算通常用于二進制取位操作，例如一個數 and 1的結果就是取二進制的最末位。這可以用來判斷一個整數的奇偶，二進制的最末位為0表示該數為偶數，最末位為1表示該數為奇數.

    === 2. or運算 ===
    or運算通常用于二進制特定位上的無條件賦值，例如一個數or 1的結果就是把二進制最末位強行變成1。如果需要把二進制最末位變成0，對這個數or 1之后再減一就可以了，其實際意義就是把這個數強行變成最接近的偶數。

    === 3. xor運算 ===
    xor運算通常用于對二進制的特定一位進行取反操作，因為異或可以這樣定義：0和1異或0都不變，異或1則取反。
    xor運算的逆運算是它本身，也就是說兩次異或同一個數最后結果不變，即(a xor b) xor b = a。xor運算可以用于簡單的加密，比如我想對我MM說1314520，但怕別人知道，于是雙方約定拿我的生日19880516作為密鑰。1314520 xor 19880516 = 20665500，我就把20665500告訴MM。MM再次計算20665500 xor 19880516的值，得到1314520，于是她就明白了我的企圖。
    下面我們看另外一個東西。定義兩個符號#和@（我怎么找不到那個圈里有個叉的字符），這兩個符號互為逆運算，也就是說(x # y) @ y = x?，F在依次執行下面三條命令，結果是什么？

x <- x # y
y <- x @ y
x <- x @ y

執行了第一句后x變成了x # y。那么第二句實質就是y <- x # y @ y，由于#和@互為逆運算，那么此時的y變成了原來的x。第三句中x實際上被賦值為(x # y) @ x，如果#運算具有交換律，那么賦值后x就變成最初的y了。這三句話的結果是，x和y的位置互換了。
加法和減法互為逆運算，并且加法滿足交換律。把#換成+，把@換成-，我們可以寫出一個不需要臨時變量的swap過程(Pascal)。

procedure swap(var a,b:longint);
begin
   a:=a + b;
   b:=a - b;
   a:=a - b;
end;

好了，剛才不是說xor的逆運算是它本身嗎？于是我們就有了一個看起來非常詭異的swap過程：

procedure swap(var a,b:longint);
begin
   a:=a xor b;
   b:=a xor b;
   a:=a xor b;
end;

=== 4. not運算 ===
not運算的定義是把內存中的0和1全部取反。使用not運算時要格外小心，你需要注意整數類型有沒有符號。如果not的對象是無符號整數（不能表示負數），那么得到的值就是它與該類型上界的差，因為無符號類型的數是用$0000到$FFFF依次表示的。下面的兩個程序（僅語言不同）均返回65435。

var
   a:word;
begin
   a:=100;
   a:=not a;
   writeln(a);
end.

#include <stdio.h>
int main()
{
    unsigned short a=100;
    a = ~a;
    printf( "%d\n", a );    
    return 0;
}

    如果not的對象是有符號的整數，情況就不一樣了，稍后我們會在“整數類型的儲存”小節中提到。

    === 5. shl運算 ===
    a shl b就表示把a轉為二進制后左移b位（在后面添b個0）。例如100的二進制為1100100，而110010000轉成十進制是400，那么100 shl 2 = 400。可以看出，a shl b的值實際上就是a乘以2的b次方，因為在二進制數后添一個0就相當于該數乘以2。
    通常認為a shl 1比a * 2更快，因為前者是更底層一些的操作。因此程序中乘以2的操作請盡量用左移一位來代替。
    定義一些常量可能會用到shl運算。你可以方便地用1 shl 16 - 1來表示65535。很多算法和數據結構要求數據規模必須是2的冪，此時可以用shl來定義Max_N等常量。

    === 6. shr運算 ===
    和shl相似，a shr b表示二進制右移b位（去掉末b位），相當于a除以2的b次方（取整）。我們也經常用shr 1來代替div 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想辦法用shr代替除法運算可以使程序效率大大提高。最大公約數的二進制算法用除以2操作來代替慢得出奇的mod運算，效率可以提高60%。

