來源：http://www.y768.com/content/view/5755/109/
Steve Best（sbest@us.ibm.com）
JFS 核心小組成員，IBM
2002 年 8 月
您可以用各種方法來監(jiān)控運(yùn)行著的用戶空間程序：可以為其運(yùn)行調(diào)試器并單步調(diào)試該程序，添加打印語句，或者添加工具來分析程序。本文描述了幾種可以用來調(diào)試在 Linux 上運(yùn)行的程序的方法。我們將回顧四種調(diào)試問題的情況，這些問題包括段錯誤，內(nèi)存溢出和泄漏，還有掛起。
本
文討論了四種調(diào)試 Linux 程序的情況。在第 1 種情況中，我們使用了兩個有內(nèi)存分配問題的樣本程序，使用 MEMWATCH 和 Yet
Another Malloc Debugger（YAMD）工具來調(diào)試它們。在第 2 種情況中，我們使用了 Linux 中的 strace
實(shí)用程序，它能夠跟蹤系統(tǒng)調(diào)用和信號，從而找出程序發(fā)生錯誤的地方。在第 3 種情況中，我們使用 Linux 內(nèi)核的 Oops
功能來解決程序的段錯誤，并向您展示如何設(shè)置內(nèi)核源代碼級調(diào)試器（kernel source level debugger，kgdb），以使用
GNU 調(diào)試器（GNU debugger，gdb）來解決相同的問題；kgdb 程序是使用串行連接的 Linux 內(nèi)核遠(yuǎn)程 gdb。在第 4
種情況中，我們使用 Linux 上提供的魔術(shù)鍵控順序（magic key sequence）來顯示引發(fā)掛起問題的組件的信息。
常見調(diào)試方法
當(dāng)您的程序中包含錯誤時，很可能在代碼中某處有一個條件，您認(rèn)為它為真（true），但實(shí)際上是假（false）。找出錯誤的過程也就是在找出錯誤后推翻以前一直確信為真的某個條件過程。
以下幾個示例是您可能確信成立的條件的一些類型：
在源代碼中的某處，某變量有特定的值。
在給定的地方，某個結(jié)構(gòu)已被正確設(shè)置。
對于給定的 if-then-else 語句，if 部分就是被執(zhí)行的路徑。
當(dāng)子例程被調(diào)用時，該例程正確地接收到了它的參數(shù)。
找
出錯誤也就是要確定上述所有情況是否存在。如果您確信在子例程被調(diào)用時某變量應(yīng)該有特定的值，那么就檢查一下情況是否如此。如果您相信 if
結(jié)構(gòu)會被執(zhí)行，那么也檢查一下情況是否如此。通常，您的假設(shè)都會是正確的，但最終您會找到與假設(shè)不符的情況。結(jié)果，您就會找出發(fā)生錯誤的地方。
調(diào)試是您無法逃避的任務(wù)。進(jìn)行調(diào)試有很多種方法，比如將消息打印到屏幕上、使用調(diào)試器，或只是考慮程序執(zhí)行的情況并仔細(xì)地揣摩問題所在。
在
修正問題之前，您必須找出它的源頭。舉例來說，對于段錯誤，您需要了解段錯誤發(fā)生在代碼的哪一行。一旦您發(fā)現(xiàn)了代碼中出錯的行，請確定該方法中變量的值、
方法被調(diào)用的方式以及關(guān)于錯誤如何發(fā)生的詳細(xì)情況。使用調(diào)試器將使找出所有這些信息變得很簡單。如果沒有調(diào)試器可用，您還可以使用其它的工具。（請注意，
產(chǎn)品環(huán)境中可能并不提供調(diào)試器，而且 Linux 內(nèi)核沒有內(nèi)建的調(diào)試器。）
實(shí)用的內(nèi)存和內(nèi)核工具
您可以使用 Linux 上的調(diào)試工具，通過各種方式跟蹤用戶空間和內(nèi)核問題。請使用下面的工具和技術(shù)來構(gòu)建和調(diào)試您的源代碼：
用戶空間工具：
內(nèi)存工具：MEMWATCH 和 YAMD
strace
GNU 調(diào)試器（gdb）
魔術(shù)鍵控順序
內(nèi)核工具：
內(nèi)核源代碼級調(diào)試器（kgdb）
內(nèi)建內(nèi)核調(diào)試器（kdb）
Oops
本文將討論一類通過人工檢查代碼不容易找到的問題，而且此類問題只在很少見的情況下存在。內(nèi)存錯誤通常在多種情況同時存在時出現(xiàn)，而且您有時只能在部署程序之后才能發(fā)現(xiàn)內(nèi)存錯誤。
第 1 種情況：內(nèi)存調(diào)試工具
C 語言作為 Linux 系統(tǒng)上標(biāo)準(zhǔn)的編程語言給予了我們對動態(tài)內(nèi)存分配很大的控制權(quán)。然而，這種自由可能會導(dǎo)致嚴(yán)重的內(nèi)存管理問題，而這些問題可能導(dǎo)致程序崩潰或隨時間的推移導(dǎo)致性能降級。
內(nèi)存泄漏（即 malloc() 內(nèi)存在對應(yīng)的 free() 調(diào)用執(zhí)行后永不被釋放）和緩沖區(qū)溢出（例如對以前分配到某數(shù)組的內(nèi)存進(jìn)行寫操作）是一些常見的問題，它們可能很難檢測到。這一部分將討論幾個調(diào)試工具，它們極大地簡化了檢測和找出內(nèi)存問題的過程。
MEMWATCH
MEMWATCH
由 Johan Lindh 編寫，是一個開放源代碼 C
語言內(nèi)存錯誤檢測工具，您可以自己下載它（請參閱本文后面部分的參考資料）。只要在代碼中添加一個頭文件并在 gcc 語句中定義了 MEMWATCH
之后，您就可以跟蹤程序中的內(nèi)存泄漏和錯誤了。MEMWATCH 支持 ANSI
C，它提供結(jié)果日志紀(jì)錄，能檢測雙重釋放（double-free）、錯誤釋放（erroneous free）、沒有釋放的內(nèi)存（unfreed
memory）、溢出和下溢等等。
清單 1. 內(nèi)存樣本（test1.c）
#include "STDLIB.H"
#include "STDIO.H"
#include "memwatch.h"
int main(void)
{
char *ptr1;
char *ptr2;
ptr1 = malloc(512);
ptr2 = malloc(512);
ptr2 = ptr1;
free(ptr2);
free(ptr1);
}
清單 1 中的代碼將分配兩個 512 字節(jié)的內(nèi)存塊，然后指向第一個內(nèi)存塊的指針被設(shè)定為指向第二個內(nèi)存塊。結(jié)果，第二個內(nèi)存塊的地址丟失，從而產(chǎn)生了內(nèi)存泄漏。
現(xiàn)在我們編譯清單 1 的 memwatch.c。下面是一個 makefile 示例：
test1
gcc -DMEMWATCH -DMW_STDIO test1.c memwatch
c -o test1
當(dāng)您運(yùn)行 test1 程序后，它會生成一個關(guān)于泄漏的內(nèi)存的報告。清單 2 展示了示例 memwatch.log 輸出文件。
清單 2. test1 memwatch.log 文件
MEMWATCH 2.67 Copyright (C) 1992-1999 Johan Lindh
...
double-free: <4> test1.c(15), 0x80517b4 was freed from test1.c(14)
...
unfreed: <2> test1.c(11), 512 bytes at 0x80519e4
{FE FE FE FE FE FE FE FE FE FE FE FE ..............}
Memory usage statistics (global):
N)umber of allocations made: 2
L)argest memory usage : 1024
T)otal of all alloc() calls: 1024
U)nfreed bytes totals : 512
MEMWATCH 為您顯示真正導(dǎo)致問題的行。如果您釋放一個已經(jīng)釋放過的指針，它會告訴您。對于沒有釋放的內(nèi)存也一樣。日志結(jié)尾部分顯示統(tǒng)計信息，包括泄漏了多少內(nèi)存，使用了多少內(nèi)存，以及總共分配了多少內(nèi)存。
YAMD
YAMD
軟件包由 Nate Eldredge 編寫，可以查找 C 和 C++ 中動態(tài)的、與內(nèi)存分配有關(guān)的問題。在撰寫本文時，YAMD 的最新版本為
0.32。請下載 yamd-0.32.tar.gz（請參閱參考資料）。執(zhí)行 make 命令來構(gòu)建程序；然后執(zhí)行 make install
命令安裝程序并設(shè)置工具。
一旦您下載了 YAMD 之后，請在 test1.c 上使用它。請刪除 #include memwatch.h 并對 makefile 進(jìn)行如下小小的修改：
使用 YAMD 的 test1
gcc -g test1.c -o test1
清單 3 展示了來自 test1 上的 YAMD 的輸出。
清單 3. 使用 YAMD 的 test1 輸出
YAMD version 0.32
Executable: /usr/src/test/yamd-0.32/test1
...
INFO: Normal allocation of this block
Address 0x40025e00, size 512
...
INFO: Normal allocation of this block
Address 0x40028e00, size 512
...
INFO: Normal deallocation of this block
Address 0x40025e00, size 512
...
ERROR: Multiple freeing At
free of pointer already freed
Address 0x40025e00, size 512
...
WARNING: Memory leak
Address 0x40028e00, size 512
WARNING: Total memory leaks:
1 unfreed allocations totaling 512 bytes
*** Finished at Tue ... 10:07:15 2002
Allocated a grand total of 1024 bytes 2 allocations
Average of 512 bytes per allocation
Max bytes allocated at one time: 1024
24 K alloced internally / 12 K mapped now / 8 K max
Virtual program size is 1416 K
End.
YAMD 顯示我們已經(jīng)釋放了內(nèi)存，而且存在內(nèi)存泄漏。讓我們在清單 4 中另一個樣本程序上試試 YAMD。
清單 4. 內(nèi)存代碼（test2.c）
#include "STDLIB.H"
#include "STDIO.H"
int main(void)
{
char *ptr1;
char *ptr2;
char *chptr;
int i = 1;
ptr1 = malloc(512);
ptr2 = malloc(512);
chptr = (char *)malloc(512);
for (i; i <= 512; i++) {
chptr = 'S';
}
ptr2 = ptr1;
free(ptr2);
free(ptr1);
free(chptr);
}
您可以使用下面的命令來啟動 YAMD：
./run-yamd /usr/src/test/test2/test2
清單 5 顯示了在樣本程序 test2 上使用 YAMD 得到的輸出。YAMD 告訴我們在 for 循環(huán)中有“越界（out-of-bounds）”的情況。
清單 5. 使用 YAMD 的 test2 輸出
Running /usr/src/test/test2/test2
Temp output to /tmp/yamd-out.1243
*********
./run-yamd: line 101: 1248 Segmentation fault (core dumped)
YAMD version 0.32
Starting run: /usr/src/test/test2/test2
Executable: /usr/src/test/test2/test2
Virtual program size is 1380 K
...
INFO: Normal allocation of this block
Address 0x40025e00, size 512
...
INFO: Normal allocation of this block
Address 0x40028e00, size 512
...
INFO: Normal allocation of this block
Address 0x4002be00, size 512
ERROR: Crash
...
Tried to write address 0x4002c000
Seems to be part of this block:
Address 0x4002be00, size 512
...
Address in question is at offset 512 (out of bounds)
Will dump core after checking heap.
Done.
MEMWATCH 和 YAMD 都是很有用的調(diào)試工具，它們的使用方法有所不同。對于 MEMWATCH，您需要添加包含文件 memwatch.h 并打開兩個編譯時間標(biāo)記。對于鏈接（link）語句，YAMD 只需要 -g 選項(xiàng)。
Electric Fence
多
數(shù) Linux 分發(fā)版包含一個 Electric Fence 包，不過您也可以選擇下載它。Electric Fence 是一個由 Bruce
Perens 編寫的 malloc() 調(diào)試庫。它就在您分配內(nèi)存后分配受保護(hù)的內(nèi)存。如果存在 fencepost
錯誤（超過數(shù)組末尾運(yùn)行），程序就會產(chǎn)生保護(hù)錯誤，并立即結(jié)束。通過結(jié)合 Electric Fence 和
gdb，您可以精確地跟蹤到哪一行試圖訪問受保護(hù)內(nèi)存。Electric Fence 的另一個功能就是能夠檢測內(nèi)存泄漏。
第 2 種情況：使用 strace
strace
命令是一種強(qiáng)大的工具，它能夠顯示所有由用戶空間程序發(fā)出的系統(tǒng)調(diào)用。strace 顯示這些調(diào)用的參數(shù)并返回符號形式的值。strace
從內(nèi)核接收信息，而且不需要以任何特殊的方式來構(gòu)建內(nèi)核。將跟蹤信息發(fā)送到應(yīng)用程序及內(nèi)核開發(fā)者都很有用。在清單 6
中，分區(qū)的一種格式有錯誤，清單顯示了 strace 的開頭部分，內(nèi)容是關(guān)于調(diào)出創(chuàng)建文件系統(tǒng)操作（mkfs）的。strace
確定哪個調(diào)用導(dǎo)致問題出現(xiàn)。
清單 6. mkfs 上 strace 的開頭部分
execve("/sbin/mkfs.jfs", ["mkfs.jfs", "-f", "/dev/test1"], &
...
open("/dev/test1", O_RDWR|O_LARGEFILE) = 4
stat64("/dev/test1", {st_mode=&, st_rdev=makedev(63, 255), ...}) = 0
ioctl(4, 0x40041271, 0xbfffe128) = -1 EINVAL (Invalid argument)
write(2, "mkfs.jfs: warning - cannot setb" ..., 98mkfs.jfs: warning -
cannot set blocksize on block device /dev/test1: Invalid argument )
= 98
stat64("/dev/test1", {st_mode=&, st_rdev=makedev(63, 255), ...}) = 0
open("/dev/test1", O_RDONLY|O_LARGEFILE) = 5
ioctl(5, 0x80041272, 0xbfffe124) = -1 EINVAL (Invalid argument)
write(2, "mkfs.jfs: can\'t determine device"..., ..._exit(1)
= ?
