哈密頓與四元數

哈密頓（Homldun）， （William RoWan Hamilton 1805-1865）英國數學家、物理學家。1805年8月3日（一說4日）生于愛爾蘭都柏林，1865年9月2日卒于都柏林附近的敦辛克天文臺。早年受 到很好的家庭教育。他在叔父、語言學家J.哈密頓的教導下，5歲開始學習各種外語，14歲時學會了12種歐洲語言。13歲對數學發生興趣，只用幾年時間， 自學了A.-c.克萊羅、1.牛頓和P.-S.拉普拉斯等人的幾部經典著作。除了閱讀理論書籍外，他還自制望遠鏡觀察天象，17歲時在光學中就有所發現。 1823年，考入都柏林的三一學院，他學習成績優異，曾多次獲得學院的各種獎勵。1837年，被聘任為三一學院的天文學教授，同時獲得了愛爾蘭皇家天文學 家的稱號。哈密頓于l827年定居在都柏林附近的敦辛克天文臺，從此潛心鉆研數理科學。1835年獲得爵位。l837年被選為愛爾蘭皇家科學院院長。他還 是英國皇家學會會員、法國科學院院士和彼得堡科學院通訊院士。

　　哈密頓在數學上的主要貢獻是發現了“四元數”。他首先把復數x+yi作為實數的有序偶（x，g）來研究，并規定了它們的運算法則。這樣，i在復數運算中就有了明確的意義。在此基礎上，他試圖建立三維的“復數”，經反復努力未能成功i最終導致他考慮具有四個分量的新數（1843）。他把形如t十Xi十yj十2k的數叫“四元數”。

 

19世紀早期，人們認為在數學領域里不存在與一般算術代數不同的代數。但是年輕的數學家哈密頓卻獨樹一幟，設想建立超復數系，定義這樣兩個有序實數四元數組（a,b,c,d),(e,f,g,h)為相等的，當且僅當a=e,b=f,c=g,d=h.又用記號l,i,j,k分別表示（1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1).但是如何規定其運算法則呢？如果按照普通代數的四則運算法則進行，政府就難以建立起來。如果獨辟蹊徑，又該從何下手呢？哈密爾頓發現將四無數組的加法和乘法的定義如下：
　　(a,b,c,d)+(e,f,g,h)=(a+e,b+f,c+g,d+h);
　　(a,b,c,d)*(e,f,g,h)=(ae-bf-cg-dh,af+be+ch-dg,ag+ce+df-bh,ah+bg+de-cf);
　　m(a,b,c,d)=(a,b,c,d)m=(ma,mb,mc,md)(m為常數）

三維空間向量及其內積、外積之成為數學物理的工具，大約從19世紀80年代初期開始，在此之前被普遍使用的，則是由 Hamilton 所創造的「四元數」。由于復數在平面上幾何及物理的有效應用，促使人們探索一種三維「復數」的工具。 1843年 Hamilton 創造了形如 的所謂四元數，其中 a₀,a₁,a₂,a₃ 為實數，i,j,k 則扮演相當于復數中 i 的角色。兩個四元數 與 的和，定義為

至于乘積則由

i² = j² = k² = -1

與

及分配律來定義，也就是說

我們可以驗證，加、減、乘、除四則運算對于四元數系照樣可行，就像在復數系中一般，只除了乘法交換律并不滿足。可除性較不明顯，但卻是相當重要的。若 ，定義 為其共軛數，則 與 =a₀²+a₁²+a₂²+a₃² 皆為實數。令 而稱之為 a 之范數(絕對值)。顯然，若 ，則， 為 a 之倒數。

我們若仔細觀察四元數的乘積定義，不難發現向量的內積、外積隱含其中。若 a=a₀+a₁i+a₂j+a₃k，我們稱 為 a 之純量部分(實數部分)， u=a₁i+a₂j+a₃k 為 a 之向量部分(虛數部分)，當 , ，則 ， 為一純量，, 為向量，然而 uv 是甚么？

