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HDU 1787 GCD Again �Q�欧拉函敎ͼ�

襉K��萧瑟 — Wed, 02 Dec 2009 12:34:00 GMT

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1787

/***
count the number of the integers M (01.
卻I��(x��)N - 1 - phi(N)

�׃��1采用�Ƨ拉性质�Q?br>    1.若n是质数p的k�ơ幂�Q?#966;�Q�n�Q? �Q�p-1�Q�p^(k-1)
    2.若m�Q�n互质�Q?#966;�Q�mn�Q? φ(m)φ(n)

�?nbsp;n =p1^a1 * p2^a2 ** pn^an
�?nbsp;  phi(n)    = (p1-1)*p1^(a1-1) * (p2-1)*p2^(a2-1) ** (pn-1)*pn^(an-1)
            = N * (p1-1)*(p2-2)**(pn-1)/(p1*p2**pn)
**/

#include <stdio.h>
#define N 10001
__int64 p[5000];
int hash[10001];
int main()
{
    __int64 i, j, ans, n, m, temp;

    p[0] = 1; //记录素数个数
    p[1] = 2;
    for (i=3; i<N; i+=2)
    {
        if (hash[i])
            continue;
        p[++p[0]] = i;
        for (j=i*i; j<N; j+=i)
            hash[j] = 1;
    } //�{�素�?nbsp;


    while (scanf("%I64d", &n), n)
    {
        ans = 1;
        m = n;
        for (i=1; p[i]<=m && i<=p[0]; i++)
            if (m%p[i]==0)
            {
                temp = 1;
                while (m%p[i] == 0)
                {
                    m /= p[i];
                    temp *= p[i];
                }
                temp /= p[i];
                ans*=(p[i]-1)*temp;
            }
        if (m>1)
        {
            ans *= (m-1);
        }    //如果剩下那个数大�?,m为大�?0000的质�?/span>

        printf("%I64d\n", n-ans-1);
    }
}

襉K��萧瑟 2009-12-02 20:34 发表评论

hdu2824 The Euler function �Ƨ拉函数

襉K��萧瑟 — Tue, 01 Dec 2009 11:21:00 GMT

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2824

定义�Q?nbsp;   对于正整数n�Q?#966;(n)是小于或�{�于n的正整数中，与n互质的数的数目；
                例如: φ(8) = 4, 因�ؓ(f��)1�Q?/span>3�Q?/span>5�Q?均和8互质�?br>性质�Q?nbsp; 1.    若p是质敎ͼ�φ�Q�p�Q?/span>= p-1.
               2.    若n是质数p的k�ơ幂�Q?#966;�Q�n�Q?/span>= �Q�p-1�Q�p^(k-1)
                        因�ؓ(f��)除了p的倍数都与n互质
               3.    �Ƨ拉函数是积性函敎ͼ�若m�Q�n互质�Q?#966;�Q�mn�Q?/span>= φ(m)φ(n)
               �Ҏ(gu��)��q?条性质我们��可以退��Z��个整数的�Ƨ拉函数的公式，因�ؓ(f��)一个数��d��以一些质数的乘积的�Ş式�?br>               E(k) = (p1-1)(p2-1)…(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))…(pi^(ai-1))
                        = k*(p1-1)(p2-1)…(pi-1)/(p1*p2*…pi)
                        = k*(1-1/p1)*(1-1/p2)…(1-1/pk)
在程序中利用�Ƨ拉函数如下性质�Q�可以快速求出欧拉函数的�?a为N的质因素)
�?N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;
�?N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);

以下�?�U�求�Ƨ拉函数的算�?br>

1 void init()
2 {
3     __int64 i,j;
4     e[1] = 1;
5     for(i=2;i<=N;i++)
6         if(!e[i])
7         {
8             for(j=i; j<=N; j+=i)
9             {
10                 if (!e[j])
11                     e[j] = j;
12                 e[j] = e[j] / i * (i-1);
13             }
14         }
15 }

利用素数�{�选：(x��)

void init()
{
    __int64 i, j;

    p[0] = 1; //记录素数个数
    p[1] = 2;
    for (i=3; i<N; i+=2)
    {
        if (hash[i])
            continue;
        p[++p[0]] = i;
        for (j=i*i; j<N; j+=i)
            hash[j] = true;
    } //�{�素�?/span>

    e[1] = 1;

    for (i=1; i<=p[0]; i++)
        e[p[i]] = p[i] - 1; //初始化素数的phi

    for (i=2; i<N; i++)
    {
        if(!e[i])
        {
            for (j=1; j<=p[0]; j++)
                if (i % p[j]==0)
                {
                    if (i / p[j] % p[j])
                        e[i] = e[i / p[j]] * e[p[j]];
                    else
                        e[i] = e[i / p[j] ]* p[j];
                    break;
                } // 利用上述性质求解
        }
    }
    return ;
}

明显�W�一�U�的�~�程复杂度要低很�?br>所以，一般情况下�Q�N不是很大�Q�，采用�W�一�U�即可；
贴在�q�里供以后复�?img border=0 src="http://m.shnenglu.com/Emoticons/QQ/13.gif" width=20 height=20>

襉K��萧瑟 2009-12-01 19:21 发表评论

襉K��萧瑟 — Fri, 27 Nov 2009 06:25:00 GMT

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3215
题目大意是计��?^0�?^n中每个数的最左边一位，然后记录1-9每个数字出现的次数�ƈ依次打印出来�Q?br>考虑到n的范�?[0,10000]�Q?不可能去计算 2^n

hdu 1060 Leftmost Digit http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1060 与此题一�?

/**
    先看一个例子：(x��)

        31415926   最左面那位数是3�Q�如何得来？

        取对敎ͼ�(x��) lg(3.1415926 * 10^7) = lg(3.1415926) + 7
        也就是说�Q�一个整数取�Ҏ(gu��)��以后变�ؓ(f��)2部分�Q�不妨设��数部分为A (0 <= A < 1)�Q�整数部分�ؓ(f��)B
        所以，一个整数可以写�?nbsp;10^A * 10^B
        至于 10^B 是大家熟�(zh��n)�的 10000……
        �?nbsp;10^A 是什么样子的呢？肯定是小�?0的小�?nbsp;   (��Z��么呢�Q�如果大�?0了，B的值则�?)
        那么 A 的整数部分就是我们要求的�?br>        大致思�\��是�Q�对一个数x求对敎ͼ�取出��数部分A�Q�则10^A的整数部分就是x的最左面的那位数

    �q�入本题�Q?br>
        x = 2^n
        lg(x) = n * lg(2)
        A = lg(x) - lg(x)的整数部�?br>        10^A = ……

    其实�q�道题卡的事�_�ֺ�问题�Q�整��C��数来回转化肯定有精度损�?nbsp;�q�里的A要加�?.0e-6
*/

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define eps (1.0e-6)

int f[10010][10];

int main()
{
    int i, j, y;
    double A, x, s=log10(2);

    f[0][1]=1;
    for (i=1; i<=10000; i++) {
        for(j=1; j<10; j++)
            f[i][j] = f[i-1][j];

        x = i * s;
        A = x - (int)x;
        y = (int) (pow(10, A)+eps);

        f[i][y]++;
    }

    while (scanf("%d",&y),y+1) {
        printf("%d", f[y][1]);
        for(i=2; i<10; i++)
            printf(" %d",f[y][i]);
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

襉K��萧瑟 2009-11-27 14:25 发表评论