清
單 6 顯示 ioctl 調(diào)用導(dǎo)致用來格式化分區(qū)的 mkfs 程序失敗。ioctl BLKGETSIZE64
失敗。（BLKGET-SIZE64 在調(diào)用 ioctl 的源代碼中定義。) BLKGETSIZE64 ioctl 將被添加到 Linux
中所有的設(shè)備，而在這里，邏輯卷管理器還不支持它。因此，如果 BLKGETSIZE64 ioctl 調(diào)用失敗，mkfs 代碼將改為調(diào)用較早的
ioctl 調(diào)用；這使得 mkfs 適用于邏輯卷管理器。
第 3 種情況：使用 gdb 和 Oops
您可以從命令行使用
gdb 程序（Free Software Foundation 的調(diào)試器）來找出錯誤，也可以從諸如 Data Display
Debugger（DDD）這樣的幾個圖形工具之一使用 gdb 程序來找出錯誤。您可以使用 gdb 來調(diào)試用戶空間程序或 Linux
內(nèi)核。這一部分只討論從命令行運(yùn)行 gdb 的情況。
使用 gdb program name 命令啟動 gdb。gdb 將載入可執(zhí)行程序符號并顯示輸入提示符，讓您可以開始使用調(diào)試器。您可以通過三種方式用 gdb 查看進(jìn)程：
使用 attach 命令開始查看一個已經(jīng)運(yùn)行的進(jìn)程；attach 將停止進(jìn)程。
使用 run 命令執(zhí)行程序并從頭開始調(diào)試程序。
查看已有的核心文件來確定進(jìn)程終止時的狀態(tài)。要查看核心文件，請用下面的命令啟動 gdb。
gdb programname corefilename
要用核心文件進(jìn)行調(diào)試，您不僅需要程序的可執(zhí)行文件和源文件，還需要核心文件本身。要用核心文件啟動 gdb，請使用 -c 選項(xiàng)：
gdb -c core programname
gdb 顯示哪行代碼導(dǎo)致程序發(fā)生核心轉(zhuǎn)儲。
在運(yùn)行程序或連接到已經(jīng)運(yùn)行的程序之前，請列出您覺得有錯誤的源代碼，設(shè)置斷點(diǎn)，然后開始調(diào)試程序。您可以使用 help 命令查看全面的 gdb 在線幫助和詳細(xì)的教程。
kgdb
kgdb
程序（使用 gdb 的遠(yuǎn)程主機(jī) Linux 內(nèi)核調(diào)試器）提供了一種使用 gdb 調(diào)試 Linux 內(nèi)核的機(jī)制。kgdb
程序是內(nèi)核的擴(kuò)展，它讓您能夠在遠(yuǎn)程主機(jī)上運(yùn)行 gdb 時連接到運(yùn)行用 kgdb
擴(kuò)展的內(nèi)核機(jī)器。您可以接著深入到內(nèi)核中、設(shè)置斷點(diǎn)、檢查數(shù)據(jù)并進(jìn)行其它操作（類似于您在應(yīng)用程序上使用 gdb
的方式）。這個補(bǔ)丁的主要特點(diǎn)之一就是運(yùn)行 gdb
的主機(jī)在引導(dǎo)過程中連接到目標(biāo)機(jī)器（運(yùn)行要被調(diào)試的內(nèi)核）。這讓您能夠盡早開始調(diào)試。請注意，補(bǔ)丁為 Linux 內(nèi)核添加了功能，所以 gdb
可以用來調(diào)試 Linux 內(nèi)核。
使用 kgdb 需要兩臺機(jī)器：一臺是開發(fā)機(jī)器，另一臺是測試機(jī)器。一條串行線（空調(diào)制解調(diào)器電纜）將通過機(jī)器的串口連接它們。您希望調(diào)試的內(nèi)核在測試機(jī)器上運(yùn)行；gdb 在開發(fā)機(jī)器上運(yùn)行。gdb 使用串行線與您要調(diào)試的內(nèi)核通信。
請遵循下面的步驟來設(shè)置 kgdb 調(diào)試環(huán)境：
下載您的 Linux 內(nèi)核版本適用的補(bǔ)丁。
將
組件構(gòu)建到內(nèi)核，因?yàn)檫@是使用 kgdb
最簡單的方法。（請注意，有兩種方法可以構(gòu)建多數(shù)內(nèi)核組件，比如作為模塊或直接構(gòu)建到內(nèi)核中。舉例來說，日志紀(jì)錄文件系統(tǒng)（Journaled
File System，JFS）可以作為模塊構(gòu)建，或直接構(gòu)建到內(nèi)核中。通過使用 gdb 補(bǔ)丁，我們就可以將 JFS 直接構(gòu)建到內(nèi)核中。）
應(yīng)用內(nèi)核補(bǔ)丁并重新構(gòu)建內(nèi)核。
創(chuàng)建一個名為 .gdbinit 的文件，并將其保存在內(nèi)核源文件子目錄中（換句話說就是 /usr/src/linux）。文件 .gdbinit 中有下面四行代碼：
set remotebaud 115200
symbol-file vmlinux
target remote /dev/ttyS0
set output-radix 16
將 append=gdb 這一行添加到 lilo，lilo 是用來在引導(dǎo)內(nèi)核時選擇使用哪個內(nèi)核的引導(dǎo)載入程序。
image=/boot/bzImage-2.4.17
label=gdb2417
read-only
root=/dev/sda8
append="gdb gdbttyS=1 gdb-baud=115200 nmi_watchdog=0"
清單 7 是一個腳本示例，它將您在開發(fā)機(jī)器上構(gòu)建的內(nèi)核和模塊引入測試機(jī)器。您需要修改下面幾項(xiàng)：
best@sfb：用戶標(biāo)識和機(jī)器名。
/usr/src/linux-2.4.17：內(nèi)核源代碼樹的目錄。
bzImage-2.4.17：測試機(jī)器上將引導(dǎo)的內(nèi)核名。
rcp 和 rsync：必須允許它在構(gòu)建內(nèi)核的機(jī)器上運(yùn)行。
清單 7. 引入測試機(jī)器的內(nèi)核和模塊的腳本
set -x
rcp best@sfb: /usr/src/linux-2.4.17/arch/i386/boot/bzImage /boot/bzImage-2.4.17
rcp best@sfb:/usr/src/linux-2.4.17/System.map /boot/System.map-2.4.17
rm -rf /lib/modules/2.4.17
rsync -a best@sfb:/lib/modules/2.4.17 /lib/modules
chown -R root /lib/modules/2.4.17
lilo
現(xiàn)在我們可以通過改為使用內(nèi)核源代碼樹開始的目錄來啟動開發(fā)機(jī)器上的 gdb 程序了。在本示例中，內(nèi)核源代碼樹位于 /usr/src/linux-2.4.17。輸入 gdb 啟動程序。
如果一切正常，測試機(jī)器將在啟動過程中停止。輸入 gdb 命令 cont 以繼續(xù)啟動過程。一個常見的問題是，空調(diào)制解調(diào)器電纜可能會被連接到錯誤的串口。如果 gdb 不啟動，將端口改為第二個串口，這會使 gdb 啟動。
使用 kgdb 調(diào)試內(nèi)核問題
清單 8 列出了 jfs_mount.c 文件的源代碼中被修改過的代碼，我們在代碼中創(chuàng)建了一個空指針異常，從而使代碼在第 109 行產(chǎn)生段錯誤。
清單 8. 修改過后的 jfs_mount.c 代碼
int jfs_mount(struct super_block *sb)
{
...
int ptr; /* line 1 added */
jFYI(1, ("\nMount JFS\n"));
/ *
* read/validate superblock
* (initialize mount inode from the superblock)
* /
if ((rc = chkSuper(sb))) {
goto errout20;
}
108 ptr=0; /* line 2 added */
109 printk("%d\n",*ptr); /* line 3 added */
清
單 9 在向文件系統(tǒng)發(fā)出 mount 命令之后顯示一個 gdb 異常。kgdb
提供了幾條命令，如顯示數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和變量值以及顯示系統(tǒng)中的所有任務(wù)處于什么狀態(tài)、它們駐留在何處、它們在哪些地方使用了 CPU 等等。清單 9
將顯示回溯跟蹤為該問題提供的信息；where 命令用來執(zhí)行反跟蹤，它將告訴被執(zhí)行的調(diào)用在代碼中的什么地方停止。
清單 9. gdb 異常和反跟蹤
mount -t jfs /dev/sdb /jfs
Program received signal SIGSEGV, Segmentation fault.
jfs_mount (sb=0xf78a3800) at jfs_mount.c:109
109 printk("%d\n",*ptr);
(gdb)where
#0 jfs_mount (sb=0xf78a3800) at jfs_mount.c:109
#1 0xc01a0dbb in jfs_read_super ... at super.c:280
#2 0xc0149ff5 in get_sb_bdev ... at super.c:620
#3 0xc014a89f in do_kern_mount ... at super.c:849
#4 0xc0160e66 in do_add_mount ... at namespace.c:569
#5 0xc01610f4 in do_mount ... at namespace.c:683
#6 0xc01611ea in sys_mount ... at namespace.c:716
#7 0xc01074a7 in system_call () at af_packet.c:1891
#8 0x0 in ?? ()
(gdb)
下一部分還將討論這個相同的 JFS 段錯誤問題，但不設(shè)置調(diào)試器，如果您在非 kgdb 內(nèi)核環(huán)境中執(zhí)行清單 8 中的代碼，那么它使用內(nèi)核可能生成的 Oops 消息。
Oops 分析
Oops
（也稱 panic，慌張）消息包含系統(tǒng)錯誤的細(xì)節(jié)，如 CPU 寄存器的內(nèi)容。在 Linux
中，調(diào)試系統(tǒng)崩潰的傳統(tǒng)方法是分析在發(fā)生崩潰時發(fā)送到系統(tǒng)控制臺的 Oops 消息。一旦您掌握了細(xì)節(jié)，就可以將消息發(fā)送到 ksymoops
實(shí)用程序，它將試圖將代碼轉(zhuǎn)換為指令并將堆棧值映射到內(nèi)核符號。在很多情況下，這些信息就足夠您確定錯誤的可能原因是什么了。請注意，Oops
消息并不包括核心文件。
讓我們假設(shè)系統(tǒng)剛剛創(chuàng)建了一條 Oops 消息。作為編寫代碼的人，您希望解決問題并確定什么導(dǎo)致了 Oops
消息的產(chǎn)生，或者您希望向顯示了 Oops 消息的代碼的開發(fā)者提供有關(guān)您的問題的大部分信息，從而及時地解決問題。Oops
消息是等式的一部分，但如果不通過 ksymoops 程序運(yùn)行它也于事無補(bǔ)。下面的圖顯示了格式化 Oops 消息的過程。
格式化 Oops 消息
ksymoops
需要幾項(xiàng)內(nèi)容：Oops 消息輸出、來自正在運(yùn)行的內(nèi)核的 System.map 文件，還有 /proc/ksyms、vmlinux 和
/proc/modules。關(guān)于如何使用 ksymoops，內(nèi)核源代碼
/usr/src/linux/Documentation/oops-tracing.txt 中或 ksymoops
手冊頁上有完整的說明可以參考。Ksymoops 反匯編代碼部分，指出發(fā)生錯誤的指令，并顯示一個跟蹤部分表明代碼如何被調(diào)用。
首先，將 Oops 消息保存在一個文件中以便通過 ksymoops 實(shí)用程序運(yùn)行它。清單 10 顯示了由安裝 JFS 文件系統(tǒng)的 mount 命令創(chuàng)建的 Oops 消息，問題是由清單 8 中添加到 JFS 安裝代碼的那三行代碼產(chǎn)生的。
清單 10. ksymoops 處理后的 Oops 消息
ksymoops 2.4.0 on i686 2.4.17. Options used
... 15:59:37 sfb1 kernel: Unable to handle kernel NULL pointer dereference at
virtual address 0000000
... 15:59:37 sfb1 kernel: c01588fc
... 15:59:37 sfb1 kernel: *pde = 0000000
... 15:59:37 sfb1 kernel: Oops: 0000
... 15:59:37 sfb1 kernel: CPU: 0
... 15:59:37 sfb1 kernel: EIP: 0010:[jfs_mount+60/704]
... 15:59:37 sfb1 kernel: Call Trace: [jfs_read_super+287/688]
[get_sb_bdev+563/736] [do_kern_mount+189/336] [do_add_mount+35/208]
[do_page_fault+0/1264]
... 15:59:37 sfb1 kernel: Call Trace: []...
... 15:59:37 sfb1 kernel: [>EIP; c01588fc <=====
...
Trace; c0106cf3
Code; c01588fc
00000000 <_EIP>:
Code; c01588fc <=====
0: 8b 2d 00 00 00 00 mov 0x0,%ebp <=====
Code; c0158902
6: 55 push %ebp
接
下來，您要確定 jfs_mount 中的哪一行代碼引起了這個問題。Oops 消息告訴我們問題是由位于偏移地址 3c
的指令引起的。做這件事的辦法之一是對 jfs_mount.o 文件使用 objdump 實(shí)用程序，然后查看偏移地址 3c。Objdump
用來反匯編模塊函數(shù)，看看您的 C 源代碼會產(chǎn)生什么匯編指令。清單 11 顯示了使用 objdump 后您將看到的內(nèi)容，接著，我們查看
jfs_mount 的 C 代碼，可以看到空值是第 109 行引起的。偏移地址 3c 之所以很重要，是因?yàn)?Oops
消息將該處標(biāo)識為引起問題的位置。
清單 11. jfs_mount 的匯編程序清單
109 printk("%d\n",*ptr);
objdump jfs_mount.o
jfs_mount.o: file format elf32-i386
Disassembly of section .text:
00000000 :
0:55 push %ebp
...
2c: e8 cf 03 00 00 call 400
31: 89 c3 mov %eax,%ebx
33: 58 pop %eax
34: 85 db test %ebx,%ebx
36: 0f 85 55 02 00 00 jne 291
3c: 8b 2d 00 00 00 00 mov 0x0,%ebp << problem line above
42: 55 push %ebp
kdb
Linux
內(nèi)核調(diào)試器（Linux kernel debugger，kdb）是 Linux
內(nèi)核的補(bǔ)丁，它提供了一種在系統(tǒng)能運(yùn)行時對內(nèi)核內(nèi)存和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行檢查的辦法。請注意，kdb 不需要兩臺機(jī)器，不過它也不允許您像 kgdb
那樣進(jìn)行源代碼級別上的調(diào)試。您可以添加額外的命令，給出該數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的標(biāo)識或地址，這些命令便可以格式化和顯示基本的系統(tǒng)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。目前的命令集允許您控
制包括以下操作在內(nèi)的內(nèi)核操作：
處理器單步執(zhí)行
執(zhí)行到某條特定指令時停止
當(dāng)存取（或修改）某個特定的虛擬內(nèi)存位置時停止
當(dāng)存取輸入／輸出地址空間中的寄存器時停止
對當(dāng)前活動的任務(wù)和所有其它任務(wù)進(jìn)行堆棧回溯跟蹤（通過進(jìn)程 ID）
對指令進(jìn)行反匯編
追擊內(nèi)存溢出
您肯定不想陷入類似在幾千次調(diào)用之后發(fā)生分配溢出這樣的情形。
我
們的小組花了許許多多時間來跟蹤稀奇古怪的內(nèi)存錯誤問題。應(yīng)用程序在我們的開發(fā)工作站上能運(yùn)行，但在新的產(chǎn)品工作站上，這個應(yīng)用程序在調(diào)用
malloc() 兩百萬次之后就不能運(yùn)行了。真正的問題是在大約一百萬次調(diào)用之后發(fā)生了溢出。新系統(tǒng)之所有存在這個問題，是因?yàn)楸槐Ａ舻?
