原題叫“尋找發(fā)帖王”，其實(shí)就是在n個數(shù)里，存在一個數(shù)x，出現(xiàn)頻率超過n/2的數(shù)，要以最小的時間復(fù)雜度計(jì)算出這個x。
動機(jī)：
這個題目是昨晚無聊時，在CSDN論壇上看到的，起初我是這樣想的：既然有個數(shù)x出現(xiàn)頻率超過n/2，那如果排好序，那么第[n/2]個數(shù)一定就是x。這 樣問題就規(guī)約為這樣一個問題：“計(jì)算一組數(shù)的中位數(shù)”。《算法導(dǎo)論》有提出過解決辦法，就是類似快速排序那樣，使用分治算法，在O(n)復(fù)雜度內(nèi)解決問 題。但算法性能依賴于數(shù)據(jù)的分布，最壞情況會達(dá)到O(n2)。
后來在網(wǎng)上搜了一下，發(fā)現(xiàn)這居然是《編程之美》上的。記得當(dāng)初上大學(xué)的時候，我還看過，可怎么也想不起來了。看到書上提到的算法，不禁黯然稱奇！于是產(chǎn)生了個想法，我決定重新看一遍，并且寫一個系列的博客，寫下自己的心得。
引理：
n個數(shù)中，數(shù)x出現(xiàn)頻率超過n/2，那么從中去掉一對不相等的兩個數(shù)，x在剩下的(n-2)個數(shù)中的出現(xiàn)頻率依然超過n/2。
證明：
假設(shè)x出現(xiàn)了m次，則m > n/2，原頻率P0 = m/n > 1/2，從n個數(shù)中去掉一對不相同的兩個數(shù)<a, b>，有兩種情況：
- a != x, b != x。頻率P1 = m/(n-2) > m/n > 1/2
- a = x, b != x。 頻率P1 = (m - 1)/(n - 2)。P1 - P0 = (2m - n)/n(n - 2) > 0。則 P1 > P0 > 1/2
算法分析：
其實(shí)說到底非常簡單，就是在一堆數(shù)里隨便拿一個數(shù)，再找一個與它不相等的，然后一起扔掉，這樣問題規(guī)模不斷縮小，最終等到找不到一個不相等的數(shù)時，就成功 了。但要簡化算法，就不能每拿一個數(shù)就統(tǒng)統(tǒng)找一遍。可以考慮準(zhǔn)備一個隊(duì)列，隊(duì)列里放著暫時扔不掉的數(shù)。如從頭開始，將a[0]放入隊(duì)列，再看a[1]，如 果a[0] != a[1]，則扔掉a[1]和a[0]，a[0]從隊(duì)列取出；如果a[0] == a[1]，則a[1]入隊(duì)列，然后a[2]進(jìn)行相同的操作，以此類推。
解法依然可以優(yōu)化。顯而易見，隊(duì)列里所有的數(shù)總是全部相等的，既然相等就沒有必要存入隊(duì)列，只要知道：1.假想的隊(duì)列里的數(shù)什么 2.隊(duì)列的長度。
這樣就得到了《編程之美》中的代碼了：
2 int candidate;
3 int count = 0;
4
5 for(size_t i = 0; i < size; i++) {
6 if (count == 0) {
7 candidate = arr[i];
8 count = 1;
9 }
10 else {
11 if (candidate == arr[i]) {
12 count++;
13 }
14 else {
15 count--;
16 }
17 }
18 }
19 return candidate;
20 }
應(yīng)用：
代碼看似簡單，但我感到意猶未盡，正回味著，突然想到一個問題：如果條件（存在一個出現(xiàn)頻率超過一半的數(shù)）不滿足，那會出現(xiàn)什么情況？如何避免呢？
很顯然，我們的解法就是基于這樣一個條件的，一旦條件不滿足，得到的數(shù)就沒有任何意義。但不難發(fā)現(xiàn)，避免問題的出現(xiàn)也非常簡單：驗(yàn)證找到的數(shù)是否出現(xiàn)頻率超過一半。
這也是個常用的方法：假設(shè)檢驗(yàn)法。
對于一個數(shù)組，假設(shè)存在一個數(shù)，它出現(xiàn)頻率超過一半。然后在O(n)時間內(nèi)找到這個數(shù)，再統(tǒng)計(jì)它出現(xiàn)的頻率。這樣就完美了！
于是可以得到一個同解的跳躍式問題：檢查一個數(shù)組中，是否存在一個數(shù)，它出現(xiàn)頻率超過一半。
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真的非常想再現(xiàn)那串算法，于是自己開始推敲。我來談?wù)勎彝魄玫倪^程。
命題：給定整數(shù)x,y，計(jì)算較小值m。
兩個數(shù)的差異，在于他們的差，于是想到計(jì)算z = x - y，我想也許可以利用這個中間值，利用一些巧妙的位運(yùn)算求出，可是貌似還是比較困難。于是我打算重新理一下思路：
可能出現(xiàn)的情況：(暫時忽略特殊情況 z = 0)
1. x < y
z < 0
就是要找到一個函數(shù)f，滿足f(y , z) = x
