夜风 — Tue, 22 May 2012 16:39:00 GMT

问题�Q?/strong>
      原题�?#8220;��L��发帖�?#8221;�Q�其实就是在n个数里，存在一个数x�Q�出现频率超�q�n/2的数�Q�要以最��的旉��复杂度计��出�q�个x�?br />
动机�Q?/span>
      �q�个题目是昨晚无聊时�Q�在CSDN论坛上看到的�Q��v初我是这��h��的：既然有个数x出现频率��过n/2�Q�那如果排好序，那么�W�[n/2]个数一定就是x。这样问题就规约��样一个问题：“计算一�l�数的中位数”。《算法导论》有提出�q�解军_��法，��是�c�M��快速排序那��P��使用分治��法�Q�在O(n)复杂度内解决�?题。但��法性能依赖于数据的分布�Q�最坏情况会辑ֈ�O(n²)�?br />      后来在网上搜了一下，发现�q�居然是《编�E�之��》上的。记得当初上大学的时候，我还看过�Q�可怎么也想不�v来了。看��C��上提到的��法�Q�不��黯然称奇！于是产生了个��x��Q�我军_��重新看一遍，�q�且写一个系列的博客�Q�写下自��q��心得�?br />
引理�Q?/span>
      n个数中，数x出现频率��过n/2�Q�那么从中去掉一对不相等的两个数�Q�x在剩下的(n-2)个数中的出现频率依然��过n/2�?br />
证明�Q?/span>
      假设x出现了m�ơ，则m > n/2�Q�原频率P0 = m/n > 1/2�Q�从n个数中去掉一对不相同的两个数�Q�有两种情况�Q?br />
a != x, b != x。频率P1 = m/(n-2) > m/n > 1/2
a = x, b != x�?频率P1 = (m - 1)/(n - 2)。P1 - P0 = (2m - n)/n(n - 2) > 0。则 P1 > P0 > 1/2
��法分析�Q?/span>
      其实说到底非常简单，��是在一堆数里随便拿一个数�Q�再找一个与它不相等的，然后一��h��掉，�q�样问题规模不断�~�小�Q�最�l�等到找不到一个不相等的数�Ӟ��成�?了。但要简化算法，��׃��能每拿一个数��q��l�找一遍。可以考虑准备一个队列，队列里放着暂时扔不掉的数。如从头开始，��a[0]攑օ�队列�Q�再看a[1]�Q�如果a[0] != a[1]�Q�则扔掉a[1]和a[0]�Q�a[0]从队列取出；如果a[0] == a[1]�Q�则a[1]入队列，然后a[2]�q�行相同的操作，以此�c�L��?/p>
      解法依然可以优化。显而易见，队列里所有的数��L��全部相等的，既然相等��没有必要存入队列，只要知道�Q?.假想的队列里的数什�?2.队列的长度�?/p>
      �q�样��得��C��《编�E�之��》中的代码了�Q?/p>
1 int data_more_than_half(const int arr[], const size_t size) {
2     int candidate;
3     int count = 0;
4
5     for(size_t i = 0; i < size; i++) {
6         if (count == 0) {
7             candidate = arr[i];
8             count = 1;
9         }
10         else {
11             if (candidate == arr[i]) {
12                 count++;
13             }
14             else {
15                 count--;
16             }
17         }
18     }
19     return candidate;
20 }

应用�Q?/strong>

      代码看似��单，但我感到意犹未尽�Q�正回味着�Q�突然想��C��个问题：如果条�g�Q�存在一个出现频率超�q�一半的敎ͼ�不满��I��那会出现什么情况？如何避免呢？

      很显�Ӟ��我们的解法就是基于这样一个条件的�Q�一旦条件不满��Q�得到的数就没有��M��意义。但不难发现�Q�避免问题的出现也非常简单：验证扑ֈ�的数是否出现频率��过一半�?/p>
      �q�也是个常用的方法：假设��验法�?/p>
      对于一个数�l�，假设存在一个数�Q�它出现频率��过一半。然后在O(n)旉��内找到这个数�Q�再�l�计它出现的频率。这样就完美了！

      于是可以得到一个同解的跌��式问题：��查一个数�l�中�Q�是否存在一个数�Q�它出现频率��过一半�?/span>

夜风 2012-05-23 00:39 发表评论

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