malloc() 區(qū)域的布局有所不同，從而這些零散內(nèi)存被放置在了不同的地方，在發(fā)生溢出時破壞了一些不同的內(nèi)容。
我們用多種不同技術(shù)
來解決這個問題，其中一種是使用調(diào)試器，另一種是在源代碼中添加跟蹤功能。在我職業(yè)生涯的大概也是這個時候，我便開始關(guān)注內(nèi)存調(diào)試工具，希望能更快更有效
地解決這些類型的問題。在開始一個新項(xiàng)目時，我最先做的事情之一就是運(yùn)行 MEMWATCH 和 YAMD，看看它們是不是會指出內(nèi)存管理方面的問題。
內(nèi)存泄漏是應(yīng)用程序中常見的問題，不過您可以使用本文所講述的工具來解決這些問題。
第 4 種情況：使用魔術(shù)鍵控順序進(jìn)行回溯跟蹤
如果在 Linux 掛起時您的鍵盤仍然能用，那請您使用以下方法來幫助解決掛起問題的根源。遵循這些步驟，您便可以顯示當(dāng)前運(yùn)行的進(jìn)程和所有使用魔術(shù)鍵控順序的進(jìn)程的回溯跟蹤。
您正在運(yùn)行的內(nèi)核必須是在啟用 CONFIG_MAGIC_SYS-REQ 的情況下構(gòu)建的。您還必須處在文本模式。CLTR+ALT+F1 會使您進(jìn)入文本模式，CLTR+ALT+F7 會使您回到 X Windows。
當(dāng)在文本模式時，請按 ，然后按 。上述魔術(shù)的擊鍵會分別給出當(dāng)前運(yùn)行的進(jìn)程和所有進(jìn)程的堆棧跟蹤。
請查找 /var/log/messages。如果一切設(shè)置正確，則系統(tǒng)應(yīng)該已經(jīng)為您轉(zhuǎn)換了內(nèi)核的符號地址。回溯跟蹤將被寫到 /var/log/messages 文件中。
結(jié)束語
幫助調(diào)試 Linux 上的程序有許多不同的工具可供使用。本文講述的工具可以幫助您解決許多編碼問題。能顯示內(nèi)存泄漏、溢出等等的位置的工具可以解決內(nèi)存管理問題，我發(fā)現(xiàn) MEMWATCH 和 YAMD 很有幫助。
使
用 Linux 內(nèi)核補(bǔ)丁會使 gdb 能在 Linux 內(nèi)核上工作，這對解決我工作中使用的 Linux
的文件系統(tǒng)方面的問題很有幫助。此外，跟蹤實(shí)用程序能幫助確定在系統(tǒng)調(diào)用期間文件系統(tǒng)實(shí)用程序什么地方出了故障。下次當(dāng)您要擺平 Linux
中的錯誤時，請試試這些工具中的某一個。
轉(zhuǎn)自：http://www.vbgood.com/viewthread.php?tid=34811
要使計算機(jī)能完成人們預(yù)定的工作，首先必須為如何完成預(yù)定的工作設(shè)計一個算法，然后再根據(jù)算法編寫程序。計算機(jī)程序要對問題的每個對象和處理規(guī)則給出正確
詳盡的描述，其中程序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和變量用來描述問題的對象，程序結(jié)構(gòu)、函數(shù)和語句用來描述問題的算法。算法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是程序的兩個重要方面。
算法是問題求解過程的精確描述，一個算法由有限條可完全機(jī)械地執(zhí)行的、有確定結(jié)果的指令組成。指令正確地描述了要完成的任務(wù)和它們被執(zhí)行的順序。計算機(jī)按
算法指令所描述的順序執(zhí)行算法的指令能在有限的步驟內(nèi)終止，或終止于給出問題的解，或終止于指出問題對此輸入數(shù)據(jù)無解。
通常求解一個問題可能會有多種算法可供選擇，選擇的主要標(biāo)準(zhǔn)是算法的正確性和可靠性，簡單性和易理解性。其次是算法所需要的存儲空間少和執(zhí)行更快等。
算法設(shè)計是一件非常困難的工作，經(jīng)常采用的算法設(shè)計技術(shù)主要有迭代法、窮舉搜索法、遞推法、貪婪法、回溯法、分治法、動態(tài)規(guī)劃法等等。另外，為了更簡潔的形式設(shè)計和藐視算法，在算法設(shè)計時又常常采用遞歸技術(shù)，用遞歸描述算法。
一、迭代法
迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計方法。設(shè)方程為f(x)=0，用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行：
（1） 選一個方程的近似根，賦給變量x0；
（2） 將x0的值保存于變量x1，然后計算g(x1)，并將結(jié)果存于變量x0；
（3） 當(dāng)x0與x1的差的絕對值還小于指定的精度要求時，重復(fù)步驟（2）的計算。
若方程有根，并且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認(rèn)為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為：
【算法】迭代法求方程的根
{ x0=初始近似根；
do {
x1=x0；
x0=g(x1)； /*按特定的方程計算新的近似根*/
} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；
printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；
}
迭代算法也常用于求方程組的根，令
X=（x0，x1，…，xn-1）
設(shè)方程組為：
xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1)
則求方程組根的迭代算法可描述如下：
【算法】迭代法求方程組的根
{ for (i=0;i
x=初始近似根;
do {
for (i=0;i
y=x;
for (i=0;i
x=gi(X);
for (delta=0.0,i=0;i
if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x)；
} while (delta>Epsilon)；
for (i=0;i
printf(“變量x[%d]的近似根是 %f”，I，x)；
printf(“\n”)；
}
具體使用迭代法求根時應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)生的情況：
（1） 如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否有解，并在程序中對迭代的次數(shù)給予限制；
（2） 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導(dǎo)致迭代失敗。
二、窮舉搜索法
窮舉搜索法是對可能是解的眾多候選解按某種順序進(jìn)行逐一枚舉和檢驗(yàn)，并從眾找出那些符合要求的候選解作為問題的解。
【問題】 將A、B、C、D、E、F這六個變量排成如圖所示的三角形，這六個變量分別取[1，6]上的整數(shù)，且均不相同。求使三角形三條邊上的變量之和相等的全部解。如圖就是一個解。
程
序引入變量a、b、c、d、e、f，并讓它們分別順序取1至6的證書，在它們互不相同的條件下，測試由它們排成的如圖所示的三角形三條邊上的變量之和是否
相等，如相等即為一種滿足要求的排列，把它們輸出。當(dāng)這些變量取盡所有的組合后，程序就可得到全部可能的解。細(xì)節(jié)見下面的程序。
【程序1】
# include
void main()
{ int a,b,c,d,e,f;
for (a=1;a<=6;a++)
for (b=1;b<=6;b++) {
if (b==a) continue;
for (c=1;c<=6;c++) {
if (c==a)||(c==b) continue;
for (d=1;d<=6;d++) {
if (d==a)||(d==b)||(d==c) continue;
for (e=1;e<=6;e++) {
if (e==a)||(e==b)||(e==c)||(e==d) continue;
f=21-(a+b+c+d+e);
if ((a+b+c==c+d+e))&&(a+b+c==e+f+a)) {
printf(“%6d,a);
printf(“%4d%4d”,b,f);
printf(“%2d%4d%4d”,c,d,e);
scanf(“%*c”);
}
}
}
}
}
}
按窮舉法編寫的程序通常不能適應(yīng)變化的情況。如問題改成有9個變量排成三角形，每條邊有4個變量的情況，程序的循環(huán)重數(shù)就要相應(yīng)改變。
對
一組數(shù)窮盡所有排列，還有更直接的方法。將一個排列看作一個長整數(shù)，則所有排列對應(yīng)著一組整數(shù)。將這組整數(shù)按從小到大的順序排列排成一個整數(shù)，從對應(yīng)最小
的整數(shù)開始。按數(shù)列的遞增順序逐一列舉每個排列對應(yīng)的每個整數(shù)，這能更有效地完成排列的窮舉。從一個排列找出對應(yīng)數(shù)列的下一個排列可在當(dāng)前排列的基礎(chǔ)上作
部分調(diào)整來實(shí)現(xiàn)。倘若當(dāng)前排列為1，2，4，6，5，3，并令其對應(yīng)的長整數(shù)為124653。要尋找比長整數(shù)124653更大的排列，可從該排列的最后一
個數(shù)字順序向前逐位考察，當(dāng)發(fā)現(xiàn)排列中的某個數(shù)字比它前一個數(shù)字大時，如本例中的6比它的前一位數(shù)字4大，這說明還有對應(yīng)更大整數(shù)的排列。但為了順序從小
到大列舉出所有的排列，不能立即調(diào)整得太大，如本例中將數(shù)字6與數(shù)字4交換得到的排列126453就不是排列124653的下一個排列。為了得到排列
124653的下一個排列，應(yīng)從已經(jīng)考察過的那部分?jǐn)?shù)字中選出比數(shù)字大，但又是它們中最小的那一個數(shù)字，比如數(shù)字5，與數(shù)字4交換。該數(shù)字也是從后向前考
察過程中第一個比4大的數(shù)字。5與4交換后，得到排列125643。在前面數(shù)字1，2，5固定的情況下，還應(yīng)選擇對應(yīng)最小整數(shù)的那個排列，為此還需將后面
那部分?jǐn)?shù)字的排列順序顛倒，如將數(shù)字6，4，3的排列順序顛倒，得到排列1，2，5，3，4，6，這才是排列1，2，4，6，5，3的下一個排列。按以上
想法編寫的程序如下。
【程序2】
# include
# define SIDE_N 3
# define LENGTH 3
# define VARIABLES 6
int A,B,C,D,E,F;
int *pt[]={&A,&B,&C,&D,&E,&F};
int *side[SIDE_N][LENGTH]={&A,&B,&C,&C,&D,&E,&E,&F,&A};
int side_total[SIDE_N];
main{}
{ int i,j,t,equal;
for (j=0;j
*pt[j]=j+1;
while(1)
{ for (i=0;i
{ for (t=j=0;j
t+=*side[j];
side_total=t;
}
for (equal=1,i=0;equal&&i
if (side_total!=side_total[i+1] equal=0;
if (equal)
{ for (i=1;i
printf(“%4d”,*pt);
printf(“\n”);
scanf(“%*c”);
}
for (j=VARIABLES-1;j>0;j--)
if (*pt[j]>*pt[j-1]) break;
if (j==0) break;
for (i=VARIABLES-1;i>=j;i--)
if (*pt>*pt[i-1]) break;
t=*pt[j-1];* pt[j-1] =* pt; *pt=t;
for (i=VARIABLES-1;i>j;i--,j++)
{ t=*pt[j]; *pt[j] =* pt; *pt=t; }
}
}
從上述問題解決的方法中，最重要的因素就是確定某種方法來確定所有的候選解。下面再用一個示例來加以說明。
【問題】 背包問題
問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。
設(shè)n
個物品的重量和價值分別存儲于數(shù)組w[ ]和v[ ]中，限制重量為tw。考慮一個n元組（x0，x1，…，xn-1），其中xi=0
表示第i個物品沒有選取，而xi=1則表示第i個物品被選取。顯然這個n元組等價于一個選擇方案。用枚舉法解決背包問題，需要枚舉所有的選取方案，而根據(jù)
上述方法，我們只要枚舉所有的n元組，就可以得到問題的解。
顯然，每個分量取值為0或1的n元組的個數(shù)共為2n個。而每個n元組其實(shí)對應(yīng)了一個長度為n的二進(jìn)制數(shù)，且這些二進(jìn)制數(shù)的取值范圍為0～2n-1。因此，如果把0～2n-1分別轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，則可以得到我們所需要的2n個n元組。
【算法】
maxv=0;
for (i=0;i<2n;i++)
{ B[0..n-1]=0;
把i轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，存儲于數(shù)組B中;
temp_w=0;
temp_v=0;
for (j=0;j
{ if (B[j]==1)
{ temp_w=temp_w+w[j];
temp_v=temp_v+v[j];
}
if ((temp_w<=tw)&&(temp_v>maxv))
{ maxv=temp_v;
保存該B數(shù)組；
}
}
}
三、遞推法
遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關(guān)系求問題解的一種方法。設(shè)要求
問題規(guī)模為N的解，當(dāng)N=1時，解或?yàn)橐阎蚰芊浅７奖愕氐玫浇狻Ｄ懿捎眠f推法構(gòu)造算法的問題有重要的遞推性質(zhì)，即當(dāng)?shù)玫絾栴}規(guī)模為i-1的解后，由問
題的遞推性質(zhì)，能從已求得的規(guī)模為1，2，…，i-1的一系列解，構(gòu)造出問題規(guī)模為
I的解。這樣，程序可從i=0或i=1出發(fā)，重復(fù)地，由已知至i-1規(guī)模的解，通過遞推，獲得規(guī)模為i的解，直至得到規(guī)模為N的解。
【問題】 階乘計算
問題描述：編寫程序，對給定的n（n≦100），計算并輸出k的階乘k！（k=1，2，…，n）的全部有效數(shù)字。
由于要求的整數(shù)可能大大超出一般整數(shù)的位數(shù)，程序用一維數(shù)組存儲長整數(shù)，存儲長整數(shù)數(shù)組的每個元素只存儲長整數(shù)的一位數(shù)字。如有m位成整數(shù)N用數(shù)組a[ ]存儲：
N=a[m]×10m-1+a[m-1]×10m-2+ … +a[2]×101+a[1]×100
并用a[0]存儲長整數(shù)N的位數(shù)m，即a[0]=m。按上述約定，數(shù)組的每個元素存儲k的階乘k！的一位數(shù)字，并從低位到高位依次存于數(shù)組的第二個元素、第三個元素……。例如，5！=120，在數(shù)組中的存儲形式為：
3 0 2 1 ……
首元素3表示長整數(shù)是一個3位數(shù)，接著是低位到高位依次是0、2、1，表示成整數(shù)120。
計算階乘k！可采用對已求得的階乘(k-1)！連續(xù)累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，計算5！，可對原來的24累加4次24后得到120。細(xì)節(jié)見以下程序。
# include
# include
# define MAXN 1000
void pnext(int a[ ],int k)
{ int *b,m=a[0],i,j,r,carry;
b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1));
for ( i=1;i<=m;i++) b=a;
for ( j=1;j<=k;j++)
{ for ( carry=0,i=1;i<=m;i++)
{ r=(i
a=r%10;
carry=r/10;
}
if (carry) a[++m]=carry;
}
free(b);
a[0]=m;
}
void write(int *a,int k)
{ int i;
printf(“%4d！=”,k);
for (i=a[0];i>0;i--)
printf(“%d”,a);
printf(“\n\n”);
}
void main()
{ int a[MAXN],n,k;
printf(“Enter the number n: “);
scanf(“%d”,&n);
a[0]=1;
a[1]=1;
write(a,1);
for (k=2;k<=n;k++)
{ pnext(a,k);
write(a,k);
getchar();
}
}
四、遞歸
遞歸是設(shè)計和描述算法的一種有力的工具，由于它在復(fù)雜算法的描述中被經(jīng)常采用，為此在進(jìn)一步介紹其他算法設(shè)計方法之前先討論它。
能
采用遞歸描述的算法通常有這樣的特征：為求解規(guī)模為N的問題，設(shè)法將它分解成規(guī)模較小的問題，然后從這些小問題的解方便地構(gòu)造出大問題的解，并且這些規(guī)模
較小的問題也能采用同樣的分解和綜合方法，分解成規(guī)模更小的問題，并從這些更小問題的解構(gòu)造出規(guī)模較大問題的解。特別地，當(dāng)規(guī)模N=1時，能直接得解。
【問題】 編寫計算斐波那契（Fibonacci）數(shù)列的第n項(xiàng)函數(shù)fib（n）。
斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、……，即：
fib(0)=0;
fib(1)=1;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （當(dāng)n>1時）。
寫成遞歸函數(shù)有：
int fib(int n)
{ if (n==0) return 0;
if (n==1) return 1;
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);
}
遞
歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問題（規(guī)模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問題（規(guī)模小于n）的求解。例如上例中，求