2. x > y
z > 0
就需要這個f不僅滿足1，而且滿足此時f(y , z) = y
因?yàn)樗惴ǖ哪康氖鞘褂眉訙p法、位運(yùn)算這些基本運(yùn)算，盡可能簡單的計(jì)算。所以我選擇了加法運(yùn)算
y + g(z) = x , z = x - y < 0;
y + g(z) = y , z = x - y > 0;
最終變成尋求一元函數(shù)g
就是
g(z) = z, z < 0
g(z) = 0, z > 0
也就是要找到一個一元分段函數(shù)，而且需要運(yùn)算簡單，于是我想到了g(z) = (z >> 31) & z
如果z < 0，z>>31得到的是FFFFFFFF，再與上一個z，還是z，
如果z > 0, z>>31得到的是0000000，最終還是0
所以最終的算法是
z = x - y
m = ((z >> 31) & z) + y;
這個算法應(yīng)該跟當(dāng)初看到的比較接近了。它的優(yōu)點(diǎn)很顯然，全部是最基本的運(yùn)算，而且不包含控制指令，而且完全可以直接由寄存器計(jì)算完成，效率很高。
算法本身并非什么驚天地泣鬼神大算法，而且在編譯器里肯定會有自己做這樣的優(yōu)化，其實(shí)最讓我欣慰的是我這次的思路，思路非常清晰，很久沒有動腦子的我，居然還能這么思考，我已經(jīng)很高興了。其中主要包含兩種思想：分類討論、降低元數(shù)(降二元為一元)。這也是使用非常廣泛的方法了，前者主要幫助理清思路，后者主要降低復(fù)雜度。
Updated:
之前用的是z>>32，用gcc編譯會出現(xiàn)一個警告：
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Aho-Corasick算法實(shí)踐
摘要：Aho-Corasick算法可以在文本串中識別一組關(guān)鍵字，所需時間和文本長度以及所有關(guān)鍵字的總長度成正比。該算法使用了一種稱為“trie”的特殊形式的狀態(tài)裝換圖。Trie是一個樹形結(jié)構(gòu)的狀態(tài)裝換圖，從一個結(jié)點(diǎn)到它的各個子結(jié)點(diǎn)的邊上有不同的標(biāo)號。Trie的葉子結(jié)點(diǎn)表示識別到的關(guān)鍵字。
在這里，將著重討論算法的實(shí)現(xiàn)。算法包含兩個部分，一是經(jīng)典的KMP算法，二是KMP的擴(kuò)展算法Aho-Corasick算法。前者實(shí)現(xiàn)單關(guān)鍵字的模式匹配，后者實(shí)現(xiàn)多關(guān)鍵字的匹配。(參考龍書詞法分析部分內(nèi)容)
【源代碼：http://m.shnenglu.com/Files/yefeng/ACKMP.rar(vc9.0下測試通過) 】
一、經(jīng)典KMP算法
當(dāng)初，初學(xué)KMP算法時，總是通過反復(fù)的舉例去理解，沒有一種好的表達(dá)方式，而龍書描述這個算法使用了trie樹，也就是一個單鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖。如模式b0b1...bn-1，trie樹如下： 
對模式串定義失效函數(shù)f:x->y,x,y in S，描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移，f(s)表示在狀態(tài)s處，當(dāng)下一個字符不是bs時轉(zhuǎn)向狀態(tài)f(s)繼續(xù)匹配。因此設(shè)置f(s)成為關(guān)鍵問題。
f(s)的存在其實(shí)主要是為了消除回溯。細(xì)節(jié)就不再多說了，這里只從原理上簡單說明。
設(shè)模式串為W，用文法描述，U、V表示W(wǎng)的一部分,w表示一個字符：
W -> UwV，
當(dāng)U識別完成后，進(jìn)入狀態(tài)s，識別w時，發(fā)現(xiàn)到來的字符不等于w，則需要轉(zhuǎn)向狀態(tài)f(s)，f(s)到哪里去找呢？
那就要看U是什么樣子了。不管什么情況，只要U非空串，總可以表示成：
U -> uXu，或 U -> u，或U-> uXx，(x != u)
可以發(fā)現(xiàn)，前綴u是，如果后綴也是u，意味著主串中u已經(jīng)被識別，如果還從模式串頭匹配u無疑是多余的，所以f(s)應(yīng)該是識別前綴u后進(jìn)入的狀態(tài)。然后再匹配下一個字符。而滿足條件的u可能會有多個，所以總是選擇最長的那個。偽代碼如下：
到此為止，應(yīng)該算是可以結(jié)束KMP了，但實(shí)際情況下還可以對f函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。很多書本上描述的next數(shù)組就可以從f函數(shù)推導(dǎo)過來。