由乘積定義可知 uv =(a₁i+a₂j+a₃k)(b₁i+b₂j+b₃k=-(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)+[(a₂b₃-a₃b₂)i+(a₃b₁-a₁b₃)j+(a₁b₂-a₂b₁)k]，正是 ，因此 清楚地描述四元數的乘法。

因為乘法交換性的缺乏，使得四元數的運算顯得繁而難，以至于向量的內積、外積引進后，四元數就被人淡忘了。然而，四元數的可除性，卻是內積、外積所不及的，譬如說，例 5 的解答，雖簡短卻不容易。然而，就四元數的觀點而言，這個問題只不過是一元一次方程式 而已，我們可以立刻解得 。

posted @ 2005-12-23 14:59 曉培的博客 閱讀(1648) | 評論 (0) | 編輯 收藏

蓋茨開始閉關修煉 冥思微軟之大未來

9:52:58上個月，如果你有機會一窺蘊藏了科技行業未來的水晶球，那么就會看到太平洋西北沿岸一片濃密的雪松林中一條曲折蜿蜒的道路，它帶你穿越林海通往科技業頂級智囊人物的隱居之地。上周四一個陽光燦爛的午后，他悠然端坐門后，好像正在等候遠道而來的客人。

“嗨，歡迎光臨！”迎接你的是微軟公司董事長比爾·蓋茨熱情洋溢的問候。在這座臨水別墅獨自一人潛居四天之后，他似乎很高興看到有人來訪。這周是蓋茨例行“閉關修煉”的時間，這七天里他遠離塵囂，凝神思考科技業的未來，然后把所思所想傳遍整個微軟帝國。

這個每年兩次的儀式意義非凡，不但會影響微軟的前景，也能勾畫整個科技業的未來。為期一周的潛心修煉能為科技行業找出幾個新領域，為微軟開拓幾個上百萬人的新市場點亮一盞明燈。1995年那周，蓋茨寫出了享譽全球的論文──《互聯網浪潮》(The Internet Tidal Wave)，帶領微軟開發出了最終擊敗網景的互聯網瀏覽器。微軟Tablet PC、種種更安全的軟件、開創網絡游戲業務等等構想都是在蓋茨“閉關”這一周勾勒成形的。

蓋茨的“閉關周”在電腦行業聞名遐邇，但這期間發生了什么卻是微軟公司的絕密檔案。開始閉關數年后，蓋茨終于同意在隱居之地破天荒招待一名記者，但前提是不能泄露具體地點。

蓋茨往往乘坐一架直升機，或者水上飛機抵達這里。這是一座看似普通的兩層結構的小木屋，臨水而建，四周寧靜優雅，室內井然有序，一間不大的臥室供蓋茨起居之用。整整一周，他閉門謝客，不論是家人還是微軟同事概莫能入。只有一個門房每天給他送兩次飯。

早上醒來后，一般他并不下床，而是呆在床上瀏覽微軟工程師、高級管理人員和產品經理們的各色報告，在報告封面上草草寫些摘要。他常常不吃早餐，穿上襪子就急匆匆上樓繼續審閱報告。只有午餐和晚餐的時候他才下樓，在餐桌旁一邊看報紙一邊吃飯。從餐桌邊看出去，奧林匹克山躍然入目。周四的午餐是烤芝士三文治配蛤蜊濃湯。蓋茨說，他這一周常喝節食橙汁。

這是閉關周的第四天，蓋茨已經讀了56份報告，有幾天曾連續工作18個小時。他的最高紀錄是一周閱讀了112份報告。“不知道這次能不能打破紀錄，但我至少能看100份，”他說。那堆還沒讀的報告中，有一份赫然寫著《震動微軟的10個瘋狂念頭》(10 Crazy Ideas to Shake Up Microsoft)。

這周看到了什么有趣的內容嗎？“說實在的，我們還是快點上樓，到那兒再看吧，我大部分的時間都是在那兒過的。”他一邊說，一邊起身，一步兩個臺階地上了樓，這兒是他的書房。