解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計算fib(n)，必須先計算fib(n-1)和fib(n-
2)，而計算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib(0)，分
別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。
在回歸階段，當(dāng)獲得最簡單情況的解后，逐級返回，依次得到稍復(fù)雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果。
在編寫遞歸函數(shù)時要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進(jìn)入“簡單問題”層時，原來層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡單問題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。
由
于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會有一系列的重復(fù)計算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對較低。當(dāng)某個遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時，通常按遞推算法編
寫程序。例如上例計算斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項(xiàng)出發(fā)，逐次由前兩項(xiàng)計算出下一項(xiàng)，直至計算出要求
的第n項(xiàng)。
【問題】 組合問題
問題描述：找出從自然數(shù)1、2、……、n中任取r個數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1
（4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1
（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1
（10）3、2、1
分
析所列的10個組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為void comb(int m,int
k)為找出從自然數(shù)1、2、……、m中任取k個數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個數(shù)字選定時，其后的數(shù)字是從余下的m-1個數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m
個數(shù)中取k個數(shù)的組合問題轉(zhuǎn)化成求m-1個數(shù)中取k-1個數(shù)的組合問題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a[
]存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個數(shù)字組合的第一個數(shù)字放在a[k]中，當(dāng)一個組合求出后，才將a[
]中的一個組合輸出。第一個數(shù)可以是m、m-1、……、k，函數(shù)將確定組合的第一個數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞
歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細(xì)節(jié)見以下程序中的函數(shù)comb。
【程序】
# include
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int k)
{ int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if (k>1)
comb(i-1,k-1);
else
{ for (j=a[0];j>0;j--)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
}
}
void main()
{ a[0]=3;
comb(5,3);
}
【問題】 背包問題
問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。
設(shè)n
件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、…、vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并
保留了其中總價值最大的方案于數(shù)組option[ ]，該方案的總價值存于變量maxv。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop[
]。假定當(dāng)前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品；當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達(dá)
到的總價值的期望值為tv。算法引入tv是當(dāng)一旦當(dāng)前方案的總價值的期望值也小于前面方案的總價值maxv時，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無意義的工作，應(yīng)終止
當(dāng)前方案，立即去考察下一個方案。因?yàn)楫?dāng)方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數(shù)后找到的方案一定會比前面的方案更好。
對于第i件物品的選擇考慮有兩種可能：
（1） 考慮物品i被選擇，這種可能性僅當(dāng)包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇。
（2） 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當(dāng)不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。
按以上思想寫出遞歸算法如下：
try(物品i，當(dāng)前選擇已達(dá)到的重量和，本方案可能達(dá)到的總價值tv)
{ /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/
if(包含物品i是可以接受的)
{ 將物品i包含在當(dāng)前方案中；
if (i
try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
else
/*又一個完整方案，因?yàn)樗惹懊娴姆桨负茫运鳛樽罴逊桨?/
以當(dāng)前方案作為臨時最佳方案保存;
恢復(fù)物品i不包含狀態(tài)；
}
/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/
if (不包含物品i僅是可男考慮的)
if (i
try(i+1,tw,tv-物品i的價值)；
else
/*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
以當(dāng)前方案作為臨時最佳方案保存;
}
為了理解上述算法，特舉以下實(shí)例。設(shè)有4件物品，它們的重量和價值見表：
物品 0 1 2 3
重量 5 3 2 1
價值 4 4 3 1
并設(shè)限制重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，算法就進(jìn)一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，算法不會在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個分支。
按上述算法編寫函數(shù)和程序如下：
【程序】
# include
# define N 100
double limitW,totV,maxV;
int option[N],cop[N];
struct { double weight;
double value;
}a[N];
int n;
void find(int i,double tw,double tv)
{ int k;
/*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/
if (tw+a.weight<=limitW)
{ cop=1;
if (i
else
{ for (k=0;k
option[k]=cop[k];
maxv=tv;
}
cop=0;
}
/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/
if (tv-a.value>maxV)
if (i
else
{ for (k=0;k
option[k]=cop[k];
maxv=tv-a.value;
}
}
void main()
{ int k;
double w,v;
printf(“輸入物品種數(shù)\n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“輸入各物品的重量和價值\n”);
for (totv=0.0,k=0;k
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v);
a[k].weight=w;
a[k].value=v;
totV+=V;
}
printf(“輸入限制重量\n”);
scanf(“%1f”,&limitV);
maxv=0.0;
for (k=0;k find(0,0.0,totV);
for (k=0;k
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
printf(“\n總價值為%.2f\n”,maxv);
}
作
為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生成所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進(jìn)一
步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當(dāng)該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被
包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的；反之，該物品不應(yīng)該包括在當(dāng)前正在形成的候選解中。同樣地，僅當(dāng)物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳
解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當(dāng)前候選解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進(jìn)
一步考慮下一個物品。
【程序】
# include
# define N 100
double limitW;
int cop[N];
struct ele { double weight;
double value;
} a[N];
int k,n;
struct { int ;
double tw;
double tv;
}twv[N];
void next(int i,double tw,double tv)
{ twv.=1;
twv.tw=tw;
twv.tv=tv;
}
double find(struct ele *a,int n)
{ int i,k,f;
double maxv,tw,tv,totv;
maxv=0;
for (totv=0.0,k=0;k
totv+=a[k].value;
next(0,0.0,totv);
i=0;
While (i>=0)
{ f=twv.;
tw=twv.tw;
tv=twv.tv;
switch(f)
{ case 1: twv.++;
if (tw+a.weight<=limitW)
if (i
{ next(i+1,tw+a.weight,tv);
i++;
}
else
{ maxv=tv;
for (k=0;k
cop[k]=twv[k].!=0;
}
break;
case 0: i--;
break;
default: twv.=0;
if (tv-a.value>maxv)
if (i
{ next(i+1,tw,tv-a.value);
i++;
}
else
{ maxv=tv-a.value;
for (k=0;k
cop[k]=twv[k].!=0;
}
break;
}
}
return maxv;
}
void main()
{ double maxv;
printf(“輸入物品種數(shù)\n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“輸入限制重量\n”);
scanf(“%1f”,&limitW);
printf(“輸入各物品的重量和價值\n”);
for (k=0;k
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);
maxv=find(a,n);
printf(“\n選中的物品為\n”);
for (k=0;k
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
printf(“\n總價值為%.2f\n”,maxv);
}
五、回溯法
回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制，并將
問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗(yàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時，就選擇下一個候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要
求時，繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時，該候選解就是問題的一個解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選
解，尋找下一個候選解的過程稱為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探。
1、回溯法的一般描述
可用回溯法求解的問題
P，通常要能表達(dá)為：對于已知的由n元組（x1，x2，…，xn）組成的一個狀態(tài)空間 E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si
，i=1，2，…，n}，給定關(guān)于n元組中的一個分量的一個約束集D，要求E中滿足D的全部約束條件的所有n元組。其中Si是分量xi的定義域，且
|Si| 有限，i=1，2，…，n。我們稱E中滿足D的全部約束條件的任一n元組為問題P的一個解。
解問題P的最樸素的方法就是枚舉法，即對E中的所有n元組逐一地檢測其是否滿足D的全部約束，若滿足，則為問題P的一個解。但顯然，其計算量是相當(dāng)大的。
我
們發(fā)現(xiàn)，對于許多問題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組（x1，x2，…，xi）滿足D中僅涉及到x1，x2，…，xi的所有約束意味著j
（jj。因此，對于約束集D具有完備性的問題P，一旦檢測斷定某個j元組（x1，x2，…，xj）違反D中僅涉及x1，x2，…，xj的一個約束，就可以
肯定，以（x1，x2，…，xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不會是問題P的解，因而就不必去搜索它們、檢測它
們。回溯法正是針對這類問題，利用這類問題的上述性質(zhì)而提出來的比枚舉法效率更高的算法。
回溯法首先將問題P的n元組的狀態(tài)空間E表示成一棵高為n的帶權(quán)有序樹T，把在E中求問題P的所有解轉(zhuǎn)化為在T中搜索問題P的所有解。樹T類似于檢索樹，它可以這樣構(gòu)造：
設(shè)Si
中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，…，xi(mi-1) ，|Si|
=mi，i=1，2，…，n。從根開始，讓T的第I層的每一個結(jié)點(diǎn)都有mi個兒子。這mi個兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權(quán)xi+1
(1) ，xi+1(2) ，…，xi+1(mi)
，i=0，1，2，…，n-1。照這種構(gòu)造方式，E中的一個n元組（x1，x2，…，xn）對應(yīng)于T中的一個葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次
的n條邊的權(quán)分別為x1，x2，…，xn，反之亦然。另外，對于任意的0≤i≤n-1，E中n元組（x1，x2，…，xn）的一個前綴I元組（x1，
x2，…，xi）對應(yīng)于T中的一個非葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個非葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為x1，x2，…，xi，反之亦然。特別，E中的任意
一個n元組的空前綴（），對應(yīng)于T的根。
因而，在E中尋找問題P的一個解等價于在T中搜索一個葉子結(jié)點(diǎn)，要求從T的根到該葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的
n條邊相應(yīng)帶的n個權(quán)x1，x2，…，xn滿足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn)，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深
入，即依次搜索滿足約束條件的前綴1元組（x1i）、前綴2元組（x1，x2）、…，前綴I元組（x1，x2，…，xi），…，直到i=n為止。