其實(shí)也顯然，設(shè)狀態(tài)s接收字符w，當(dāng)與輸入字符c不等于c時，轉(zhuǎn)向狀態(tài)t，倘若t狀態(tài)也只接收字符w，顯然再次比較w與c是多余的，之后必然再次轉(zhuǎn)向狀態(tài)f(t)。在運(yùn)行的時候，這些狀態(tài)轉(zhuǎn)換時沒有意義的，可以在構(gòu)造f之后，直接將f(s)設(shè)置為f(t)提高運(yùn)行效率(不過此時f函數(shù)的意義已經(jīng)不同了)。f優(yōu)化如下：
二、多關(guān)鍵字匹配與Aho-Corasick算法
Aho和Corasick對KMP算法進(jìn)行了推廣，使它可以在一個文本串識別一個關(guān)鍵字集合中的任何關(guān)鍵字。在這種情況下，trie是一棵真正的樹，從其根結(jié)點(diǎn)開始就會出現(xiàn)分支。如果一個字符串是某個關(guān)鍵字的前綴，那么在trie中就又一個和該字符串對應(yīng)的狀態(tài)。如關(guān)鍵字集合{he,she,his,hers}，trie樹如下：
類似的，仍然構(gòu)造類似KMP算法中那樣的實(shí)效函數(shù)。對于上面的例子，失效函數(shù)如下：
|
s |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
f(s) |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
3 |
0 |
3 |
1.構(gòu)造失效函數(shù)
類似KMP算法，同樣采用實(shí)效實(shí)效函數(shù)推進(jìn)的方法，假設(shè)當(dāng)前狀態(tài)為s，s的一個孩子結(jié)點(diǎn)的根結(jié)點(diǎn)根節(jié)點(diǎn)t狀態(tài)，如果當(dāng)前的失效函數(shù)已知為f(s)，則顯然地，f(t)必定是f(s)的孩子結(jié)點(diǎn)狀態(tài)，所要做的就是在狀態(tài)f(s)處尋找接受字符同s->t下一個狀態(tài)，如果能找到，那就是f(t)，否則說明到s處匹配串的前綴長度太長，需縮減，所以需要找到更短的后綴，于是就到f(s)處繼續(xù)，如果仍然找不到，則轉(zhuǎn)到f(f(s))處，形成狀態(tài)的遞歸轉(zhuǎn)移。構(gòu)造中需要遍歷之前結(jié)點(diǎn)的所有孩子，所以需采用廣度優(yōu)先遍歷，偽代碼如下：
具體的構(gòu)造如下：
2.構(gòu)造Trie樹
具體實(shí)現(xiàn)當(dāng)然需要用到樹形結(jié)構(gòu)了，顯然采用靜態(tài)鏈表應(yīng)該是最適合的，因?yàn)闃錁?gòu)造完就不需要改變，而且當(dāng)模式串比較多的時候可以減少內(nèi)存碎片。
每一個結(jié)點(diǎn)有5個域：接受字符，下一個兄弟結(jié)點(diǎn)，第一個孩子結(jié)點(diǎn)，失效函數(shù)值，結(jié)點(diǎn)狀態(tài)。
但是有一種特殊情況，如上面的第二個圖，在進(jìn)行匹配時，hers是永遠(yuǎn)不會被匹配，因?yàn)閔e總是先于hers被匹配。這里就不考慮在內(nèi)點(diǎn)狀態(tài)結(jié)束，這個問題暫時無法解決。于是可以做個特殊處理，只使用4個域，因?yàn)榇藭r匹配成功后狀態(tài)就到了葉子結(jié)點(diǎn)，葉子結(jié)點(diǎn)不存在孩子域，這個域被浪費(fèi)了，這里就可以借用一下，比如此域值為x，當(dāng)x<0時，使用x xor 0x80000000表示識別到的模式串編號。
另一個棘手的問題是結(jié)點(diǎn)個數(shù)問題，這個數(shù)組到底多大？如何確定？
可以使用分值算法計(jì)算，先把模式串按字典順序排好序，設(shè)想n個排好序的模式串第i位排在一起，相同字符的組成一組，如AiBi…Xi，再把每組下一個字符，也就是第i+1位排在一起，相同字符的組成一組，如A’iB’I…X’i，以此遞歸運(yùn)算。偽代碼如下：
3.缺點(diǎn)
水平有限，程序缺點(diǎn)很多，很多問題都沒有解決。
1.如果存在兩個模式串，一個是另一個的子串，那么后者將無法被匹配。
2.無法處理動態(tài)決定大小寫敏感性
3.不夠完整，只能向后匹配
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看似很簡單的工作，設(shè)計(jì)中卻遇到了很多困難。
困難一：鍵盤按鍵分類
鍵盤按鍵有很多種分類方法。
第一種：按顯示分類。按住shift鍵，字母鍵、符號鍵顯示上面的字符；按下caps lock鍵，字母鍵切換為大寫字母。
第二種：按功能分類。大體有可顯示字符類、控制類。控制類包括shift，ctrl等。
為了解決可變的顯示問題，采用了一個自我感覺非常好的解決方案：字符集、鍵集相互獨(dú)立。如此一來，只要總體按照功能分類，通過特定功能的按鍵控制有效字符集即可，也就是說，對普通按鍵來說，它只負(fù)責(zé)到指定的字符集中去取對應(yīng)序號的字符即可。