正對著窗戶的是一張書桌，從這里正好可以欣賞窗外的水景。桌上擺著兩臺戴爾(Dell)顯示器。書桌旁邊立著一個書柜，里面是整套《文學經典》系列。墻上掛著一幅法國大文豪雨果的肖像。蓋茨指著旁邊一個小冰箱和衛生間解釋道，這是最近這幾年添置的。冰箱里擺滿了節食橙汁和健怡可樂，為的是不用下樓可以閱讀更多文件。淺黃色封面的報告攤了一地，上面都蓋著“微軟機密”的印章。

蓋茨兩手墨跡斑斑，迅速翻動著桌上一份厚厚62頁的報告──《虛擬地球》，他在封面上寫了幾句評語。報告暢想了地圖服務業的未來，向客戶傳送旅行目的地的實時圖像，以及交通狀況和其他有關信息。其中有些想法蓋茨后來說“太超前了”，但他寫在封面上準備返回給報告人的評語卻很鼓舞人心：“我喜歡這個主意。”

蓋茨在顯示器前坐了下來，電腦屏幕上展示著他這周要看的大約300份報告，都輸入了數據庫。主題五花八門：互聯網游戲的發展、硬盤容量、微處理器時鐘速度優勢漸失,還有數碼照相趨勢、2005年電腦計算發展趨勢、語言處理軟件優化方法等等。

“有一份關于電腦安全的報告，的確是個突破，”蓋茨說著，身體前傾，用鼠標點開了一份題為《我們能否掃除互聯網蠕蟲？》的報告。這是微軟在英格蘭某個研究小組提交的報告。在“軟件安全”──微軟最嚴峻的難題──類目下一共31份報告，是所有類別中最多的。這份關于蠕蟲的報告描述了一種新方法，微軟或許能夠以此制止這種最近給互聯網帶來極大損害的病毒代碼。

閉關一周中的閱讀和思考會讓蓋茨發出難以計數的電子郵件和評語。看完一份報告引發的思考可能會通過一封電子郵件傳達給微軟全球各地的數十名微軟員工。員工們滿懷期待地靜候這一周，希望他們提議的項目能得到蓋茨的批準，或者對公司的發展方向施加影響。“這可是全世界最棒的意見箱，”微軟MapPoint集團的總經理史蒂芬·勞勒(Stephen Lawler)說。

周三晚上一直工作到凌晨，蓋茨已經把他對這份蠕蟲報告的想法傳遍了微軟在世界各地的許多員工。在一封寫給微軟高級管理層的電子郵件中，他深思熟慮地說，這個辦法太完美了，令人難以置信，恐怕會有漏洞。但如果沒有，他言之鑿鑿地說，“我們就要實施。”周四一大早，他就收到了遠在英格蘭劍橋的研究團隊發回的郵件。

從80年代開始，蓋茨就定期找機會靜修一周，起初是為了安安靜靜不受打擾地陪伴祖母一周，同時讀讀書，構想一下微軟的發展戰略。后來，這一周閱讀內容從厚厚幾摞報告逐漸演變成一個龐大的電腦文庫，每一份都留出蓋茨加評語的地方，以及和其他相關文件鏈接的地址。每一份文件都有打印稿。

蓋茨今年2月份“閉關”的前兩個月，他的技術助理亞歷克斯·古納里斯就從微軟各處收集報告，從中遴選出他認為值得一看的報告供蓋茨審閱。微軟內部各個部門任何級別的員工都可以提交報告，把自己的想法告訴蓋茨。

有些報告申請更多資金更多人手，但大多數報告都專門討論某種技術發展趨勢和發展狀況。蓋茨說，后一種讀起來“更讓人放松”。“他們很少會說，‘我們已經走投無路，在給我1億美元，我們就能走出困境。'”