在回溯法中，上述引入的樹被稱為問題P的狀態(tài)空間樹；樹T上任意一個結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上的任意一個葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上滿足約束集D的全部約束的任意一個葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個回答狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，它對應(yīng)于問題P的一個解。
【問題】 組合問題
問題描述：找出從自然數(shù)1、2、……、n中任取r個數(shù)的所有組合。
例如n=5，r=3的所有組合為：
（1）1、2、3 （2）1、2、4 （3）1、2、5
（4）1、3、4 （5）1、3、5 （6）1、4、5
（7）2、3、4 （8）2、3、5 （9）2、4、5
（10）3、4、5
則該問題的狀態(tài)空間為：
E={（x1，x2，x3）∣xi∈S ，i=1，2，3 } 其中：S={1，2，3，4，5}
約束集為： x1
顯然該約束集具有完備性。
2、回溯法的方法
對于具有完備約束集D的一般問題P及其相應(yīng)的狀態(tài)空間樹T，利用T的層次結(jié)構(gòu)和D的完備性，在T中搜索問題P的所有解的回溯法可以形象地描述為：
從T
的根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略，系統(tǒng)地搜索以其為根的子樹中可能包含著回答結(jié)點(diǎn)的所有狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，而跳過對肯定不含回答結(jié)點(diǎn)的所有子樹的搜索，以提高搜索效
率。具體地說，當(dāng)搜索按深度優(yōu)先策略到達(dá)一個滿足D中所有有關(guān)約束的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)時，即“激活”該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，以便繼續(xù)往深層搜索；否則跳過對以該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)為根
的子樹的搜索，而一邊逐層地向該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)的祖先結(jié)點(diǎn)回溯，一邊“殺死”其兒子結(jié)點(diǎn)已被搜索遍的祖先結(jié)點(diǎn)，直到遇到其兒子結(jié)點(diǎn)未被搜索遍的祖先結(jié)點(diǎn)，即轉(zhuǎn)向
其未被搜索的一個兒子結(jié)點(diǎn)繼續(xù)搜索。
在搜索過程中，只要所激活的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)又滿足終結(jié)條件，那么它就是回答結(jié)點(diǎn)，應(yīng)該把它輸出或保存。由于在回溯法求解問題時，一般要求出問題的所有解，因此在得到回答結(jié)點(diǎn)后，同時也要進(jìn)行回溯，以便得到問題的其他解，直至回溯到T的根且根的所有兒子結(jié)點(diǎn)均已被搜索過為止。
例
如在組合問題中，從T的根出發(fā)深度優(yōu)先遍歷該樹。當(dāng)遍歷到結(jié)點(diǎn)（1，2）時，雖然它滿足約束條件，但還不是回答結(jié)點(diǎn)，則應(yīng)繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到葉子結(jié)點(diǎn)
（1，2，5）時，由于它已是一個回答結(jié)點(diǎn)，則保存（或輸出）該結(jié)點(diǎn)，并回溯到其雙親結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到結(jié)點(diǎn)（1，5）時，由于它已是葉子結(jié)
點(diǎn)，但不滿足約束條件，故也需回溯。
3、回溯法的一般流程和技術(shù)
在用回溯法求解有關(guān)問題的過程中，一般是一邊建樹，一邊遍歷該樹。在回溯法中我們一般采用非遞歸方法。下面，我們給出回溯法的非遞歸算法的一般流程：
在用回溯法求解問題，也即在遍歷狀態(tài)空間樹的過程中，如果采用非遞歸方法，則我們一般要用到棧的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這時，不僅可以用棧來表示正在遍歷的樹的結(jié)點(diǎn)，而且可以很方便地表示建立孩子結(jié)點(diǎn)和回溯過程。
例
如在組合問題中，我們用一個一維數(shù)組Stack[
]表示棧。開始棧空，則表示了樹的根結(jié)點(diǎn)。如果元素1進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1）結(jié)點(diǎn)；這時如果元素2進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1，2）結(jié)點(diǎn)；元素3再
進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1，2，3）結(jié)點(diǎn)。這時可以判斷它滿足所有約束條件，是問題的一個解，輸出（或保存）。這時只要棧頂元素（3）出棧，即表示從結(jié)
點(diǎn)（1，2，3）回溯到結(jié)點(diǎn)（1，2）。
【問題】 組合問題
問題描述：找出從自然數(shù)1，2，…，n中任取r個數(shù)的所有組合。
采用回溯法找問題的解，將找到的組合以從小到大順序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，組合的元素滿足以下性質(zhì)：
（1） a[i+1]>a，后一個數(shù)字比前一個大；
（2） a-i<=n-r+1。
按回溯法的思想，找解過程可以敘述如下：
首
先放棄組合數(shù)個數(shù)為r的條件，候選組合從只有一個數(shù)字1開始。因該候選解滿足除問題規(guī)模之外的全部條件，擴(kuò)大其規(guī)模，并使其滿足上述條件（1），候選組合
改為1，2。繼續(xù)這一過程，得到候選組合1，2，3。該候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的全部條件，因而是一個解。在該解的基礎(chǔ)上，選下一個候選解，因a
[2]上的3調(diào)整為4，以及以后調(diào)整為5都滿足問題的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于對5不能再作調(diào)整，就要從a[2]回溯到a[1]，這
時，a[1]=2，可以調(diào)整為3，并向前試探，得到解1，3，4。重復(fù)上述向前試探和向后回溯，直至要從a[0]再回溯時，說明已經(jīng)找完問題的全部解。按
上述思想寫成程序如下：
【程序】
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int r)
{ int i,j;
i=0;
a=1;
do {
if (a-i<=m-r+1
{ if (i==r-1)
{ for (j=0;j
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
a++;
continue;
}
else
{ if (i==0)
return;
a[--i]++;
}
} while (1)
}
main()
{ comb(5,3);
}
【問題】 填字游戲
問題描述：在3×3個方格的方陣中要填入數(shù)字1到N（N≥10）內(nèi)的某9個數(shù)字，每個方格填一個整數(shù)，似的所有相鄰兩個方格內(nèi)的兩個整數(shù)之和為質(zhì)數(shù)。試求出所有滿足這個要求的各種數(shù)字填法。
可
用試探發(fā)找到問題的解，即從第一個方格開始，為當(dāng)前方格尋找一個合理的整數(shù)填入，并在當(dāng)前位置正確填入后，為下一方格尋找可填入的合理整數(shù)。如不能為當(dāng)前
方格找到一個合理的可填證書，就要回退到前一方格，調(diào)整前一方格的填入數(shù)。當(dāng)?shù)诰艂€方格也填入合理的整數(shù)后，就找到了一個解，將該解輸出，并調(diào)整第九個的
填入的整數(shù)，尋找下一個解。
為找到一個滿足要求的9個數(shù)的填法，從還未填一個數(shù)開始，按某種順序（如從小到大的順序）每次在當(dāng)前位置填入一個整
數(shù)，然后檢查當(dāng)前填入的整數(shù)是否能滿足要求。在滿足要求的情況下，繼續(xù)用同樣的方法為下一方格填入整數(shù)。如果最近填入的整數(shù)不能滿足要求，就改變填入的整
數(shù)。如對當(dāng)前方格試盡所有可能的整數(shù)，都不能滿足要求，就得回退到前一方格，并調(diào)整前一方格填入的整數(shù)。如此重復(fù)執(zhí)行擴(kuò)展、檢查或調(diào)整、檢查，直到找到一
個滿足問題要求的解，將解輸出。
回溯法找一個解的算法：
{ int m=0,ok=1;
int n=8;
do{
if (ok) 擴(kuò)展;
else 調(diào)整;
ok=檢查前m個整數(shù)填放的合理性;
} while ((!ok||m!=n)&&(m!=0))
if (m!=0) 輸出解;
else 輸出無解報告；
}
如果程序要找全部解，則在將找到的解輸出后，應(yīng)繼續(xù)調(diào)整最后位置上填放的整數(shù)，試圖去找下一個解。相應(yīng)的算法如下：
回溯法找全部解的算法：
{ int m=0,ok=1;
int n=8;
do{
if (ok)
{ if (m==n)
{ 輸出解；
調(diào)整；
}
else 擴(kuò)展;
}
else 調(diào)整;
ok=檢查前m個整數(shù)填放的合理性;
} while (m!=0);
}
為
了確保程序能夠終止，調(diào)整時必須保證曾被放棄過的填數(shù)序列不會再次實(shí)驗(yàn)，即要求按某種有許模型生成填數(shù)序列。給解的候選者設(shè)定一個被檢驗(yàn)的順序，按這個順
序逐一形成候選者并檢驗(yàn)。從小到大或從大到小，都是可以采用的方法。如擴(kuò)展時，先在新位置填入整數(shù)1，調(diào)整時，找當(dāng)前候選解中下一個還未被使用過的整數(shù)。
將上述擴(kuò)展、調(diào)整、檢驗(yàn)都編寫成程序，細(xì)節(jié)見以下找全部解的程序。
【程序】
# include
# define N 12
void write(int a[ ])
{ int i,j;
for (i=0;i<3;i++)
{ for (j=0;j<3;j++)
printf(“%3d”,a[3*i+j]);
printf(“\n”);
}
scanf(“%*c”);
}
int b[N+1];
int a[10];
int isprime(int m)
{ int i;
int primes[ ]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};
if (m==1||m%2=0) return 0;
for (i=0;primes>0;i++)
if (m==primes) return 1;
for (i=3;i*i<=m;)
{ if (m%i==0) return 0;
i+=2;
}
return 1;
}
int checkmatrix[ ][3]={ {-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},
{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};
int selectnum(int start)
{ int j;
for (j=start;j<=N;j++)
if (b[j]) return j
return 0;
}
int check(int pos)
{ int i,j;
if (pos<0) return 0;
for (i=0;(j=checkmatrix[pos])>=0;i++)
if (!isprime(a[pos]+a[j])
return 0;
return 1;
}
int extend(int pos)
{ a[++pos]=selectnum(1);
b[a][pos]]=0;
return pos;
}
int change(int pos)
{ int j;
while (pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0)
b[a[pos--]]=1;
if (pos<0) return –1
b[a[pos]]=1;
a[pos]=j;
b[j]=0;
return pos;
}
void find()
{ int ok=0,pos=0;
a[pos]=1;
b[a[pos]]=0;
do {
if (ok)
if (pos==8)
{ write(a);
pos=change(pos);
}
else pos=extend(pos);
else pos=change(pos);
ok=check(pos);
} while (pos>=0)
}
void main()
{ int i;
for (i=1;i<=N;i++)
b=1;
find();
}
【問題】 n皇后問題
問題描述：求出在一個n×n的棋盤上，放置n個不能互相捕捉的國際象棋“皇后”的所有布局。
這是來源于國際象棋的一個問題。皇后可以沿著縱橫和兩條斜線4個方向相互捕捉。如圖所示，一個皇后放在棋盤的第4行第3列位置上，則棋盤上凡打“×”的位置上的皇后就能與這個皇后相互捕捉。
1 2 3 4 5 6 7 8
× ×
× × ×
× × ×
× × Q × × × × ×
× × ×
× × ×
× ×
× ×
從圖中可以得到以下啟示：一個合適的解應(yīng)是在每列、每行上只有一個皇后，且一條斜線上也只有一個皇后。
求
解過程從空配置開始。在第1列至第m列為合理配置的基礎(chǔ)上，再配置第m+1列，直至第n列配置也是合理時，就找到了一個解。接著改變第n列配置，希望獲得
下一個解。另外，在任一列上，可能有n種配置。開始時配置在第1行，以后改變時，順次選擇第2行、第3行、…、直到第n行。當(dāng)?shù)趎行配置也找不到一個合理
的配置時，就要回溯，去改變前一列的配置。得到求解皇后問題的算法如下：
{ 輸入棋盤大小值n；
m=0;
good=1;
do {
if (good)
if (m==n)
{ 輸出解；
改變之，形成下一個候選解;
}
else 擴(kuò)展當(dāng)前候選接至下一列；
else 改變之，形成下一個候選解；
good=檢查當(dāng)前候選解的合理性；
} while (m!=0);
}
在
編寫程序之前，先確定邊式棋盤的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。比較直觀的方法是采用一個二維數(shù)組，但仔細(xì)觀察就會發(fā)現(xiàn)，這種表示方法給調(diào)整候選解及檢查其合理性帶來困難。更
好的方法乃是盡可能直接表示那些常用的信息。對于本題來說，“常用信息”并不是皇后的具體位置，而是“一個皇后是否已經(jīng)在某行和某條斜線合理地安置好
了”。因在某一列上恰好放一個皇后，引入一個一維數(shù)組（col[
]），值col表示在棋盤第i列、col行有一個皇后。例如：col[3]=4，就表示在棋盤的第3列、第4行上有一個皇后。另外，為了使程序在找完了全
部解后回溯到最初位置，設(shè)定col[0]的初值為0當(dāng)回溯到第0列時，說明程序已求得全部解，結(jié)束程序運(yùn)行。
為使程序在檢查皇后配置的合理性方面簡易方便，引入以下三個工作數(shù)組：
（1） 數(shù)組a[ ]，a[k]表示第k行上還沒有皇后；
（2） 數(shù)組b[ ]，b[k]表示第k列右高左低斜線上沒有皇后；
（3） 數(shù)組 c[ ]，c[k]表示第k列左高右低斜線上沒有皇后；
棋盤中同一右高左低斜線上的方格，他們的行號與列號之和相同；同一左高右低斜線上的方格，他們的行號與列號之差均相同。
初
始時，所有行和斜線上均沒有皇后，從第1列的第1行配置第一個皇后開始，在第m列col[m]行放置了一個合理的皇后后，準(zhǔn)備考察第m+1列時，在數(shù)組
a[ ]、b[ ]和c[
]中為第m列，col[m]行的位置設(shè)定有皇后標(biāo)志；當(dāng)從第m列回溯到第m-1列，并準(zhǔn)備調(diào)整第m-1列的皇后配置時，清除在數(shù)組a[ ]、b[
]和c[ ]中設(shè)置的關(guān)于第m-1列，col[m-1]行有皇后的標(biāo)志。一個皇后在m列，col[m]行方格內(nèi)配置是合理的，由數(shù)組a[ ]、b[
]和c[ ]對應(yīng)位置的值都為1來確定。細(xì)節(jié)見以下程序：
【程序】
# include
# include
# define MAXN 20
int n,m,good;
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
void main()
{ int j;
char awn;
printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n);
for (j=0;j<=n;j++) a[j]=1;
for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j]=c[j]=1;
m=1; col[1]=1; good=1; col[0]=0;
do {
if (good)
if (m==n)
{ printf(“列\(zhòng)t行”);
for (j=1;j<=n;j++)
printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]);
printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”);
scanf(“%c”,&awn);
if (awn==’Q’||awn==’q’) exit(0);
while (col[m]==n)
{ m--;
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;
}
col[m]++;
}
else
{ a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=0;
col[++m]=1;
}
else
{ while (col[m]==n)
{ m--;
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;
}
col[m]++;
}
good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[n+m-col[m]];