#pragma once
//字母標(biāo)簽集合
class LabelSet
{
public:
LabelSet(LPCSTR* _pTable,int _n);
LPCSTR getLabel(int _id) const;
~LabelSet();
protected:
LabelSet(){}
private:
LPCSTR* pTable;
int n;
};
//相當(dāng)于單刀雙擲開關(guān)組
class LabelSetEx
{
protected:
struct Switch
{
LabelSet* s[2];
int at;
};
public:
LabelSetEx(int _n);
bool addSets(int id,LPCSTR* s1,LPCSTR* s2,int n,int at = 0);
LPCSTR getLable(int id,int off) const;
void turn(int id);
~LabelSetEx();
private:
int n; //開關(guān)組總個數(shù)
Switch* pGroup; //開關(guān)組
};
//
//LabelSet.cpp
#include "StdAfx.h"
#include "LabelSet.h"
#include <algorithm>
#include <cassert>
using namespace std;
LabelSet::LabelSet( LPCSTR* _pTable,int _n )
{
n = _n;
pTable = new LPCSTR[n];
copy(_pTable,_pTable + _n,pTable);
}
LPCSTR LabelSet::getLabel( int _id ) const
{
return pTable[_id];
}
LabelSet::~LabelSet()
{
delete [] pTable;
}
LabelSetEx::LabelSetEx( int _n )
{
n = _n;
pGroup = new Switch[n];
memset(pGroup,0,n * sizeof(pGroup[0]));
}
LabelSetEx::~LabelSetEx()
{
while(n--)
{
if(pGroup[n].s[0] == pGroup[n].s[1])
delete pGroup[n].s[0];
else
{
delete pGroup[n].s[0];
delete pGroup[n].s[1];
}
}
delete [] pGroup;
}
bool LabelSetEx::addSets( int id,LPCSTR* s1,LPCSTR* s2,int n,int at /*= 0*/ )
{
assert((at & ~1) == 0);
if(pGroup[id].s[0] != NULL)
return false;
LabelSet* p = new LabelSet(s1,n);
pGroup[id].s[0] = p;
if(s1 == s2)
pGroup[id].s[1] = p;
else
pGroup[id].s[1] = new LabelSet(s2,n);
pGroup[id].at = at;
return true;
}
LPCSTR LabelSetEx::getLable( int id,int off ) const
{
Switch* p = pGroup + id;
return p->s[p->at]->getLabel(off);
}
void LabelSetEx::turn( int id )
{
assert((pGroup->at & ~1) == 0);
pGroup[id].at ^= 1;
}
//分類id的定義
#define LABEL_SET_ALPHA 0
#define LABEL_SET_SYMBOL 1
#define LABEL_SET_NUMPAD 2
#define LABEL_SET_MAIN 3
#define LABEL_SET_HELP 4
//字母串表
extern LPCSTR AlphaTable1[]; //小寫
extern LPCSTR AlphaTable2[]; //大寫
extern const int AlphaTableSize;
//符號串表
extern LPCSTR SymbolTable1[]; //下
extern LPCSTR SymbolTable2[]; //上
extern const int SymbolTableSize;
//小鍵盤數(shù)字表
extern LPCSTR NumPadTable1[]; //數(shù)字
extern LPCSTR NumPadTable2[]; //光標(biāo)控制
