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[ZZ]利用矩陣求斐波那契數列的通項
原題是這樣的:
有一顆黑白樹(紅黑樹??),根節點為白色,規定,凡是白色的節點都有一個黑色兒子節點,凡是黑色節點都有黑白各一個兒子節點,求第n層黑色節點的個數(跟節點為第0層)
設第n層黑色節點個數為 ,白色節點個數為 ,可得:
整理得到
即為斐波那契數列。
同時觀察
這不像一個矩陣變換么:
矩陣為:
從而得到:
于是讓我想到了矩陣的特征向量。特征向量,我理解為是平面上對應矩陣變化的“不動線”,當矩陣變換時,“不動線”上的點方向不變,只是伸縮一下。而且,矩陣一般有2條“不動線”(部分沒有),當一個任意向量表達為以兩個特征向量為基底向量的表達式時,便可以分別多次伸縮,從而得到要求向量的矩陣冪。
設:
有無窮多解。
得
有無窮多解
得到
現在求特征向量,我們只需要找到任意2個不共線的特征向量即可
兩個不共線的特征向量為:
和
設:
得:
從而得:
所以:
從而求得了斐波那契數列的通項
知識的力量是偉大的。我很無知!
更可怕的是要寫形式政策大作業!估計全體Download!體現網絡的強大!
posted on 2009-04-28 20:33
KNIGHT
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