} while (m!=0);
}
試探法找解算法也常常被編寫成遞歸函數(shù)，下面兩程序中的函數(shù)queen_all()和函數(shù)queen_one()能分別用來解皇后問題的全部解和一個解。
【程序】
# include
# include
# define MAXN 20
int n;
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
void main()
{ int j;
printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n);
for (j=0;j<=n;j++) a[j]=1;
for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j]=c[j]=1;
queen_all(1,n);
}
void queen_all(int k,int n)
{ int i,j;
char awn;
for (i=1;i<=n;i++)
if (a&&b[k+i]&&c[n+k-i])
{ col[k]=i;
a=b[k+i]=c[n+k-i]=0;
if (k==n)
{ printf(“列\(zhòng)t行”);
for (j=1;j<=n;j++)
printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]);
printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”);
scanf(“%c”,&awn);
if (awn==’Q’||awn==’q’) exit(0);
}
queen_all(k+1,n);
a=b[k+i]=c[n+k-i];
}
}
采
用遞歸方法找一個解與找全部解稍有不同，在找一個解的算法中，遞歸算法要對當(dāng)前候選解最終是否能成為解要有回答。當(dāng)它成為最終解時，遞歸函數(shù)就不再遞歸試
探，立即返回；若不能成為解，就得繼續(xù)試探。設(shè)函數(shù)queen_one()返回1表示找到解，返回0表示當(dāng)前候選解不能成為解。細(xì)節(jié)見以下函數(shù)。
【程序】
# define MAXN 20
int n;
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
int queen_one(int k,int n)
{ int i,found;
i=found=0;
While (!found&&i
{ i++;
if (a&&b[k+i]&&c[n+k-i])
{ col[k]=i;
a=b[k+i]=c[n+k-i]=0;
if (k==n) return 1;
else
found=queen_one(k+1,n);
a=b[k+i]=c[n+k-i]=1;
}
}
return found;
}
六、貪婪法
貪婪法是一種不追求最優(yōu)解，只希望得到較為滿意解的方法。貪婪法一般可以快速得到滿意的解，因?yàn)樗∪チ藶檎易顑?yōu)解要窮盡所有可能而必須耗費(fèi)的大量時間。貪婪法常以當(dāng)前情況為基礎(chǔ)作最優(yōu)選擇，而不考慮各種可能的整體情況，所以貪婪法不要回溯。
例
如平時購物找錢時，為使找回的零錢的硬幣數(shù)最少，不考慮找零錢的所有各種發(fā)表方案，而是從最大面值的幣種開始，按遞減的順序考慮各幣種，先盡量用大面值的
幣種，當(dāng)不足大面值幣種的金額時才去考慮下一種較小面值的幣種。這就是在使用貪婪法。這種方法在這里總是最優(yōu)，是因?yàn)殂y行對其發(fā)行的硬幣種類和硬幣面值的
巧妙安排。如只有面值分別為1、5和11單位的硬幣，而希望找回總額為15單位的硬幣。按貪婪算法，應(yīng)找1個11單位面值的硬幣和4個1單位面值的硬幣，
共找回5個硬幣。但最優(yōu)的解應(yīng)是3個5單位面值的硬幣。
【問題】 裝箱問題
問題描述：裝箱問題可簡述如下：設(shè)有編號為0、
1、…、n-1的n種物品，體積分別為v0、v1、…、vn-1。將這n種物品裝到容量都為V的若干箱子里。約定這n種物品的體積均不超過V，即對于
0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的裝箱方案所需要的箱子數(shù)目可能不同。裝箱問題要求使裝盡這n種物品的箱子數(shù)要少。
若考察將n種物品的集合分劃
成n個或小于n個物品的所有子集，最優(yōu)解就可以找到。但所有可能劃分的總數(shù)太大。對適當(dāng)大的n，找出所有可能的劃分要花費(fèi)的時間是無法承受的。為此，對裝
箱問題采用非常簡單的近似算法，即貪婪法。該算法依次將物品放到它第一個能放進(jìn)去的箱子中，該算法雖不能保證找到最優(yōu)解，但還是能找到非常好的解。不失一
般性，設(shè)n件物品的體積是按從大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不滿足上述要求，只要先對這n件物品按它們的體積從大到小排序，然后按排
序結(jié)果對物品重新編號即可。裝箱算法簡單描述如下：
{ 輸入箱子的容積；
輸入物品種數(shù)n；
按體積從大到小順序，輸入各物品的體積；
預(yù)置已用箱子鏈為空；
預(yù)置已用箱子計數(shù)器box_count為0；
for (i=0;i
{ 從已用的第一只箱子開始順序?qū)ふ夷芊湃胛锲穒 的箱子j；
if （已用箱子都不能再放物品i）
{ 另用一個箱子，并將物品i放入該箱子；
box_count++；
}
else
將物品i放入箱子j；
}
}
上
述算法能求出需要的箱子數(shù)box_count，并能求出各箱子所裝物品。下面的例子說明該算法不一定能找到最優(yōu)解，設(shè)有6種物品，它們的體積分別為：
60、45、35、20、20和20單位體積，箱子的容積為100個單位體積。按上述算法計算，需三只箱子，各箱子所裝物品分別為：第一只箱子裝物品1、
3；第二只箱子裝物品2、4、5；第三只箱子裝物品6。而最優(yōu)解為兩只箱子，分別裝物品1、4、5和2、3、6。
若每只箱子所裝物品用鏈表來表示，鏈表首結(jié)點(diǎn)指針存于一個結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)記錄尚剩余的空間量和該箱子所裝物品鏈表的首指針。另將全部箱子的信息也構(gòu)成鏈表。以下是按以上算法編寫的程序。
【程序】
# include
# include
typedef struct ele
{ int vno;
struct ele *link;
} ELE;
typedef struct hnode
{ int remainder;
ELE *head;
Struct hnode *next;
} HNODE;
void main()
{ int n, i, box_count, box_volume, *a;
HNODE *box_h, *box_t, *j;
ELE *p, *q;
Printf(“輸入箱子容積\n”);
Scanf(“%d”,&box_volume);
Printf(“輸入物品種數(shù)\n”);
Scanf(“%d”,&n);
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
Printf(“請按體積從大到小順序輸入各物品的體積：”);
For (i=0;i
Box_h=box_t=NULL;
Box_count=0;
For (i=0;i
{ p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE));
p->vno=i;
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next)
if (j->remainder>=a) break;
if (j==NULL)
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE));
j->remainder=box_volume-a;
j->head=NULL;
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j;
else box_t=boix_t->next=j;
j->next=NULL;
box_count++;
}
else j->remainder-=a;
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link);
if (q==NULL)
{ p->link=j->head;
j->head=p;
}
else
{ p->link=NULL;
q->link=p;
}
}
printf(“共使用了%d只箱子”，box_count);
printf(“各箱子裝物品情況如下：”);
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++)
{ printf(“第%2d只箱子，還剩余容積%4d，所裝物品有；\n”,I,j->remainder);
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link)
printf(“%4d”,p->vno+1);
printf(“\n”);
}
}
【問題】 馬的遍歷
問題描述：在8×8方格的棋盤上，從任意指定的方格出發(fā)，為馬尋找一條走遍棋盤每一格并且只經(jīng)過一次的一條路徑。
馬
在某個方格，可以在一步內(nèi)到達(dá)的不同位置最多有8個，如圖所示。如用二維數(shù)組board[ ][
]表示棋盤，其元素記錄馬經(jīng)過該位置時的步驟號。另對馬的8種可能走法（稱為著法）設(shè)定一個順序，如當(dāng)前位置在棋盤的（i，j）方格，下一個可能的位置依
次為（i+2，j+1）、（i+1，j+2）、（i-1，j+2）、（i-2，j+1）、（i-2，j-1）、（i-1，j-2）、（i+1，j-2）、
（i+2，j-1），實(shí)際可以走的位置盡限于還未走過的和不越出邊界的那些位置。為便于程序的同意處理，可以引入兩個數(shù)組，分別存儲各種可能走法對當(dāng)前位
置的縱橫增量。
4 3
5 2
馬
6 1
7 0
對于本題，一般可以采用回溯法，這里采用
Warnsdoff策略求解，這也是一種貪婪法，其選擇下一出口的貪婪標(biāo)準(zhǔn)是在那些允許走的位置中，選擇出口最少的那個位置。如馬的當(dāng)前位置（i，j）只
有三個出口，他們是位置（i+2，j+1）、（i-2，j+1）和（i-1，j-2），如分別走到這些位置，這三個位置又分別會有不同的出口，假定這三個
位置的出口個數(shù)分別為4、2、3，則程序就選擇讓馬走向（i-2，j+1）位置。
由于程序采用的是一種貪婪法，整個找解過程是一直向前，沒有回
溯，所以能非常快地找到解。但是，對于某些開始位置，實(shí)際上有解，而該算法不能找到解。對于找不到解的情況，程序只要改變8種可能出口的選擇順序，就能找
到解。改變出口選擇順序，就是改變有相同出口時的選擇標(biāo)準(zhǔn)。以下程序考慮到這種情況，引入變量start，用于控制8種可能著法的選擇順序。開始時為0，
當(dāng)不能找到解時，就讓start增1，重新找解。細(xì)節(jié)以下程序。
【程序】
# include
int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2};
int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1};
int board[8][8];
int exitn(int i,int j,int s,int a[ ])
{ int i1,j1,k,count;
for (count=k=0;k<8;k++)
{ i1=i+delta_i[(s+k)%8];
j1=i+delta_j[(s+k)%8];
if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0)
a[count++]=(s+k)%8;
}
return count;
}
int next(int i,int j,int s)
{ int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp;
m=exitn(i,j,s,a);
if (m==0) return –1;
for (min=9,k=0;k
{ temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b);
if (temp
{ min=temp;
kk=a[k];
}
}
return kk;
}
void main()
{ int sx,sy,i,j,step,no,start;
for (sx=0;sx<8;sx++)
for (sy=0;sy<8;sy++)
{ start=0;
do {
for (i=0;i<8;i++)
for (j=0;j<8;j++)
board[j]=0;
board[sx][sy]=1;
I=sx; j=sy;
For (step=2;step<64;step++)
{ if ((no=next(i,j,start))==-1) break;
I+=delta_i[no];
j+=delta_j[no];
board[j]=step;
}
if (step>64) break;
start++;
} while(step<=64)
for (i=0;i<8;i++)
{ for (j=0;j<8;j++)
printf(“%4d”,board[j]);
printf(“\n\n”);
}
scanf(“%*c”);
}
}
七、分治法【問題】 大整數(shù)乘法
問題描述：
通常，在分析一個算法的計算復(fù)雜性時，都將加法和乘法運(yùn)算當(dāng)作是基本運(yùn)算來處理，即將執(zhí)行一次加法或乘法運(yùn)
算所需的計算時間當(dāng)作一個僅取決于計算機(jī)硬件處理速度的常數(shù)。
這個假定僅在計算機(jī)硬件能對參加運(yùn)算的整數(shù)直接表示和處理時才是合理的。然而，在某些情況下，我們要處理很
大的整數(shù)，它無法在計算機(jī)硬件能直接表示的范圍內(nèi)進(jìn)行處理。若用浮點(diǎn)數(shù)來表示它，則只能近似地表示它的大小
，計算結(jié)果中的有效數(shù)字也受到限制。若要精確地表示大整數(shù)并在計算結(jié)果中要求精確地得到所有位數(shù)上的數(shù)字，
就必須用軟件的方法來實(shí)現(xiàn)大整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算。
請設(shè)計一個有效的算法，可以進(jìn)行兩個n位大整數(shù)的乘法運(yùn)算。
設(shè)X和Y都是n位的二進(jìn)制整數(shù)，現(xiàn)在要計算它們的乘積XY。我們可以用小學(xué)所學(xué)的方法來設(shè)計一個計算乘積XY的算
法，但是這樣做計算步驟太多，顯得效率較低。如果將每2個1位數(shù)的乘法或加法看作一步運(yùn)算，那么這種方法要作
O(n2)步運(yùn)算才能求出乘積XY。下面我們用分治法來設(shè)計一個更有效的大整數(shù)乘積算法。
圖6-3 大整數(shù)X和Y的分段
我們將n位的二進(jìn)制整數(shù)X和Y各分為2段，每段的長為n/2位（為簡單起見，假設(shè)n是2的冪），如圖6-3所示。
由此，X=A2n/2+B，Y=C2n/2+D。這樣，X和Y的乘積為：
XY=(A2n/2+B)(C2n/2+D)=AC2n+(AD+CB)2n/2+BD （1）
如果按式（1）計算XY，則我們必須進(jìn)行4次n/2位整數(shù)的乘法(AC，AD，BC和BD)，以及3次不超過n位的整數(shù)加法（
分別對應(yīng)于式（1）中的加號），此外還要做2次移位（分別對應(yīng)于式（1）中乘2n和乘2n/2）。所有這些加法和移
位共用O（n）步運(yùn)算。設(shè)T（n）是2個n位整數(shù)相乘所需的運(yùn)算總數(shù)，則由式（1），我們有：
（2）
由此可得T（n）=O（n2）。因此，用（1）式來計算X和Y的乘積并不比小學(xué)生的方法更有效。要想改進(jìn)算法的計算
復(fù)雜性，必須減少乘法次數(shù)。為此我們把XY寫成另一種形式：
XY=AC2n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]2n/2+BD （3）
雖然，式（3）看起來比式（1）復(fù)雜些，但它僅需做3次n/2位整數(shù)的乘法（AC，BD和（A-B）（D-C）），6次加、
減法和2次移位。由此可得：
（4）
用解遞歸方程的套用公式法馬上可得其解為T(n)=O(nlog3)=O(n1.59)。利用式（3），并考慮到X和Y的符號對結(jié)果
的影響，我們給出大整數(shù)相乘的完整算法MULT如下：
function MULT(X，Y，n); {X和Y為2個小于2n的整數(shù)，返回結(jié)果為X和Y的乘積XY}
begin
S=SIGN(X)*SIGN(Y); {S為X和Y的符號乘積}
X=ABS(X);
Y=ABS(Y); {X和Y分別取絕對值}
if n=1 then
if (X=1)and(Y=1) then return(S)
else return(0)
else begin
A=X的左邊n/2位;
B=X的右邊n/2位;
C=Y的左邊n/2位;
D=Y的右邊n/2位;
ml=MULT(A,C,n/2);
m2=MULT(A-B,D-C,n/2);
m3=MULT(B,D,n/2);
S=S*(m1*2n+(m1+m2+m3)*2n/2+m3);
return(S);
end;
end;
上述二進(jìn)制大整數(shù)乘法同樣可應(yīng)用于十進(jìn)制大整數(shù)的乘法以提高乘法的效率減少乘法次數(shù)。
【問題】 最接近點(diǎn)對問題
問題描述：
在應(yīng)用中，常用諸如點(diǎn)、圓等簡單的幾何對象代表現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)體。在涉及這些幾何對象的問題中，常需要了解
其鄰域中其他幾何對象的信息。例如，在空中交通控制問題中，若將飛機(jī)作為空間中移動的一個點(diǎn)來看待，則具有
最大碰撞危險的2架飛機(jī)，就是這個空間中最接近的一對點(diǎn)。這類問題是計算幾何學(xué)中研究的基本問題之一。下面
我們著重考慮平面上的最接近點(diǎn)對問題。
最接近點(diǎn)對問題的提法是：給定平面上n個點(diǎn)，找其中的一對點(diǎn)，使得在n個點(diǎn)的所有點(diǎn)對中，該點(diǎn)對的距離最小。
嚴(yán)格地說，最接近點(diǎn)對可能多于1對。為了簡單起見，這里只限于找其中的一對。