這一周實際上從周一開始算起，但他已經在這之前的周末就開始審閱報告了。就這樣他現在還在為第二天的進度擔心。“我工作非常努力，甚至每天工作24小時，”但只看了幾十份報告。他看完的報告中，有一份題為《Xenon之書》，詳細討論了微軟下一代游戲機Xenon的開發計劃，以及微軟未來20年游戲機業務的發展戰略，整整120頁厚。

蓋茨很快繼續前進，開始讀80頁厚的《微軟教育產品戰略》，展望微軟在教育市場的未來。他從網上聯絡這份報告的作者，許諾要根據報告中的建議“做出一些進展”。報告作者之一后來透露，蓋茨當時還說如果項目資金枯竭不啻是一場“災難”。蓋茨說，他已經給微軟首席執行長史蒂夫·巴爾默發了電子郵件，讓他好好看看這份報告。

蓋茨說，周二晚上他一直工作到午夜，不免覺得頭昏腦脹。當時他正在看一份題為《演講合成》的報告，就開始聲情并茂地大聲讀出報告中的詞匯，比如“憤怒”、“無聊”、“有趣”等。“那已經是凌晨兩點了，我開始有點犯傻了，”蓋茨說。

作為休息，蓋茨會玩上5分鐘每日網絡橋牌游戲。周三，他從抵達后第一次穿上鞋，走出小屋，到湖邊散布了半小時。“我只不過到外面走走，實際上在想網絡視頻，”他說。

周四傍晚，太陽漸漸落到湖的那一邊，蓋茨下決心睡前再看24份報告。“我睡得不錯，所以今晚能工作到半夜兩、三點。”他說。這樣，到周末他就能看完100份報告，給上百人發了電子郵件，寫完了閉關周報告交高級管理層研讀。他還要給高層管理人員列一份閱讀清單，包括軟件安全和移動電話的威力不斷增加等內容。

這一周凝神靜思的結果會在微軟內部掀起層層漣漪。MSN業務部門副總裁尤素福·邁赫迪說，有一次出差途中，他把蓋茨閉關周的評語都打出來看，打了整整6英寸厚。微軟Office軟件部門的一個小組說，他們根據蓋茨的建議調整了方向，是同某家公司合作還是乾脆把它收購了事。（他們不肯說最后到底選擇了哪條路。）見到蓋茨的評語后，一位小組成員很快出發到歐洲會晤潛在的合作伙伴。

在MapPoint部門，也就是提交了《虛擬地球》構想的那個部門，總經理勞勒召集了一次會議，根據蓋茨的評語集思廣益討論進一步發展。蓋茨給某些想法打上了“異想天開”的標簽，但認可了這份報告的整體構想，寥寥數語傳遍了整個微軟，幾個研究小組已經投入了研發工作。

蓋茨的郵件點燃了克雷格·巴索羅梅的熱情，正是他領導的團隊提交了微軟教育市場戰略構想，得到蓋茨的關注。作為部門總經理，他立即下令，組建了一個工作小組，把蓋茨的建議落實到產品計劃中去。他還在內部網站上張貼了蓋茨的評語，征求部門員工對這個計劃的意見和建議。他說，在蓋茨閉關這一周之前，大家對這個項目能否啟動“抱有希望，但不敢肯定。現在每個人都非常樂觀。”

這一周后蓋茨重返日常工作的軌道，緊接其后的幾周他召開了一連串的會議，把他在閉關期間的種種想法傳播到微軟各處，其中兩項與軟件安全戰略有關。上周他還同“虛擬地球”研發小組一起呆了兩個小時，幫助他們規劃下一步行動。

蓋茨很清楚自己的評語會產生怎樣的影響，所以從不輕易落筆。“如果我寫：‘應該這么干’，各方面就會重新調整，工程師聞風而動，”他說，“這可不像我說‘嗨，真棒，看起來不錯’，這一句話就能讓他們為某個項目再投入20個人。”

posted @ 2005-12-14 09:55 曉培的博客 閱讀(271) | 評論 (0) | 編輯 收藏