位運算的簡單應用
    有時我們的程序需要一個規模不大的Hash表來記錄狀態。比如，做數獨時我們需要27個Hash表來統計每一行、每一列和每一個小九宮格里已經有哪些數了。此時，我們可以用27個小于2^9的整數進行記錄。例如，一個只填了2和5的小九宮格就用數字18表示（二進制為000010010），而某一行的狀態為511則表示這一行已經填滿。需要改變狀態時我們不需要把這個數轉成二進制修改后再轉回去，而是直接進行位操作。在搜索時，把狀態表示成整數可以更好地進行判重等操作。這道題是在搜索中使用位運算加速的經典例子。以后我們會看到更多的例子。
    下面列舉了一些常見的二進制位的變換操作。

    功能              |           示例            |    位運算
----------------------+---------------------------+--------------------
去掉最后一位          | (101101->10110)           | x shr 1
在最后加一個0         | (101101->1011010)         | x shl 1
在最后加一個1         | (101101->1011011)         | x shl 1+1
把最后一位變成1       | (101100->101101)          | x or 1
把最后一位變成0       | (101101->101100)          | x or 1-1
最后一位取反          | (101101->101100)          | x xor 1
把右數第k位變成1      | (101001->101101,k=3)      | x or (1 shl (k-1))
把右數第k位變成0      | (101101->101001,k=3)      | x and not (1 shl (k-1))
右數第k位取反         | (101001->101101,k=3)      | x xor (1 shl (k-1))
取末三位              | (1101101->101)            | x and 7
取末k位               | (1101101->1101,k=5)       | x and (1 shl k-1)
取右數第k位           | (1101101->1,k=4)          | x shr (k-1) and 1
把末k位變成1          | (101001->101111,k=4)      | x or (1 shl k-1)
末k位取反             | (101001->100110,k=4)      | x xor (1 shl k-1)
把右邊連續的1變成0    | (100101111->100100000)    | x and (x+1)
把右起第一個0變成1    | (100101111->100111111)    | x or (x+1)
把右邊連續的0變成1    | (11011000->11011111)      | x or (x-1)
取右邊連續的1         | (100101111->1111)         | (x xor (x+1)) shr 1
去掉右起第一個1的左邊 | (100101000->1000)         | x and (x xor (x-1))

    最后這一個在樹狀數組中會用到。

Pascal和C中的16進制表示
    Pascal中需要在16進制數前加$符號表示，C中需要在前面加0x來表示。這個以后我們會經常用到。

整數類型的儲存
    我們前面所說的位運算都沒有涉及負數，都假設這些運算是在unsigned/word類型（只能表示正數的整型）上進行操作。但計算機如何處理有正負符號的整數類型呢？下面兩個程序都是考察16位整數的儲存方式（只是語言不同）。

var
   a,b:integer;
begin
   a:=$0000;
   b:=$0001;
   write(a,' ',b,' ');
   a:=$FFFE;
   b:=$FFFF;
   write(a,' ',b,' ');
   a:=$7FFF;
   b:=$8000;
   writeln(a,' ',b);
end.

#include <stdio.h>
int main()
{
    short int a, b;
    a = 0x0000;
    b = 0x0001;
    printf( "%d %d ", a, b );
    a = 0xFFFE;
    b = 0xFFFF;
    printf( "%d %d ", a, b );
    a = 0x7FFF;
    b = 0x8000;
    printf( "%d %d\n", a, b );
    return 0;
}

兩個程序的輸出均為0 1 -2 -1 32767 -32768。其中前兩個數是內存值最小的時候，中間兩個數則是內存值最大的時候，最后輸出的兩個數是正數與負數的分界處。由此你可以清楚地看到計算機是如何儲存一個整數的：計算機用$0000到$7FFF依次表示0到32767的數，剩下的$8000到$FFFF依次表示-32768到-1的數。32位有符號整數的儲存方式也是類似的。稍加注意你會發現，二進制的第一位是用來表示正負號的，0表示正，1表示負。這里有一個問題：0本來既不是正數，也不是負數，但它占用了$0000的位置，因此有符號的整數類型范圍中正數個數比負數少一個。對一個有符號的數進行not運算后，最高位的變化將導致正負顛倒，并且數的絕對值會差1。也就是說，not a實際上等于-a-1。這種整數儲存方式叫做“補碼”。

posted on 2010-11-05 17:04 simplyzhao 閱讀(312) 評論(0) 編輯收藏引用所屬分類: G_其他

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