這個問題很容易理解，似乎也不難解決。我們只要將每一點(diǎn)與其他n-1個點(diǎn)的距離算出，找出達(dá)到最小距離的兩個
點(diǎn)即可。然而，這樣做效率太低，需要O(n2)的計算時間。我們能否找到問題的一個O (nlogn)算法。
這個問題顯然滿足分治法的第一個和第二個適用條件，我們考慮將所給的平面上n個點(diǎn)的集合S分成2個子集S1和S2
，每個子集中約有n/2個點(diǎn)，然后在每個子集中遞歸地求其最接近的點(diǎn)對。在這里，一個關(guān)鍵的問題是如何實(shí)現(xiàn)分
治法中的合并步驟，即由S1和S2的最接近點(diǎn)對，如何求得原集合S中的最接近點(diǎn)對，因?yàn)?S1和S2的最接近點(diǎn)對未必
就是S的最接近點(diǎn)對。如果組成S的最接近點(diǎn)對的2個點(diǎn)都在S1中或都在S2中，則問題很容易解決。但是，如果這2個
點(diǎn)分別在 S1和S2中，則對于S1中任一點(diǎn)p，S2中最多只有n/2個點(diǎn)與它構(gòu)成最接近點(diǎn)對的候選者，仍需做n2/4次計
算和比較才能確定S的最接近點(diǎn)對。因此，依此思路，合并步驟耗時為O(n2)。整個算法所需計算時間T(n)應(yīng)滿足：
T(n)=2T(n/2)+O(n2)
它的解為T(n)=O(n2)，即與合并步驟的耗時同階，顯示不出比用窮舉的方法好。從解遞歸方程的套用公式法，我們
看到問題出在合并步驟耗時太多。這啟發(fā)我們把注意力放在合并步驟上。
為了使問題易于理解和分析，我們先來考慮一維的情形。此時S中的n個點(diǎn)退化為x軸上的n個實(shí)數(shù)x1、x2、…、xn。
最接近點(diǎn)對即為這n個實(shí)數(shù)中相差最小的 2個實(shí)數(shù)。我們顯然可以先將x1、x2、…、xn排好序，然后，用一次線性
掃描就可以找出最接近點(diǎn)對。這種方法主要計算時間花在排序上，因此如在排序算法中所證明的，耗時為O(nlogn)
。然而這種方法無法直接推廣到二維的情形。因此，對這種一維的簡單情形，我們還是嘗試用分治法來求解，并希
望能推廣到二維的情形。
假設(shè)我們用x軸上某個點(diǎn)m將S劃分為2個子集S1和S2，使得S1={x∈S | x≤m}；S2={x∈S | x>m}。這樣一來，對于
所有p∈S1和q∈S2有p
遞歸地在S1和S2上找出其最接近點(diǎn)對{p1，p2}和{q1，q2}，并設(shè)δ=min{|p1-p2|，|q1-q2|}，S中的最接近點(diǎn)對或
者是{p1，p2}，或者是{q1，q2}，或者是某個{p3，q3}，其中p3∈S1且q3∈S2。如圖1所示。
圖1 一維情形的分治法
我們注意到，如果S的最接近點(diǎn)對是{p3，q3}，即 | p3-q3 | < δ，則p3和q3兩者與m的距離不超過δ，即 | p3-m
| < δ，| q3-m | < δ，也就是說，p3∈(m-δ，m)，q3∈(m，m+δ)。由于在S1中，每個長度為δ的半閉區(qū)間至
多包含一個點(diǎn)（否則必有兩點(diǎn)距離小于δ），并且m是 S1和S2的分割點(diǎn)，因此(m-δ，m)中至多包含S中的一個點(diǎn)。
同理，(m，m+δ)中也至多包含S中的一個點(diǎn)。由圖1可以看出，如果(m-δ，m)中有S中的點(diǎn)，則此點(diǎn)就是S1中最大
點(diǎn)。同理，如果(m，m+δ)中有S中的點(diǎn)，則此點(diǎn)就是S2中最小點(diǎn)。因此，我們用線性時間就能找到區(qū)間(m-δ，m)
和(m，m+δ)中所有點(diǎn)，即p3和q3。從而我們用線性時間就可以將S1的解和S2的解合并成為S的解。也就是說，按這
種分治策略，合并步可在O(n) 時間內(nèi)完成。這樣是否就可以得到一個有效的算法了呢？
還有一個問題需要認(rèn)真考慮，即分割點(diǎn)m的選取，及S1和S2的劃分。選取分割點(diǎn)m的一個基本要求是由此導(dǎo)出集合S
的一個線性分割，即S=S1∪S2 ，S1∩S2=Φ，且S1 {x | x≤m}；S2 {x | x>m}。容易看出，如果選取m=[max（S）
+min（S）]/2，可以滿足線性分割的要求。選取分割點(diǎn)后，再用O(n)時間即可將S劃分成 S1={x∈S |
x≤m}和S2={x∈S | x>m}。然而，這樣選取分割點(diǎn)m，有可能造成劃分出的子集S1和S2的不平衡。例如在最壞情況
下，|S1|=1，|S2|=n-1，由此產(chǎn)生的分治法在最壞情況下所需的計算時間T（n）應(yīng)滿足遞歸方程：
T（n）=T（n-1）+O（n）
它的解是T（n）=O（n2）。這種效率降低的現(xiàn)象可以通過分治法中“平衡子問題”的方法加以解決。也就是說，我
們可以通過適當(dāng)選擇分割點(diǎn)m，使S1和 S2中有大致相等個數(shù)的點(diǎn)。自然地，我們會想到用S的n個點(diǎn)的坐標(biāo)的中位數(shù)
來作分割點(diǎn)。在選擇算法中介紹的選取中位數(shù)的線性時間算法使我們可以在O（n）時間內(nèi)確定一個平衡的分割點(diǎn)m
。
至此，我們可以設(shè)計出一個求一維點(diǎn)集S中最接近點(diǎn)對的距離的算法pair如下。
Float pair（S）;
{ if | S | =2 δ= | x[2]－x[1] | /*x[1..n]存放的是S中n個點(diǎn)的坐標(biāo)*/
else
{ if ( | S | =1) δ=∞
else
{ m=S中各點(diǎn)的坐標(biāo)值的中位數(shù);
構(gòu)造S1和S2，使S1={x∈S | x≤m}，S2={x∈S | x＞m};
δ1=pair(S1);
δ2=pair(S2);
p=max(S1);
q=min(S2);
δ=min(δ1，δ2，q-p);
}
return(δ);
}
由以上的分析可知，該算法的分割步驟和合并步驟總共耗時O(n)。因此，算法耗費(fèi)的計算時間T(n)滿足遞歸方程：
解此遞歸方程可得T(n)=O(nlogn)。
【問題】循環(huán)賽日程表
問題描述：設(shè)有n=2k個運(yùn)動員要進(jìn)行網(wǎng)球循環(huán)賽。現(xiàn)要設(shè)計一個滿足以下要求的比賽日程表：
（1）每個選手必須與其他n-1個選手各賽一次；
（2）每個選手一天只能參賽一次；
（3）循環(huán)賽在n-1天內(nèi)結(jié)束。
請按此要求將比賽日程表設(shè)計成有n行和n-1列的一個表。在表中的第i行，第j列處填入第i個選手在第j天所遇到的
選手。其中1≤i≤n，1≤j≤n-1。
按分治策略，我們可以將所有的選手分為兩半，則n個選手的比賽日程表可以通過n/2個選手的比賽日程表來決定。
遞歸地用這種一分為二的策略對選手進(jìn)行劃分，直到只剩下兩個選手時，比賽日程表的制定就變得很簡單。這時只
要讓這兩個選手進(jìn)行比賽就可以了。
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 4 3 6 7 8 5
3 4 1 2 7 8 5 6
1 2 3 4 3 2 1 8 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8 1 4 3 2
1 2 1 4 3 6 5 8 7 2 1 4 3
1 2 3 4 1 2 7 8 5 6 3 2 1 4
2 1 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1
（1） （2） （3）
圖1 2個、4個和8個選手的比賽日程表
圖1 所列出的正方形表（3）是8個選手的比賽日程表。其中左上角與左下角的兩小塊分別為選手1至選手4和選手5
至選手8前3天的比賽日程。據(jù)此，將左上角小塊中的所有數(shù)字按其相對位置抄到右下角，又將左下角小塊中的所有
數(shù)字按其相對位置抄到右上角，這樣我們就分別安排好了選手1至選手4和選手5至選手8在后4 天的比賽日程。依此
思想容易將這個比賽日程表推廣到具有任意多個選手的情形。
八、動態(tài)規(guī)劃法
經(jīng)常會遇到復(fù)雜問題不能簡單地分解成幾個子問題，而會分解出一系列的子問題。簡單地采用把大問題分解成子問
題，并綜合子問題的解導(dǎo)出大問題的解的方法，問題求解耗時會按問題規(guī)模呈冪級數(shù)增加。
為了節(jié)約重復(fù)求相同子問題的時間，引入一個數(shù)組，不管它們是否對最終解有用，把所有子問題的解存于該數(shù)組中
，這就是動態(tài)規(guī)劃法所采用的基本方法。以下先用實(shí)例說明動態(tài)規(guī)劃方法的使用。
【問題】 求兩字符序列的最長公共字符子序列
問題描述：字符序列的子序列是指從給定字符序列中隨意地（不一定連續(xù)）去掉若干個字符（可能一個也不去掉）
后所形成的字符序列。令給定的字符序列X= “x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，
存在X的一個嚴(yán)格遞增下標(biāo)序列，使得對所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”
是X的一個子序列。
給定兩個序列A和B，稱序列Z是A和B的公共子序列，是指Z同是A和B的子序列。問題要求已知兩序列A和B的最長公共
子序列。
如采用列舉A的所有子序列，并一一檢查其是否又是B的子序列，并隨時記錄所發(fā)現(xiàn)的子序列，最終求出最長公共子
序列。這種方法因耗時太多而不可取。
考慮最長公共子序列問題如何分解成子問題，設(shè)A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，
z1，…，zk-1”為它們的最長公共子序列。不難證明有以下性質(zhì)：
（1）
如果am-1=bn-1，則zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”
的一個最長公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=am-1，蘊(yùn)涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，
bn-1”的一個最長公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=bn-1，蘊(yùn)涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，
bn-2”的一個最長公共子序列。
這樣，在找A和B的公共子序列時，如有am-1=bn-1，則進(jìn)一步解決一個子問題，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b
1，…，bm-2”的一個最長公共子序列；如果am-1!=bn-1，則要解決兩個子問題，找出“a0，a1，…，am-2”和“b
0，b1，…，bn-1”的一個最長公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公共
子序列，再取兩者中較長者作為A和B的最長公共子序列。
定義c[j]為序列“a0，a1，…，ai-2”和“b0，b1，…，bj-1”的最長公共子序列的長度，計算c[j]可遞歸
地表述如下：
（1）c[j]=0 如果i=0或j=0；
（2）c[j]= c[i-1][j-1]+1 如果I，j>0，且a[i-1]=b[j-1]；
（3）c[j]=max（c[j-1]，c[i-1][j]） 如果I，j>0，且a[i-1]!=b[j-1]。
按此算式可寫出計算兩個序列的最長公共子序列的長度函數(shù)。由于c[j]的產(chǎn)生僅依賴于c[i-1][j-1]、c[i-1][j
]和c[j-1]，故可以從c[m][n]開始，跟蹤c[j]的產(chǎn)生過程，逆向構(gòu)造出最長公共子序列。細(xì)節(jié)見程序。
# include
# include
# define N 100
char a[N],b[N],str[N];
int lcs_len(char *a, char *b, int c[ ][ N])
{ int m=strlen(a), n=strlen(b), i,j;
for (i=0;i<=m;i++) c[0]=0;
for (i=0;i<=n;i++) c[0]=0;
for (i=1;i<=m;i++)
for (j=1;j<=m;j++)
if (a[i-1]==b[j-1])
c[j]=c[i-1][j-1]+1;
else if (c[i-1][j]>=c[j-1])
c[j]=c[i-1][j];
else
c[j]=c[j-1];
return c[m][n];
}
char *buile_lcs(char s[ ],char *a, char *b)
{ int k, i=strlen(a), j=strlen(b);
k=lcs_len(a,b,c);
s[k]=’\0’;
while (k>0)
if (c[j]==c[i-1][j]) i--;
else if (c[j]==c[j-1]) j--;
else { s[--k]=a[i-1];
i--; j--;
}
return s;
}
void main()
{ printf (“Enter two string（<%d）!\n”,N);
scanf(“%s%s”,a,b);
printf(“LCS=%s\n”,build_lcs(str,a,b));
}
1、動態(tài)規(guī)劃的適用條件
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定條件，它就失去了作用。同樣，動態(tài)規(guī)劃也并不是萬能的。適用動態(tài)
規(guī)劃的問題必須滿足最優(yōu)化原理和無后效性。
（1）最優(yōu)化原理（最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)）
最優(yōu)化原理可這樣闡述：一個最優(yōu)化策略具有這樣的性質(zhì)，不論過去狀態(tài)和決策如何，對前面的決策所形成的狀態(tài)
而言，余下的諸決策必須構(gòu)成最優(yōu)策略。簡而言之，一個最優(yōu)化策略的子策略總是最優(yōu)的。一個問題滿足最優(yōu)化原
理又稱其具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。
圖2
例如圖2中，若路線I和J是A到C的最優(yōu)路徑，則根據(jù)最優(yōu)化原理，路線J必是從B到C的最優(yōu)路線。這可用反證法證明
：假設(shè)有另一路徑J’是B到C的最優(yōu)路徑，則A到C的路線取I和J’比I和J更優(yōu)，矛盾。從而證明J’必是B到C的最優(yōu)
路徑。
最優(yōu)化原理是動態(tài)規(guī)劃的基礎(chǔ)，任何問題，如果失去了最優(yōu)化原理的支持，就不可能用動態(tài)規(guī)劃方法計算。根據(jù)最
優(yōu)化原理導(dǎo)出的動態(tài)規(guī)劃基本方程是解決一切動態(tài)規(guī)劃問題的基本方法。
（2）無后向性
將各階段按照一定的次序排列好之后，對于某個給定的階段狀態(tài)，它以前各階段的狀態(tài)無法直接影響它未來的決策
，而只能通過當(dāng)前的這個狀態(tài)。換句話說，每個狀態(tài)都是過去歷史的一個完整總結(jié)。這就是無后向性，又稱為無后
效性。
（3）子問題的重疊性
動態(tài)規(guī)劃算法的關(guān)鍵在于解決冗余，這是動態(tài)規(guī)劃算法的根本目的。動態(tài)規(guī)劃實(shí)質(zhì)上是一種以空間換時間的技術(shù)，
它在實(shí)現(xiàn)的過程中，不得不存儲產(chǎn)生過程中的各種狀態(tài)，所以它的空間復(fù)雜度要大于其它的算法。選擇動態(tài)規(guī)劃算
法是因?yàn)閯討B(tài)規(guī)劃算法在空間上可以承受，而搜索算法在時間上卻無法承受，所以我們舍空間而取時間。
所以，能夠用動態(tài)規(guī)劃解決的問題還有一個顯著特征：子問題的重疊性。這個性質(zhì)并不是動態(tài)規(guī)劃適用的必要條件
，但是如果該性質(zhì)無法滿足，動態(tài)規(guī)劃算法同其他算法相比就不具備優(yōu)勢。
2、動態(tài)規(guī)劃的基本思想
前文主要介紹了動態(tài)規(guī)劃的一些理論依據(jù)，我們將前文所說的具有明顯的階段劃分和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的動態(tài)規(guī)劃稱為
標(biāo)準(zhǔn)動態(tài)規(guī)劃，這種標(biāo)準(zhǔn)動態(tài)規(guī)劃是在研究多階段決策問題時推導(dǎo)出來的，具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式，適合用于理論上
的分析。在實(shí)際應(yīng)用中，許多問題的階段劃分并不明顯，這時如果刻意地劃分階段法反而麻煩。一般來說，只要該
問題可以劃分成規(guī)模更小的子問題，并且原問題的最優(yōu)解中包含了子問題的最優(yōu)解（即滿足最優(yōu)子化原理），則可
以考慮用動態(tài)規(guī)劃解決。
動態(tài)規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是分治思想和解決冗余，因此，動態(tài)規(guī)劃是一種將問題實(shí)例分解為更小的、相似的子問題，并存儲
子問題的解而避免計算重復(fù)的子問題，以解決最優(yōu)化問題的算法策略。
由此可知，動態(tài)規(guī)劃法與分治法和貪心法類似，它們都是將問題實(shí)例歸納為更小的、相似的子問題，并通過求解子
問題產(chǎn)生一個全局最優(yōu)解。其中貪心法的當(dāng)前選擇可能要依賴已經(jīng)作出的所有選擇，但不依賴于有待于做出的選擇
和子問題。因此貪心法自頂向下，一步一步地作出貪心選擇；而分治法中的各個子問題是獨(dú)立的（即不包含公共的
子子問題），因此一旦遞歸地求出各子問題的解后，便可自下而上地將子問題的解合并成問題的解。但不足的是，
如果當(dāng)前選擇可能要依賴子問題的解時，則難以通過局部的貪心策略達(dá)到全局最優(yōu)解；如果各子問題是不獨(dú)立的，
則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題。
解決上述問題的辦法是利用動態(tài)規(guī)劃。該方法主要應(yīng)用于最優(yōu)化問題，這類問題會有多種可能的解，每個解都有一
個值，而動態(tài)規(guī)劃找出其中最優(yōu)（最大或最小）值的解。若存在若干個取最優(yōu)值的解的話，它只取其中的一個。在
