“过桥问题”的解答

littlekid@R2 — Tue, 11 Mar 2008 03:05:00 GMT

http://www.oursci.org/magazine/200204/020411-01.htm

littlekid@R2 2008-03-11 11:05 发表评论

【ZZ】Nim取子游戏

littlekid@R2 — Sat, 15 Dec 2007 13:26:00 GMT

Nim取子游戏是由两个人面对若�q�堆��币�Q�或矛_��Q�进行的游戏。设有k>=1堆硬币，各堆分别含有N₁�Q�N₂�Q?#8230;…N_K枚硬币。游戏的目的��是选择最后剩下的��币。游戏法则如下：

1�Q�两个游戏�h交替�q�行游戏�Q�游戏�hI和游戏�hII�Q�；

2�Q�当轮到每个游戏人取子时�Q�选择�q�些堆中的一堆，�q�从所选的堆中取走臛_��一枚硬币（游戏人可以取��C��所选堆中的全部��币�Q�；

3�Q�当所有的堆都变成�I�堆�Ӟ��最后取子的游戏人即��者�?/div>

�q�个游戏中的变量是堆数k和各堆的��币数N₁�Q�N₂�Q?#8230;…N_k。对应的�l�合问题是，��定游戏人I莯��q�是游戏人II莯��以及两个游戏人应该如何取子才能保证自��p��胜（莯��{�略�Q��?/div>

��Z��q�一步理解Nim取子游戏�Q�我们考查某些�Ҏ��情况。如果游戏开始时只有一堆硬币，游戏人I则通过取走所有的��币而获胜。现在设�?堆硬币，且硬币数量分别�ؓN₁和N₂。游戏�h取得胜利�q�不在于N1和N2的值具体是多少�Q�而是取决于它们是否相�{�。设N₁�Q?N₂�Q�游戏�hI从大堆中取走的硬币��得两堆硬币数量相�{�，于是�Q�游戏�hI以后每次取子的数量与游戏人II相等而最�l�获胜。但是如果N₁= N₂�Q�则�Q�游戏�hII只要按着游戏人I取子的数量在另一堆中取相�{�数量的��币�Q�最�l�获胜者将会是游戏人II。这��P��两堆的取子获胜策略就已经扑ֈ�了�?/div>

现在我们如何从两堆的取子�{�略扩展��C�Q意堆��C��呢？

首先来回忆一下，每个正整数都有对应的一个二�q�制敎ͼ�例如�Q?7₍₁₀₎à 111001₍₂₎ �Q�即�Q?7₍₁₀₎=2⁵+2⁴+2³+2⁰。于是，我们可以认�ؓ每一堆硬币数�?的幂数的子堆�l�成。这��P��含有57枚硬币大堆就能看成是分别由数量�ؓ2⁵�?⁴�?³�?⁰的各个子堆组成�?/div>

现在考虑各大堆大��分别�ؓN₁�Q�N₂�Q?#8230;…N_k的一般的Nim取子游戏。将每一个数N_i表示为其二进制数�Q�数的位数相�{�，不等时在前面�?�Q�：

N₁= a_s…a₁a₀

N₂= b_s…b₁b₀

……

N_k= m_s…m₁m₀

如果每一�U�大��的子堆的个数都是偶敎ͼ�我们��q��Nim取子游戏是��^衡的�Q�而对应位相加是偶数的�U�Cؓ�q��位，否则�U�Cؓ非��^衡位。因此，Nim取子游戏是��^衡的�Q�当且仅当：

a_s+ b_s + … + m_s 是偶�?/p>

……

a₁+ b₁+ … + m₁是偶�?/p>

a₀+ b₀ + … + m₀是偶�?/p>

于是�Q�我们就能得��胜策略：

游戏人I能够在非�q��取子游戏中取胜，而游戏�hII能够在��^衡的取子游戏中取胜�?/div>

我们以一个两堆硬币的Nim取子游戏作�ؓ试验。设游戏开始时游戏处于非��^衡状态。这��P��游戏人I��p��通过一�U�取子方式��得他取子后留�l�游戏�hII的是一个��^衡状态下的游戏，接着无论游戏人II如何取子�Q�再留给游戏人I的一定是一个非�q��状态游戏，如此反复�q�行�Q�当游戏人II在最后一�ơ��^衡状态下取子后，游戏人I便能一�ơ性取走所有的��币而获胜。而如果游戏开始时游戏牌��^衡状态，那根据上�q�方式取子，最�l�游戏�hII能获胜�?/div>

下面应用此获胜策略来考虑4-堆的Nim取子游戏。其中各堆的大小分别�?�Q?�Q?2�Q?5枚硬币。用二进制表�C�各数分别�ؓ�Q?111�Q?001�Q?100�?111。于是可得到如下一表：

	2³ = 8	2² = 4	2¹ = 2	2⁰ = 1
大小�?的堆	0	1	1	1
大小�?的堆	1	0	0	1
大小�?2的堆	1	1	0	0
大小�?5的堆	1	1	1	1

由Nim取子游戏的��^衡条件可知，此游戏是一个非�q��状态的取子游戏�Q�因此，游戏人I在按莯��{�略�q�行取子游戏下将一定能够取得最�l�的胜利。具体做法有多种�Q�游戏�hI可以从大��ؓ12的堆中取�?1枚硬币，使得游戏辑ֈ��q��Q�如下表�Q�，

	2³ = 8	2² = 4	2¹ = 2	2⁰ = 1
大小�?的堆	0	1	1	1
大小�?的堆	1	0	0	1
大小�?2的堆	0	0	0	1
大小�?5的堆	1	1	1	1

之后�Q�无论游戏�hII如何取子�Q�游戏�hI在取子后仍��得游戏达到��^衡�?/div>

同样的道理，游戏人I也可以选择大小�?的堆�q�取�?枚硬币而剩�?枚，或者，游戏人I从大��ؓ15的堆中取�?3枚而留�?枚�?/div>

归根�l�底�Q�Nim取子游戏的关键在于游戏开始时游戏处于何种状态（�q��或非�q��Q�和�W�一个游戏�h是否能够按照取子游戏的获胜策略来�q�行游戏�?/div>

littlekid@R2 2007-12-15 21:26 发表评论

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