extern const int NumPadTableSize;
//主鍵盤單顯
extern LPCSTR MainTable[];
extern const int MainTableSize;
//輔助鍵盤單顯
extern LPCSTR HelpTable[];
extern const int HelpTableSize;
struct KeyConfig
{
short id; //分類id
short offset; //類內(nèi)偏移
RECT rt; //位置
BYTE vk; //虛擬碼
};
extern KeyConfig kcs[];
extern const int kcSize;
extern const SIZE kbSize;
言歸正傳，這樣的設(shè)計(jì)分離了按鍵與顯示，可配置能力大大加強(qiáng)。但仍然存在第二個大問題。
問題二：輸入焦點(diǎn)的確定
方案一：現(xiàn)在只要在網(wǎng)上搜索“虛擬鍵盤”，能夠搜到一大溜的源代碼，但只可惜全是同一份拷貝，而且存在一點(diǎn)小錯誤。他的解決方案是：利用 PreTranslateMessage，在底層調(diào)用它之前，前臺窗口仍然沒有改變，此時是獲得前一個前臺窗口的好時機(jī)，獲得后保存，并將使用 AttachThreadInput將當(dāng)前線程綁定活動窗口的消息隊(duì)列，然后在單擊虛擬鍵盤時使用SetFocus將保存的窗口設(shè)為焦點(diǎn)（源代碼中同時使用了SetForgroundWindow和SetFocus，這是失效的原因），然后發(fā)送虛擬按鍵。
方案二：其實(shí)有更簡便的方法。設(shè)置主窗口屬性為WM_ES_NOACTIVATE，這樣窗口就不會成為前臺窗口，不管如何發(fā)送鍵盤消息，擁有焦點(diǎn)的窗口總會收到。但此時仍然存在問題。當(dāng)移動窗口時，效果不大順暢，而且沒辦法響應(yīng)菜單命令，那是因?yàn)樵摯翱谑冀K不是前臺窗口造成的。解決方法就是在單擊標(biāo)題欄時，成為前臺窗口，釋放是歸還前臺。
{
if(m_hForground == NULL)
{
m_hForground = ::GetForegroundWindow();
ModifyStyleEx(WS_EX_NOACTIVATE,0);
SetForegroundWindow();
}
CFrameWnd::OnNcLButtonDown(nHitTest, point);
}
{
if(m_hForground != NULL)
{
::SetForegroundWindow(m_hForground);
ModifyStyleEx(0,WS_EX_NOACTIVATE);
m_hForground = NULL;
}
CFrameWnd::OnNcMouseMove(nHitTest, point);
}
原本以為一般的按鍵就兩種狀態(tài)，通過down、up改變，如果用方波描述，down就是下降沿觸發(fā)，up是上升沿觸發(fā)。也曾了解，像shift這樣的按鍵會很復(fù)雜，存在多個狀態(tài)。后來測試發(fā)現(xiàn)，shift并非一個特例，所有的按鍵都有4個狀態(tài)，通過down、up改變狀態(tài)。只是不同按鍵對狀態(tài)的關(guān)注點(diǎn)不同。
可以做這樣一個測試，用GetKeyboardState得到各個虛擬碼對應(yīng)的按鍵狀態(tài)。最高位為1時表示鍵被按下，最高位為1時，如果是lock鍵則表示被鎖住，對于其他鍵，各有各的作用。
比如一個鍵，用2位的二進(jìn)制數(shù)表示這些狀態(tài)，設(shè)初始狀態(tài)為10，經(jīng)過down后，變?yōu)?1，經(jīng)過up后，變?yōu)?1,再經(jīng)過down后，變?yōu)?0，再經(jīng)過up后，變?yōu)?0，如此四個狀態(tài)經(jīng)過down、up實(shí)現(xiàn)了周期性的狀態(tài)裝換。大體符合這樣的規(guī)律：
10-(down xor 11)->01->(up xor 10)->11-(down xor 11)->00(up xor 10)->10。
這樣，如果虛擬得比較徹底，在虛擬鍵盤內(nèi)部可以輕易地實(shí)現(xiàn)狀態(tài)的記憶，并且可以獲得足夠的信息。對于顯示、控制都非常方便。
這只是第一個版本，還有很多問題需要解決。
待解決問題一：xml配置動態(tài)配置鍵盤，及動態(tài)更換顯示效果。
待解決問題二：同步物理鍵盤。
待解決問題三：更深層次，防止鍵盤消息被hook，初步認(rèn)識，似乎可以使用剪貼板。
【源代碼1.2版本：http://m.shnenglu.com/Files/yefeng/VirtualKeyboard1.2.rar】
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