求解過程中，該方法也是通過求解局部子問題的解達(dá)到全局最優(yōu)解，但與分治法和貪心法不同的是，動態(tài)規(guī)劃允許
這些子問題不獨(dú)立，（亦即各子問題可包含公共的子子問題）也允許其通過自身子問題的解作出選擇，該方法對每
一個子問題只解一次，并將結(jié)果保存起來，避免每次碰到時都要重復(fù)計算。
因此，動態(tài)規(guī)劃法所針對的問題有一個顯著的特征，即它所對應(yīng)的子問題樹中的子問題呈現(xiàn)大量的重復(fù)。動態(tài)規(guī)劃
法的關(guān)鍵就在于，對于重復(fù)出現(xiàn)的子問題，只在第一次遇到時加以求解，并把答案保存起來，讓以后再遇到時直接
引用，不必重新求解。
3、動態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟
設(shè)計一個標(biāo)準(zhǔn)的動態(tài)規(guī)劃算法，通常可按以下幾個步驟進(jìn)行：
（1）劃分階段：按照問題的時間或空間特征，把問題分為若干個階段。注意這若干個階段一定要是有序的或者是
可排序的（即無后向性），否則問題就無法用動態(tài)規(guī)劃求解。
（2）選擇狀態(tài)：將問題發(fā)展到各個階段時所處于的各種客觀情況用不同的狀態(tài)表示出來。當(dāng)然，狀態(tài)的選擇要滿
足無后效性。
（3）確定決策并寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：之所以把這兩步放在一起，是因?yàn)闆Q策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移有著天然的聯(lián)系，狀態(tài)轉(zhuǎn)
移就是根據(jù)上一階段的狀態(tài)和決策來導(dǎo)出本階段的狀態(tài)。所以，如果我們確定了決策，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程也就寫出來了
。但事實(shí)上，我們常常是反過來做，根據(jù)相鄰兩段的各狀態(tài)之間的關(guān)系來確定決策。
（4）寫出規(guī)劃方程（包括邊界條件）：動態(tài)規(guī)劃的基本方程是規(guī)劃方程的通用形式化表達(dá)式。
一般說來，只要階段、狀態(tài)、決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移確定了，這一步還是比較簡單的。動態(tài)規(guī)劃的主要難點(diǎn)在于理論上的
設(shè)計，一旦設(shè)計完成，實(shí)現(xiàn)部分就會非常簡單。根據(jù)動態(tài)規(guī)劃的基本方程可以直接遞歸計算最優(yōu)值，但是一般將其
改為遞推計算，實(shí)現(xiàn)的大體上的框架如下：
標(biāo)準(zhǔn)動態(tài)規(guī)劃的基本框架
1. 對fn+1(xn+1)初始化; {邊界條件}
for k:=n downto 1 do
for 每一個xk∈Xk do
for 每一個uk∈Uk(xk) do
begin
5. fk(xk):=一個極值; {∞或－∞}
6. xk+1:=Tk(xk,uk); {狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程}
7. t:=φ(fk+1(xk+1),vk(xk,uk)); {基本方程(9)式}
if t比fk(xk)更優(yōu) then fk(xk):=t; {計算fk(xk)的最優(yōu)值}
end;
9. t:=一個極值; {∞或－∞}
for 每一個x1∈X1 do
11. if f1(x1)比t更優(yōu) then t:=f1(x1); {按照10式求出最優(yōu)指標(biāo)}
12. 輸出t;
但是，實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中經(jīng)常不顯式地按照上面步驟設(shè)計動態(tài)規(guī)劃，而是按以下幾個步驟進(jìn)行：
（1）分析最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻劃其結(jié)構(gòu)特征。
（2）遞歸地定義最優(yōu)值。
（3）以自底向上的方式或自頂向下的記憶化方法（備忘錄法）計算出最優(yōu)值。
（4）根據(jù)計算最優(yōu)值時得到的信息，構(gòu)造一個最優(yōu)解。
步驟（1）～（3）是動態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟。在只需要求出最優(yōu)值的情形，步驟（4）可以省略，若需要求出問
題的一個最優(yōu)解，則必須執(zhí)行步驟（4）。此時，在步驟（3）中計算最優(yōu)值時，通常需記錄更多的信息，以便在步
驟（4）中，根據(jù)所記錄的信息，快速地構(gòu)造出一個最優(yōu)解。
1、分治法的基本思想
任
何一個可以用計算機(jī)求解的問題所需的計算時間都與其規(guī)模N有關(guān)。問題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。例如，對于n個元素的排序問
題，當(dāng)n=1時，不需任何計算；n=2時，只要作一次比較即可排好序；n=3時只要作3次比較即可，…。而當(dāng)n較大時，問題就不那么容易處理了。要想直接
解決一個規(guī)模較大的問題，有時是相當(dāng)困難的。
分治法的設(shè)計思想是，將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。
如果原問題可分割成k個子問題（1
2、分治法的適用條件
分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特征：
（1）該問題的規(guī)模縮小到一定的程度就可以容易地解決；
（2）該問題可以分解為若干個規(guī)模較小的相同問題，即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)；
（3）利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解；
（4）該問題所分解出的各個子問題是相互獨(dú)立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。
上
述的第一條特征是絕大多數(shù)問題都可以滿足的，因?yàn)閱栴}的計算復(fù)雜性一般是隨著問題規(guī)模的增加而增加；第二條特征是應(yīng)用分治法的前提，它也是大多數(shù)問題可以
滿足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用；第三條特征是關(guān)鍵，能否利用分治法完全取決于問題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三
條特征，則可以考慮貪心法或動態(tài)規(guī)劃法。第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨(dú)立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題，
此時雖然可用分治法，但一般用動態(tài)規(guī)劃法較好。
3、分治法的基本步驟
分治法在每一層遞歸上都有三個步驟：
（1）分解：將原問題分解為若干個規(guī)模較小，相互獨(dú)立，與原問題形式相同的子問題；
（2）解決：若子問題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題；
（3）合并：將各個子問題的解合并為原問題的解。
它的一般的算法設(shè)計模式如下：
Divide_and_Conquer（P）
if |P|≤n0
then return（ADHOC（P））
將P分解為較小的子問題P1、P2、…、Pk
for i←1 to k
do
yi ← Divide-and-Conquer（Pi） △ 遞歸解決Pi
T ← MERGE（y1，y2，…，yk） △ 合并子問題
Return（T）
其中 |P| 表示問題P的規(guī)模；n0為一閾值，表示當(dāng)問題P的規(guī)模不超過n0時，問題已容易直接解出，不必再繼續(xù)分解。ADHOC（P）是該分治法中的基本子算法，用于直接解小規(guī)模的問題P。因此，當(dāng)P的規(guī)模不超過n0時，直接用算法ADHOC（P）求解。
算法MERGE（y1，y2，…，yk）是該分治法中的合并子算法，用于將P的子問題P1、P2、…、Pk的相應(yīng)的解y1、y2、…、yk合并為P的解。
根
據(jù)分治法的分割原則，原問題應(yīng)該分為多少個子問題才較適宜？各個子問題的規(guī)模應(yīng)該怎樣才為適當(dāng)？這些問題很難予以肯定的回答。但人們從大量實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，在
用分治法設(shè)計算法時，最好使子問題的規(guī)模大致相同。換句話說，將一個問題分成大小相等的k個子問題的處理方法是行之有效的。許多問題可以取k=2。這種使
子問題規(guī)模大致相等的做法是出自一種平衡子問題的思想，它幾乎總是比子問題規(guī)模不等的做法要好。
分治法的合并步驟是算法的關(guān)鍵所在。有些問題的合并方法比較明顯，有些問題合并方法比較復(fù)雜，或者是有多種合并方案；或者是合并方案不明顯。究竟應(yīng)該怎樣合并，沒有統(tǒng)一的模式，需要具體問題具體分析。
【問題】 凸多邊形的最優(yōu)三角剖分問題
問題描述：多邊形是平面上一條分段線性的閉曲線。也就是說，多邊形是由一系列首尾相接的直線段組成的。組成
多邊形的各直線段稱為該多邊形的邊。多邊形相接兩條邊的連接點(diǎn)稱為多邊形的頂點(diǎn)。若多邊形的邊之間除了連接
頂點(diǎn)外沒有別的公共點(diǎn)，則稱該多邊形為簡單多邊形。一個簡單多邊形將平面分為3個部分：被包圍在多邊形內(nèi)的
所有點(diǎn)構(gòu)成了多邊形的內(nèi)部；多邊形本身構(gòu)成多邊形的邊界；而平面上其余的點(diǎn)構(gòu)成了多邊形的外部。當(dāng)一個簡單
多邊形及其內(nèi)部構(gòu)成一個閉凸集時，稱該簡單多邊形為凸多邊形。也就是說凸多邊形邊界上或內(nèi)部的任意兩點(diǎn)所連
成的直線段上所有的點(diǎn)均在該凸多邊形的內(nèi)部或邊界上。
通常，用多邊形頂點(diǎn)的逆時針序列來表示一個凸多邊形，即P=表示具有n條邊v0v1，v1v2，…，vn-1vn的一個凸多
邊形，其中，約定v0=vn 。
若vi與vj是多邊形上不相鄰的兩個頂點(diǎn)，則線段vivj稱為多邊形的一條弦。弦將多邊形分割成凸的兩個子多邊形和
。多邊形的三角剖分是一個將多邊形分割成互不重迭的三角形的弦的集合T。圖1是一個凸多邊形的兩個不同的三角
剖分。
(a) (b)
圖1 一個凸多邊形的2個不同的三角剖分
在凸多邊形P的一個三角剖分T中，各弦互不相交且弦數(shù)已達(dá)到最大，即P的任一不在T中的弦必與T中某一弦相交。
在一個有n個頂點(diǎn)的凸多邊形的三角刮分中，恰好有n-3條弦和n-2個三角形。
凸多邊形最優(yōu)三角剖分的問題是：給定一個凸多邊形P=以及定義在由多邊形的邊和弦組成的三角形上的權(quán)函數(shù)ω。
要求確定該凸多邊形的一個三角剖分，使得該三角剖分對應(yīng)的權(quán)即剖分中諸三角形上的權(quán)之和為最小。
可以定義三角形上各種各樣的權(quán)函數(shù)ω。例如：定義ω(△vivjvk)=| vivj |+| vivk |+| vkvj |，其中，| vivj
|是點(diǎn)vi到vj的歐氏距離。相應(yīng)于此權(quán)函數(shù)的最優(yōu)三角剖分即為最小弦長三角剖分。
（1）最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)
凸多邊形的最優(yōu)三角剖分問題有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。事實(shí)上，若凸（n+1）邊形P=的一個最優(yōu)三角剖分T包含三角形v0
vkvn，1≤k≤n-1，則T的權(quán)為3個部分權(quán)的和，即三角形v0vkvn的權(quán)，子多邊形 的權(quán)和的權(quán)之和。可以斷言由T所
確定的這兩個子多邊形的三角剖分也是最優(yōu)的，因?yàn)槿粲谢虻母?quán)的三角剖分，將會導(dǎo)致T不是最優(yōu)三角剖分的
矛盾。
（2）最優(yōu)三角剖分對應(yīng)的權(quán)的遞歸結(jié)構(gòu)
首先，定義t[i，j]（1≤i的最優(yōu)三角剖分所對應(yīng)的權(quán)值，即最優(yōu)值。為方便起見，設(shè)退化的多邊形具有權(quán)值0。據(jù)
此定義，要計算的凸（n+1）邊多邊形P對應(yīng)的權(quán)的最優(yōu)值為t[1，n]。
t[i，j]的值可以利用最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)遞歸地計算。由于退化的2頂點(diǎn)多邊形的權(quán)值為0，所以t[i，i]=0，i=1，2，
…，n 。當(dāng)j一i≥1時，子多邊形至少有3個頂點(diǎn)。由最優(yōu)于結(jié)構(gòu)性質(zhì)，t[i，j]的值應(yīng)為t[i，k]的值加上t [k+1，
j]的值，再加上△vi-1vkvj的權(quán)值，并在i≤k≤j-1的范圍內(nèi)取最小。由此，t[i，j]可遞歸地定義為：
（3）計算最優(yōu)值
下面描述的計算凸（n+1）邊形P=的三角剖分最優(yōu)權(quán)值的動態(tài)規(guī)劃算法MINIMUM_WEIGHT，輸入是凸多邊形P=的權(quán)函
數(shù)ω，輸出是最優(yōu)值t[i，j]和使得t[i，k]+t[k+1，j]+ω（△vi-1vkvj）達(dá)到最優(yōu)的位置（k=）s[i，j]，1≤i≤
j≤n 。
Procedure MINIMUM_WEIGHT(P，w)；
Begin
n=length[p]-1;
for i=1 to n do t[i,i]:=0;
for ll=2 to n do
for i=1 to n-ll+1 do
begin
j=i+ll-1;
t[i,j]=∞;
for k=i to j-1 do
begin
q=t[i,k]+t[k+1,j]+ω(△vi-1vkvj);
if q
begin
t[i,j]=q;
s[i,j]=k;
end;
end;
end;
return(t,s);
end;
算法MINIMUM_WEIGHT_占用θ(n2)空間，耗時θ(n3)。
（4）構(gòu)造最優(yōu)三角剖分
如我們所看到的，對于任意的1≤i≤j≤n ，算法MINIMUM_WEIGHT在計算每一個子多邊形的最優(yōu)三角剖分所對應(yīng)的
權(quán)值t[i，j]的同時，還在 s[i，j]中記錄了此最優(yōu)三角剖分中與邊（或弦）vi-1vj構(gòu)成的三角形的第三個頂點(diǎn)的
位置。因此，利用最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)并借助于s[i，j]， 1≤i≤j≤n ，凸（n+l）邊形P=的最優(yōu)三角剖分可容易地在
Ο(n)時間內(nèi)構(gòu)造出來。
習(xí)題：
1、汽車加油問題：
設(shè)有路程長度為L公里的公路上，分布著m個加油站，它們的位置分別為p（i=1，2，……，m），而汽車油箱加
滿油后（油箱最多可以加油k升），可以行駛n公里。設(shè)計一個方案，使汽車經(jīng)過此公路的加油次數(shù)盡量少（汽車出
發(fā)時是加滿油的）。
2、最短路徑：
設(shè)有一個網(wǎng)絡(luò)，要求從某個頂點(diǎn)出發(fā)到其他頂點(diǎn)的最短路徑
3、跳馬問題：
在8*8方格的棋盤上，從任意指定的方格出發(fā)，為馬尋找一條走遍棋盤每一格并且只經(jīng)過一次的一條路徑。
4、二叉樹的遍歷
5、背包問題
6、用分治法實(shí)現(xiàn)兩個大整數(shù)相乘
7、設(shè)x1，x2，…，xn是直線上的n個點(diǎn)，若要用單位長度的閉區(qū)間去覆蓋這n個點(diǎn)，至少需要多少個這樣的單位閉區(qū)間？
8、用關(guān)系“＜”和“＝”將3個數(shù)A、B和C依次排列時，有13種不同的序關(guān)系：
A＝B＝C，A＝B＜C，A＜B＝C，A＜B＜C，A＜C＜B，A＝C＜B，B＜A＝C，
B＜A＜C，B＜C＜A，B＝C＜A，C＜A＝B，C＜A＜B，C＜A＜B。
若要將n個數(shù)依序進(jìn)行排列，試設(shè)計一個動態(tài)規(guī)劃算法，計算出有多少鐘不同的序關(guān)系。
9、有一種單人玩的游戲：設(shè)有n(2<=n<=200)堆薄片，各堆順序用0至 n-1編號，極端情況，有的堆可能沒有薄片。
在游戲過程中，一次移動只能取某堆上的若干張薄片，移到該堆的相鄰堆上。如指定
I堆k張 k 移到I-1(I>0)堆，和將k 張薄片移至I+1(I
游戲的目標(biāo)是對給定的堆數(shù)，和各堆上的薄片數(shù)，按上述規(guī)則移動薄片，最終使 各堆的薄片數(shù)相同。為了使移動
次數(shù)較少些，移動哪一堆薄片，和移多少薄片先作以下估算：
設(shè)
ci:I堆的薄片數(shù)(0<=I<=ci<=200);
v：每堆 的平均薄片數(shù)；
ai:I堆的相鄰堆可以從I堆得到的薄片數(shù)。
估算方法如下：
v=c0+a1-a0 a1=v+a0-c0
v=c1+a0+a2-2a1 a2=v+2a1-a0-c1
…….. ……….
V=ci+ai-1+ai+1-2aI ai+1=v+2ai-ai-1-ci
這里并不希望準(zhǔn)確地求出A0 至an-1，而是作以下處理：若令 a0 為0，能按上述算式計算出 A1至 an-1。程序找出
a 中的最小值，并讓全部a值減去這最小值，使每堆移去的薄片數(shù)大于等于0。
實(shí)際操作采用以下貪心策略：
（1）每次從第一堆出發(fā)順序搜索每一堆，若發(fā)現(xiàn)可從 I堆移走薄片，就完成一次移動。即， I堆的相鄰堆從 I堆
取走 ai片薄片。可從I 堆移薄片到相鄰堆取于 I堆薄片數(shù)：若I 堆是處于兩端位置( I=0 I=n-1), 要求 ci>=ai
；若 I堆是中間堆，則要求ci>=2ai。
（2）因在ai>0的所有堆中，薄片數(shù)最多的堆 在平分過程中被它的相鄰堆取走的薄片數(shù)也最多。在用策略（1）搜
索移動時，當(dāng)發(fā)生沒有滿足條件（1）的可移走薄片的堆時，采用本策略，讓在ai>0的所有堆中，薄片數(shù)最多的堆
被它的相鄰堆取走它的全部薄片。